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Author: Martin Kloeckner <mjkloeckner@gmail.com>
Date: Wed, 19 Nov 2025 14:42:08 -0300
Updated `tp/informe/informe.*`
Falta aplicar la anti-transformada de Laplace correctamente a los
términos complejos conjugados
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@@ -216,10 +216,9 @@ H(s) = \dfrac{6\cdot \left(\dfrac{s}{250} + 1\right)}
Tomando $s=j\omega$ se tiene la respuesta en frecuencia del sistema, para
determinar a que tipo de filtro corresponde, se analiza como actúa la
transferencia para frecuencias muy bajas y como actúa para frecuencias muy
-altas, esto es $\omega\to 0$ y $\omega\to \infty$, respectivamente.
-
-Para frecuencias muy bajas, con $\omega\to 0$ en la transferencia resulta como
-en la ecuación \ref{eq-tran-to-zero}.
+altas, esto es $\omega\to 0$ y $\omega\to \infty$, respectivamente. Para
+frecuencias muy bajas, con $\omega\to 0$ en la transferencia resulta como en la
+ecuación \ref{eq-tran-to-zero}.
\begin{align}
H(\omega\to 0) &= \frac{6\cdot \left(\to 0 + 1\right)}
@@ -301,11 +300,11 @@ transferencias más simples, las cuales corresponden a filtros pasa-bajos, en el
caso de la primer transferencia (de izquierda a derecha) a un pasa-bajos de
primer orden, mientras que la segunda a un pasa-bajos de segundo orden, esto
resulta de analizar el valor de las transferencias para frecuencias muy bajas y
-muy altas, análogo a lo realizado previamente para la expresión original de la
+muy altas, análogo a lo realizado previamente para la expresión completa de la
transferencia.
\begin{align}
- H_{1}(s) &= \dfrac{500}{\left(s + 500\right)} \label{eq-tran1-name}\\
+ H_{1}(s) &= \dfrac{6\cdot 500}{\left(s + 500\right)} \label{eq-tran1-name}\\
\nonumber\\
H_{2}(s) &= \dfrac{64000\cdot \left(s + 250\right)}{\left(s^{2} +
\dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
@@ -330,7 +329,7 @@ primer y segundo orden son las que se muestran en \ref{eq-lpf-1-general} y
Tomando la expresión de $H_{1}(s)$ de \ref{eq-tran1-name} y comparando con la
expresión general del filtro pasa-bajos de primer orden de
-\ref{eq-lpf-1-general}, se tiene una ganancia $K=1$ y una frecuencia de corte
+\ref{eq-lpf-1-general}, se tiene una ganancia $K=6$ y una frecuencia de corte
$\omega_{0}=500$. De manera análoga tomando la expresión de $H_{2}(s)$ de
\ref{eq-tran2-name} y comparando con \ref{eq-lpf-2-general}, en particular el
polinomio en el denominador, resulta como se muestra en \ref{eq-termino-cuad}.
@@ -344,7 +343,8 @@ polinomio en el denominador, resulta como se muestra en \ref{eq-termino-cuad}.
De \ref{eq-termino-cuad} igualando termino a termino resulta en una ganancia de
$K=1$, una frecuencia natural $\omega_{0} = 4000$ y un factor de calidad
$Q=9/4$. Este resultado del factor de calidad $Q$ era esperable ya que se sabe
-que tiene raíces complejas conjugadas, por lo que tenia que ser mayor a $1/2$.
+que tiene raíces complejas conjugadas, por lo que debía que ser mayor a $1/2$
+para que esto se cumpla.
\iffalse
el análisis es similar al realizado para la trasnfeya que es directo que a
@@ -377,8 +377,8 @@ Teniendo presente la forma cuadrática de un polinomio como se muestra en
\ref{eq-polo-cuadratico}
\fi
-\hypertarget{respuestas-al-impulso}{%
-\subsection{Respuestas al impulso}\label{respuestas-al-impulso}}
+\hypertarget{respuesta-al-impulso}{%
+\subsection{Respuesta al impulso}\label{respuesta-al-impulso}}
Como se mencionó previamente, la transferencia de un sistema (LTI) permite
obtener la salida del sistema ante cualquier entrada, esto por la ecuación
@@ -399,35 +399,159 @@ de laplace que la transferencia, como se muestra en \ref{eq-y-h-d}.
\label{eq-y-h-d}
\end{align}
-No es casualidad que la respuesta al impulso sea la transformada de laplace de
+No es casualidad que la respuesta al impulso sea la transformada de Laplace de
la delta, y es que esta es otra definición valida para la función de
transferencia. Entonces, para determinar la respuesta al impulso del sistema
-dado por la transferencia $H(s)$ basta con calcular la antitransformada de
-Laplace de la funcion de transferencia $H(s)$, esto es
-$h(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{H(s)\right\}$, como se muestra en \ref{eq-l-1-h}.
+dado por la transferencia $H(s)$ basta con calcular la anti-transformada de
+Laplace de la función de transferencia $H(s)$, esto es, la respuesta al impulso
+$h(t)$ en el dominio de tiempo será $\mathcal{L}^{-1}\left\{H(s)\right\}$,
+como se muestra en \ref{eq-l-1-h}.
\begin{align}
- h(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{H(s)\right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{6\cdot \dfrac{500}{\left(s + 500\right)} \cdot \dfrac{64000\cdot \left(s + 250\right)}
- {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}\right\}
+ h(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{H(s)\right\}
+ = \mathcal{L}^{-1}\left\{
+ \dfrac{60\cdot 500}{\left(s + 500\right)}
+ \cdot
+ \dfrac{6400\cdot \left(s + 250\right)}
+ {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
+ \right\}
\label{eq-l-1-h}
\end{align}
-Por ser un operador lineal las constantes multiplicando salen fuera del
-operador, y teniendo los polos se puede factorizar
-resultando como se muestra en \ref{eq-l-1-h2}. En \ref{eq-l-1-h2} se
-puede factorizar el producto de las transferencias en terminos mas simples
-sumados, de manera que por la propiedad de linealidad de la antitransformada de
+Como el operador de Laplace es un operador lineal las constantes multiplicando
+salen fuera del operador, y factorizando el termino cuadrático del denominador
+de la transferencia en términos de las raíces, resulta como se muestra en
+\ref{eq-l-1-h-den-fac}.
+
+\begin{align}
+ h(t) = 192\cdot 10^{6}\mathcal{L}^{-1}\left\{
+ \dfrac{1}{\left(s - p_{1}\right)}
+ \cdot
+ \dfrac{\left(s + 250\right)}
+ {\left(s - p_{2} \right)
+ \cdot
+ \left(s - p_{3}\right)}\right\}
+ \label{eq-l-1-h-den-fac}
+\end{align}
+
+\iffalse
+\begin{align}
+ h(t) = 192\cdot 10^{6}\mathcal{L}^{-1}\left\{
+ \dfrac{1}{\left(s + 500\right)}
+ \cdot
+ \dfrac{\left(s + 250\right)}
+ {\left(s-\left(\dfrac{-8000}{9} + j3900\right)\right)\cdot
+ \left(s-\left(\dfrac{-8000}{9} - j3900\right)\right)}
+ \right\}
+ \label{eq-l-1-h-den-fac}
+\end{align}
+\fi
+
+Teniendo la transferencia como producto, resulta conveniente factorizar en en
+fracciones simples, de manera que se pueda aplicar el operador de Laplace a cada
+termino\footnote{Esto se conoce como teorema de Heaviside, sección 15.4,
+\cite{sadiku2015}}. La expansión en fracciones simples de la expresión a
+anti-transformar, resulta como se muestra en \ref{eq-l-f-simp}, con $k_{1, 2,
+3}$ números complejos constantes y $p_{1,2,3}$ los polos de la transferencia
+hallados previamente. Como $p_{2}$ y $p_{3}$ son complejos conjugados, entonces
+se cumple que el coeficiente $k_{3}$ es el conjugado de $k_{2}$, esto es, $k_{3}
+= k_{2}^{*}$.
+
+\begin{align}
+ h(t) = 192\cdot10^{6}\cdot \mathcal{L}^{-1}\left\{
+ \dfrac{k_{1}}{\left(s + p_{1}\right)} +
+ \dfrac{k_{2}}{\left(s + p_{2}\right)} +
+ \dfrac{k_{3}}{\left(s + p_{3}\right)}
+ \right\}
+ \label{eq-l-f-simp}
+\end{align}
+
+\iffalse
+Resulta conveniente denotar $F(s)$ a la funcion a antitransformar
+
+\begin{align}
+ F(s) =
+ \dfrac{k_{1}}{\left(s + p_{1}\right)} +
+ \dfrac{k_{2}}{\left(s + p_{2}\right)} +
+ \dfrac{k_{2}^{*}}{\left(s + p_{2}^{*}\right)}
+ \label{eq-f-f-simp}
+\end{align}
+
+puede factorizar el producto de las transferencias en términos mas simples
+sumados, de manera que por la propiedad de linealidad de la anti-transformada de
Laplace se pueda aplicar el operador a cada termino por separada, para esto se
realiza una expansion en fracciones simples, sabiendo los coeficientes de los
polino
\begin{align}
- h(t) = 192\cdot10^{6}\cdot \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{\left(s + 500\right)}
- \cdot \dfrac{\left(s + 250\right)} {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s +
- 4000^{2}\right)}\right\}
- \label{eq-l-1-h2}
+ \dfrac{k_{1}}{\left(s - (-500)\right)} +
+ \dfrac{k_{2}}{\left(s - \left(-\dfrac{8000}{9} + j3900\right)\right)} +
+ \dfrac{k_{2}^{*}}{\left(s - \left(-\dfrac{8000}{9} + j3900\right)^{*}\right)}
+ \label{eq-l-f-simp}
\end{align}
+\fi
+
+Para hallar los coeficientes $k_{1, 2}$ se utiliza el método de los residuos
+teniendo en cuenta que son polos simples, para esto se toma el limite tendiendo
+al polo $p_{i}$ correspondiente al coeficiente $k_{i}$ de la función previamente
+expandida en fracciones simples, multiplicada por el termino que anula el
+denominador en ese polo, $(s-p_{i})$, como se muestra en \ref{eq-calculo-ki}
+
+\begin{align}
+ k_{i} = \lim_{s\ \to\ p_{i}}\ (s-p_i)\cdot H(s)
+ \label{eq-calculo-ki}
+\end{align}
+
+Para el primer coeficiente $k_{1}$ resulta como se muestra en
+\ref{eq-calculo-k1}, y realizando el mismo procedimiento se obtiene $k_{2}$ como
+se muestra en \ref{eq-calculo-k3}. Como sabíamos $k_{3}$ era el conjugado de
+$k_{2}$, por lo que resulta como se muestra en \ref{eq-calculo-k3}.
+
+\begin{align}
+ k_{1} &= \lim_{s\to -500}\ (s + 500)
+ \cdot
+ \dfrac{1}{\left(s + 500\right)}
+ \cdot
+ \dfrac{\left(s + 250\right)}
+ {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
+ \approx 16.3\cdot 10 ^{-6}
+ \label{eq-calculo-k1}
+\end{align}
+
+
+\begin{align}
+ k_{2} &= \lim_{s\to \frac{-8000}{9}+j3900}
+ \dfrac{\left(s + \left(\dfrac{8000}{9}-j3900\right)\right) \cdot \left(s + 250\right)}
+ {\left(s + 500\right)
+ \cdot\left(s + \left(\dfrac{8000}{9}-j3900\right)\right)
+ \cdot\left(s + \left(\dfrac{8000}{9}+j3900\right)\right)}
+ \nonumber\\
+ \nonumber\\
+ &\approx -495 + j7849
+ \label{eq-calculo-k2}
+\end{align}
+
+
+\begin{align}
+ k_{3} = k_{2}^{*} \approx -495 - j7849
+ \label{eq-calculo-k3}
+\end{align}
+
+Teniendo los valores de $k_{1, 2, 3}$, en la ecuación \ref{eq-l-f-simp}
+aplicando el operador inverso de Laplace termino a termino, cada termino
+responde a expresiones tabuladas\footnote{Tabla 15.2, \cite{sadiku2015}}, lo
+que resulta como se ve en \ref{eq-l-t-f-simp}.
+
+\begin{align}
+ h(t) = 192\cdot10^{6}\cdot \left(
+ k_{1} e^{-p_{1}t} +
+ k_{2} e^{-p_{2}t} +
+ k_{3} e^{-p_{3}t}
+ \right)\cdot u(t)
+ \label{eq-l-t-f-simp}
+\end{align}
+
\hypertarget{respuestas-al-escalon}{%
\subsection{Respuestas al escalón}\label{respuestas-al-escalon}}
