TB066

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 \title{Función de Transferencia}          % Titulo del trabajo.
 \author{Klöckner, Martin Javier}
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 \begin{document}
 \begin{titlepage}
     \vspace*{-2.5cm}
     {\centering
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     \centering
     \textsc{\Large TB066}\\[0.2 cm]
     \textsc{\large Análisis de Circuitos}\\[4 cm]
     \textcolor{cyan}{{\fontsize{32}{60}\selectfont \bfseries \thetitle}}\\[0.5cm]
     \vspace{1em}
     {\Large \bfseries Trabajo Práctico Integrador}\\[5cm]
 
     \vfill
     \noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\textwidth}{0.4pt}}\\[0.5cm]
     \begin{minipage}{.49\textwidth}
     \textbf{Alumno}\\
     Klöckner, Martin Javier
     \end{minipage}%
     \begin{minipage}{.01\textwidth}
     % \centering\textbf{Legajo}\\
     % 105378 
     \end{minipage}%
     \vspace{1em}
     \begin{minipage}{.50\textwidth}
      \begin{flushright}
         \textbf{Correo electrónico}\\
          \href{mailto:mklockner@fi.uba.ar}{mklockner@fi.uba.ar} \\
       \end{flushright}
     \end{minipage}
 
     \begin{minipage}{.50\textwidth}
     \textbf{Corrector}\\
     Cea Sastre, Diego Hernán
     \end{minipage}%
     \begin{minipage}{.50\textwidth}
         \begin{flushright}
          \textbf{Correo electrónico} \\
          \href{mailto:dceasas@fi.uba.ar}{dceasas@fi.uba.ar} \\
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     \end{minipage}
 \end{titlepage}
 
 \setcounter{tocdepth}{2}
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 \pdfbookmark[1]{\contentsname}{toc}
 \tableofcontents
 \pagebreak
 \listoffigures
 \listoftables
 \pagebreak
 
 En el presente trabajo se realiza un análisis de la transferencia de un sistema
 dado y luego se diseña e implementa un circuito que responda acorde a esa
 transferencia.
 
 \hypertarget{introduccion}{%
 \section{Introducción}\label{introduccion}}
 
 Por definición, la transferencia $H(s)$ de un sistema, es el cociente entre la
 entrada $X(s)$ y la salida $Y(s)$ del sistema, suponiendo que todas las
 condiciones iniciales son nulas, específicamente en el dominio de
 Laplace.\footnotemark[1]
 
 \footnotetext[1]{Sección 16.4 ``Funciones de transferencia'', \cite{sadiku2015}}
 
 \begin{align}
     H(s) = \dfrac{Y(s)}{X(s)}
     \label{eq-h-y-x}
 \end{align}
 
 La transferencia sirve para determinar como reacciona el sistema a una
 determinada entrada $X(s)$, es decir, permite obtener la salida $Y(s)$ para
 cualquier entrada,\footnotemark[2] esto porque se trabaja con sistemas lineales invariantes en
 el tiempo.
 
 \footnotetext[2]{Sección 2.2 ``Sistemas LTI continuos: la integral de convolución'', \cite{oppenheim2009}}
 
 \hypertarget{analisis-de-transferencia}{%
 \section{Análisis de transferencia}\label{analisis-de-transferencia}}
 
 La transferencia a analizar tiene la expresión de la ecuación
 \ref{eq-tran}.
 
 \begin{align}
 H(s) = \dfrac{6\cdot \left(\dfrac{s}{250} + 1\right)}
 {\left(\dfrac{s}{500} + 1\right)\left(\dfrac{s^{2}}{4000^{2}} + \dfrac{s}{9000} + 1\right)}
 \label{eq-tran}
 \end{align}
 
 Tomando $s=j\omega$ se tiene la respuesta en frecuencia del sistema, para
 determinar a que tipo de filtro corresponde, se analiza como actúa la
 transferencia para frecuencias muy bajas y como actúa para frecuencias muy
 altas, esto es $\omega\to 0$ y $\omega\to \infty$, respectivamente. Para
 frecuencias muy bajas, con $\omega\to 0$ en la transferencia resulta como en la
 ecuación \ref{eq-tran-to-zero}.
 
 \begin{align}
     H(\omega\to 0) &= \frac{6\cdot \left(\to 0 + 1\right)}
 {\left(\to 0 + 1\right)\left(\to 0 + \to 0 + 1\right)} = 6
 \label{eq-tran-to-zero}
 \end{align}
 
 Mientras que para frecuencias muy altas se toma $\omega\to \infty$, lo que
 resulta en una indeterminación infinito sobre infinito como se observa en la
 ecuación \ref{eq-tran-to-inf}, aplicando la regla de L'Hopital y luego evaluando
 para $\omega\to \infty$ se llega al resultado de la ecuación
 \ref{eq-tran-to-inf-lh}.
 
 \begin{align}
     H(\omega\to \infty) &= \frac{6\cdot \left(\to \infty + 1\right)}
     {\left(\to \infty + 1\right)\left(\to \infty + \to \infty + 1\right)} =
     \frac{\to\infty}{\to\infty}
 \label{eq-tran-to-inf}
 \end{align}
 
 \begin{align}
     H^{\prime}(\omega\to \infty) = \to 0\ \ \Longrightarrow\ \
     H(\omega\to\infty) = \to0
 \label{eq-tran-to-inf-lh}
 \end{align}
 
 Teniendo en cuenta los resultados de las ecuaciones \ref{eq-tran-to-zero} y
 \ref{eq-tran-to-inf-lh} se observa que permite el paso a bajas frecuencias,
 mientras que atenúa por completo frecuencias altas, este comportamiento es el de
 un filtro \textbf{pasa bajos}.
 
 \hypertarget{polos-y-ceros}{%
 \subsection{Polos y ceros}\label{polos-y-ceros}}
 
 Denotando la transferencia como cociente de polinomios $N(s)$ y $D(s)$ para el
 numerador y denominador, respectivamente, como se muestra en la ecuación
 \eref{eq-tran-pol}, se define \textit{ceros} a las raíces del polinomio del
 numerador y \textit{polos} a las raíces del polinomio del denominador.
 
 \begin{align}
     H(s) = \dfrac{N(s)}{D(s)}
     \label{eq-tran-pol}
 \end{align}
 
 Para el polinomio del numerador $N(s)$ se tiene un único cero real en $z_{1} =
 -250$, mientras que para el polinomio del denominador $D(s)$ se tiene un polo
 real simple en $p_{1} = -500$ y un par de polos complejos conjugados $p_{2,3} =
 -8000/9 \pm j3900$. Se puede observar que todos los polos y ceros tienen parte
 real negativa, esto implica que el sistema asociado a la transferencia es
 estable.\footnotemark[3]
 
 \footnotetext[3]{Este resultado se obtiene de la sección 16.6.1 ``Estabilidad de
 una red'', \cite{sadiku2015}}
 
 \hypertarget{producto-de-transferencias-simples}{%
 \subsection{Producto de transferencias más simples}\label{producto-de-transferencias-simples}}
 
 La expresión de la transferencia de la ecuación \eref{eq-tran} se puede
 reescribir como producto de transferencias más simples, además simplificando el
 termino que acompaña a los coeficientes de mayor grado en los polinomios del
 numerador y denominador resulta como se muestra
 en la ecuación \eref{eq-tran-producto}.
 
 \begin{align}
     H(s) = 12\ \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
     \ \dfrac{4000^{2}}{\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
     \label{eq-tran-producto}
 \end{align}
 
 En la ecuación \eref{eq-tran-producto} se observa un producto de dos
 transferencias más simples, las cuales resulta conveniente llamar $H_{1}(s)$ a
 la transferencia de primer orden y $H_{2}(s)$ a la de segundo, de manera que
 $H(s)$ sea el producto de $H_{1}(s)$, $H_{2}(s)$ y un factor de ganancia 12 (o
 $21.6dB$ aproximadamente) repartido entre ambas transferencias, tal como se
 muestra en la ecuación \eref{eq-tran-simp-producto}.
 
 \vspace{-1em}
 \begin{gather}
     H_{1}(s) = K_{1}\ \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}  \qquad
     H_{2}(s) = K_{2}\ \dfrac{4000^{2}}{\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
 \nonumber\\ \nonumber\\
     H(s) = H_{1}(s) \cdot H_{2}(s);\qquad K_{1}\cdot K_{2} = 12
 \label{eq-tran-simp-producto}
 \end{gather}
 
 Analizando cada transferencia por separado y realizando un análisis análogo al
 realizado para la expresión de la transferencia completa, se observa que
 $H_{1}$ corresponde a un filtro pasa altos de primer orden, el cual tiene una
 diferencia de ganancia entre frecuencias altas y bajas de $6dB$, ya que
 evaluando $H_{1}$ para frecuencias muy bajas ($\omega\to 0$) resulta $0,5K_{1}$
 (atenuación en $6dB$ aproximadamente para $K_{1}=1$) y para frecuencias altas ($\omega\to
 \infty$) $H_{1}(s)$ resulta $K_{1}$. La frecuencia de corte se obtiene cuando el
 modulo de la transferencia resulta aproximadamente $0.707$ o $-3dB$ con respecto
 a la banda pasante, por lo que tomando $K_{1} = 1$ e igualando el modulo de la
 respuesta en frecuencia con $1/\sqrt{2}$, como se muestra en la ec.
 \eref{eq-tran-h1-frec-corte}, se obtiene una frecuencia de corte $\omega_{c}$
 aproximada de $353.5 rad/s$, esto es aproximadamente $56.3 Hz$.
 
 \iffalse
 , y una frecuencia de corte aproximadamente en los $56,3 Hz$
 
 por completo las frecuencias bajas) ya que evaluando $H_{1}$ para frecuencias
 muy bajas ($\omega\to 0$) resulta $K_{1}\cdot 0,5$ (o $-6dB$ aproximadamente), es decir,
 atenúa a la mitad las frecuencias muy bajas y no por completo como un pasa altos
 típico. Para frecuencias muy altas ($\omega\to \infty$) $H_{1}(s)$ resulta 1, no
 modifica las frecuencias altas. La frecuencia de corte se obtiene cuando el
 modulo de la transferencia resulta aproximadamente $0.707$ o $-3dB$, igualando
 el modulo de la respuesta en frecuencia con $1/\sqrt{2}$, como se muestra en la
 ec. \eref{eq-tran-h1-frec-corte}, se obtiene una frecuencia de corte $\omega_{c}$
 aproximada de $353.5 rad/s$, esto es aproximadamente $56.3 Hz$.
 
 Analizando cada transferencia por separado y realizando un análisis análogo al
 realizado para la expresión de la transferencia completa, se observa que
 $H_{1}$, para $K_{1} = 1$, corresponde a un filtro pasa altos el cual no atenúa
 por completo las frecuencias bajas, ya que evaluando para frecuencias
 muy bajas ($\omega\to 0$) resulta $0,5$ (o $-6dB$ aproximadamente), es decir,
 atenúa a la mitad las frecuencias muy bajas y no por completo como un pasa altos
 típico. Tomando otro valor de $K_{1}$, por ejemplo $2$, resulta que $H_{1}$ se
 comporta como un filtro pasa
 
 Para frecuencias muy altas ($\omega\to \infty$) $H_{1}$ resulta 1, no
 modifica las frecuencias altas. La frecuencia de corte se obtiene cuando el
 modulo de la transferencia resulta aproximadamente $0.707$ o $-3dB$, igualando
 el modulo de la respuesta en frecuencia con $1/\sqrt{2}$, como se muestra en la
 ec. \eref{eq-tran-h1-frec-corte}, se obtiene una frecuencia de corte $\omega_{c}$
 aproximada de $353.5 rad/s$, esto es aproximadamente $56.3 Hz$.
 \fi
 
 \begin{align}
     \left|H_{1}(j\omega_{c})\right| &= \left|\dfrac{j\omega_{c} +
     250}{j\omega_{c} + 500}\right| = \dfrac{1}{\sqrt{2}}
     \Rightarrow\omega_{c} \approx 353.5\ rad/s
     \Rightarrow\boxed{f_{c} \approx 56.3Hz}
     \label{eq-tran-h1-frec-corte}
 \end{align}
 
 Para la transferencia $H_{2}(s)$ se tiene un filtro pasa-bajos de segundo orden,
 en este caso se tiene una expresión generalizada de las transferencia, la cual
 se encuentra en la ecuación \eref{eq-lpf-2-general}.\footnotemark[4]
 
 \footnotetext[4]{Se utiliza la Tabla 5.1 ``Standard Forms of Second-Order
 Responses'', \cite{schaumann2001}}
 
 \vspace{-0.5em}
 \begin{align}
     H(s) &= \dfrac{K\omega_{0}^{2}}{s^{2}+\dfrac{\omega_{0}}{Q}s + \omega_{0}^{2}}
     \label{eq-lpf-2-general}
 \end{align}
 
 Tomando la expresión de $H_{2}(s)$ e igualando con la expresión  general de
 \eref{eq-lpf-2-general}, en particular el polinomio en el denominador, resulta
 como se muestra en la ec. \eref{eq-termino-cuad}.
 
 \begin{align}
     s^{2}+\dfrac{\omega_{0}}{Q}s + \omega_{0}^{2} = s^{2} +
     \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\;
     \Rightarrow\; \omega_{0} = 4000\ rad/s;\;
     Q = \displaystyle\sfrac{9}{4}
     \label{eq-termino-cuad}
 \end{align}
 
 De \eref{eq-termino-cuad} igualando termino a termino resulta en una frecuencia
 natural $\omega_{0} = 4000$ y un factor de calidad $Q=9/4=2.25$. Este resultado del
 factor de calidad $Q$ era esperable ya que se sabe que tiene raíces complejas
 conjugadas, por lo que debía que ser mayor a 0,5 para que esto se cumpla.
 
 \hypertarget{respuesta-al-impulso}{%
 \subsection{Respuesta al impulso}\label{respuesta-al-impulso1}}
 
 Como se mencionó previamente, la transferencia de un sistema LTI permite obtener
 la salida de ese sistema ante cualquier entrada. Despejando la salida $Y(s)$ de
 la ecuación \eref{eq-h-y-x} resulta como en la ec. \eref{eq-y-h-x}, siendo $X(s)$
 la transformada de Laplace de la entrada. Para la respuesta al impulso se tiene
 como entrada la delta de Dirac, por lo tanto $X(s)$ en este caso es la
 transformada de Laplace de la delta $\mathcal{L}\{\delta\}$, que por tabla
 resulta $\mathcal{L}\{\delta\} = 1$,\footnotemark[6] resultando en la misma
 expresión en el dominio de Laplace que la transferencia, como se muestra en la
 ecuación \eref{eq-y-h-d}.
 
 \footnotetext[6]{Tabla 15.2, \cite{sadiku2015}}
 
 \begin{align}
     Y(s) = H(s)\cdot X(s)
     \label{eq-y-h-x}
 \end{align}
 
 \vspace{-1em}
 \begin{align}
     Y(s) = H(s)\cdot \mathcal{L}\left\{\delta(s)\right\} = H(s)\cdot 1 = H(s)
     \label{eq-y-h-d}
 \end{align}
 
 No es casualidad que la respuesta al impulso sea la transformada de Laplace de
 la delta, y es que esta es otra definición valida para la función de
 transferencia. Entonces, para determinar la respuesta al impulso del sistema
 dado por la transferencia $H(s)$ basta con calcular la anti-transformada de
 Laplace de la función de transferencia $H(s)$, esto es, la respuesta al impulso
 $h(t)$ en el dominio de tiempo será $\mathcal{L}^{-1}\left\{H(s)\right\}$,
 como se muestra en la ecuación \eref{eq-l-1-h}.
 
 \begin{align}
     h(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{H(s)\right\}
          = \mathcal{L}^{-1}\left\{
             12\cdot \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
             \cdot
             \dfrac{4000^{2}}
                   {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
             \right\}
     \label{eq-l-1-h}
 \end{align}
 
 
 Como el operador de Laplace es un operador lineal las constantes multiplicando
 salen fuera del operador, y factorizando el termino cuadrático del denominador
 de la transferencia en términos de las raíces, resulta como se muestra en la
 ec. \eref{eq-l-1-h-den-fac}.
 
 \begin{align}
     h(t) = 12\cdot 4000^{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{
             \dfrac{\left(s + 250\right)}
                   {\left(s - p_{1}\right)\cdot \left(s - p_{2} \right)
                   \cdot
                   \left(s - p_{3}\right)}\right\}
     \label{eq-l-1-h-den-fac}
 \end{align}
 
 Teniendo la transferencia como producto, resulta conveniente factorizar en
 fracciones simples, de manera que se pueda aplicar termino a termino el operador
 inverso de Laplace, por la propiedad de linealidad.\footnotemark[7] La expansión
 en fracciones simples de la expresión a anti-transformar, resulta como se
 muestra en \eref{eq-l-f-simp}, con $k_{1, 2, 3}$ números complejos constantes y
 $p_{1,2,3}$ los polos de la transferencia hallados previamente. Como $p_{2}$ y
 $p_{3}$ son complejos conjugados, entonces se cumple que el coeficiente $k_{3}$
 es el conjugado de $k_{2}$, esto es, $k_{3} = k_{2}^{*}$.
 
 \footnotetext[7]{Esto se conoce como teorema de Heaviside, sección 15.4,
 \cite{sadiku2015}}
 
 \begin{align}
     h(t) = 12\cdot 4000^{2}\cdot \mathcal{L}^{-1}\left\{
         \dfrac{k_{1}}{\left(s - p_{1}\right)} +
         \dfrac{k_{2}}{\left(s - p_{2}\right)} +
         \dfrac{k_{3}}{\left(s - p_{3}\right)}
     \right\}
     \label{eq-l-f-simp}
 \end{align}
 
 Para hallar los coeficientes $k_{1, 2}$ se utiliza el método de los residuos
 teniendo en cuenta que son polos simples, para esto se toma el limite tendiendo
 al polo $p_{i}$ correspondiente al coeficiente $k_{i}$ de la función previa a
 expandirla en fracciones simples, multiplicada por el termino que anula el
 denominador en ese polo $(s-p_{i})$, como se muestra en la ecuación
 \eref{eq-calculo-ki}
 
 \begin{align}
     k_{i} = \lim_{s\ \to\ p_{i}}\ (s-p_i)\cdot H(s)
     \label{eq-calculo-ki}
 \end{align}
 
 Para el primer coeficiente $k_{1}$ resulta como se muestra en la ecuación
 \eref{eq-calculo-k1}, y realizando el mismo procedimiento se obtiene $k_{2}$ como
 se muestra en la ecuación \eref{eq-calculo-k2}. El coeficiente $k_{3}$ es el conjugado
 de $k_{2}$, por lo que el resultado es directo como se muestra en la ecuación
 \eref{eq-calculo-k3}.
 
 \begin{align}
     k_{1} &= \lim_{s\to -500}\ (s + 500)
     \cdot
     \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
     \cdot
     \dfrac{1}
           {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}\nonumber\\[6pt]
     &\hspace{50pt}\boxed{k_{1} \approx -16.3\cdot 10 ^{-6}}
     \label{eq-calculo-k1}
 \end{align}
 
 \vspace{-1em}
 \begin{align}
     k_{2} &= \lim_{s\to \frac{-8000}{9}+j3900}
     \dfrac{\left(s - \left(\dfrac{-8000}{9}+j3900\right)\right) \cdot \left(s + 250\right)}
           {\left(s + 500\right)
             \cdot\left(s - \left(\dfrac{-8000}{9}+j3900\right)\right)
             \cdot\left(s - \left(\dfrac{-8000}{9}-j3900\right)\right)}
           \nonumber\\[12pt]
      &\hspace{100pt} \boxed{k_{2}\approx \left(8.37 - j129\right)\cdot 10^{-6}}
     \label{eq-calculo-k2}
 \end{align}
 
 \vspace{-0.5em}
 \begin{align}
     % k_{3} = k_{2}^{*} \Longrightarrow \boxed{k_{3}\approx -495 - j7849}
     k_{3} = k_{2}^{*} \Rightarrow \boxed{k_{3} \approx \left(8.37 + j129\right)\cdot 10^{-6}}
     \label{eq-calculo-k3}
 \end{align}
 
 Teniendo los valores de $k_{1, 2, 3}$, en la ecuación \eref{eq-l-f-simp} se puede
 aplicar el operador inverso de Laplace termino a termino, cada termino responde
 a expresiones tabuladas,\footnotemark[8] lo que resulta como se ve en la
 ecuación \eref{eq-l-t-f-simp}.
 
 \begin{align}
     h(t) = 12\cdot4000^{2}\cdot \left(
         k_{1} e^{-p_{1}t} +
         k_{2} e^{-p_{2}t} +
         k_{3} e^{-p_{3}t}
     \right)\cdot u(t)
     \label{eq-l-t-f-simp}
 \end{align}
 
 En particular en el segundo y tercer termino de \eref{eq-l-t-f-simp} los
 coeficientes $k_{2,3}$ y sus polos $p_{2,3}$ son complejos conjugados, aplicando
 la identidad de Euler y operando se llega al resultado siguiente que se muestra
 en \eref{eq-comp-conj-comb}.
 
 \begin{align}
     \text{Denotando} \; p_{2} = \alpha + j\beta\; \text{y} \;
     k_{2} =& \lambda + j\gamma\; \nonumber\\[8pt]
     \Rightarrow k_{2} e^{-p_{2}t} + k_{2}^{*}& e^{-p_{2}^{*}t} =
         2e^{\alpha t}\cdot \left[
         \lambda\ cos\left( \beta t\right) +
         \gamma\ sin\left( \beta t\right)
     \right]
     \label{eq-comp-conj-comb}
 \end{align}
 
 Y aplicando propiedades trigonométricas en \eref{eq-comp-conj-comb}, en particular
 la igualdad entre la suma de las funciones seno y coseno con fase nula, con una
 función coseno con fase no nula, resulta como se muestra en le ecuación
 \eref{eq-comp-conj-comb-res}, luego reemplazando con los valores de $k_{2}$ y
 $p_{2}$ resulta como en \eref{eq-comp-conj-comb-valores}.
 
 \begin{align}
     &\text{Siendo} \; p_{2} = \alpha + j\beta\; \text{y} \;
     k_{2} = \lambda + j\gamma\;\quad \nonumber\\[8pt]
     &\qquad\qquad k_{2} e^{-p_{2}t} + k_{2}^{*} e^{-p_{2}^{*}t} =
         2\left|k_{2}\right| e^{\alpha t}
             cos\left(\beta t + arg\left\{k_{2}^{*}\right\}\right)
     \label{eq-comp-conj-comb-res}\\[8pt]
     &\Rightarrow\ \boxed{k_{2} e^{-p_{2}t} + k_{2}^{*} e^{-p_{2}^{*}t} =
         258.5\cdot10^{-6}\ e^{-889 t}            
             cos\left(3900 t + 1.51\right)}&
     \label{eq-comp-conj-comb-valores}
 \end{align}
 
 Combinando los resultados de \eref{eq-calculo-k1} y
 \eref{eq-comp-conj-comb-valores} en \eref{eq-l-t-f-simp} se obtiene finalmente
 la respuesta al impulso en el dominio de tiempo $h(t)$ como se muestra en la
 ecuación \eref{eq-h-impulso-final}.
 
 \begin{align}
     h(t)& \approx 12\cdot4000^{2}
     \nonumber\\[-2pt]
     &\hspace{2em}\left[16.3\cdot10^{-6} e^{-500 t} +
         258.5\cdot10^{-6}\ e^{-889 t} cos\left(3900 t + 1.51\right)
     \right]\ u(t)\nonumber\\[10pt]
     &\boxed{\boxed{h(t) \approx \left[3130\cdot e^{-500 t} +
         49632\cdot e^{-889 t}cos\left(3900 t + 1.51\right)
     \right]\ u(t)}}
     \label{eq-h-impulso-final}
 \end{align}
 
 Para la expresión de la respuesta al impulso de la ecuación
 \eref{eq-h-impulso-final}, se realiza un gráfico en función del tiempo, el cual
 se muestra en la figura \ref{fig-h-impulso-final}, la forma era de esperarse ya
 que una de las transferencias ($H_{2}(s)$) tiene raíces complejas conjugadas por
 lo que su comportamiento es de tipo subamortiguado.
 
 \begin{figure}[!ht]
     \centering
     \includegraphics[width=1.00\textwidth]{plot/impulse.png}
     \caption{Respuesta al impulso analítica en dominio temporal}
     \label{fig-h-impulso-final}
 \end{figure}
 
 \hypertarget{respuesta-al-escalon}{%
 \subsection{Respuesta al escalón}\label{respuesta-al-escalon}}
 
 El procedimiento para calcular la respuesta al escalón es análogo al realizado
 para calcular la respuesta al impulso, utilizando la ecuación \eref{eq-y-h-x} con
 $X(s)$ la transformada de Laplace de la entrada, en este caso la transformada de
 Laplace de la función de Heaviside o escalón, esto es $X(s) =
 \mathcal{L}\left\{u(t)\right\}$, que por tabla\footnotemark[8] resulta
 $\mathcal{L}\left\{u(t)\right\} = 1/s$. La expresión de la transformada inversa
 de Laplace de la respuesta al escalón resulta como se muestra en la ecuación
 \eref{eq-l-1-U} y luego en \eref{eq-l-1-U-lin} extrayendo las constantes fuera
 del operador, por la propiedad de linealidad.
 
 \footnotetext[8]{Tabla 15.2, \cite{sadiku2015}}
 
 \begin{align}
     y(t) &= \mathcal{L}^{-1}\left\{H(s)\cdot\dfrac{1}{s}\right\}
          = \mathcal{L}^{-1}\left\{
             12\cdot \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
             \cdot
             \dfrac{4000^{2}}
                   {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
                   \cdot\dfrac{1}{s}
             \right\}
     \label{eq-l-1-U}\\[8pt]
          &= 12\cdot 4000^{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{
             \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
             \cdot
             \dfrac{1}
                   {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
                   \cdot\dfrac{1}{s}
             \right\}
     \label{eq-l-1-U-lin}
 \end{align}
 
 Nuevamente se expande en fracciones simples la expresión a anti-transformar para
 aprovechar la propiedad de linealidad, en este caso al multiplicar la
 transferencia por la transformada de la función escalón ($1/s$), se agrega un
 polo en cero, $p_{4} = 0$, es por esto que habrá un termino más en la expresión
 expandida en fracciones simples, a diferencia de la expansion para la respuesta
 al impulso de la ecuación \eref{eq-l-f-simp}, como se muestra en
 \eref{eq-l-f-U-simp}.
 
 \begin{align}
     y(t) = 12\cdot 4000^{2}\cdot \mathcal{L}^{-1}\left\{
         \dfrac{k_{1}}{\left(s - p_{1}\right)} +
         \dfrac{k_{2}}{\left(s - p_{2}\right)} +
         \dfrac{k_{3}}{\left(s - p_{3}\right)} +
         \dfrac{k_{4}}{\left(s - p_{4}\right)}
     \right\}
     \label{eq-l-f-U-simp}
 \end{align}
 
 Para calcular los coeficientes $k_{1,2,3,4}$ se utiliza la ecuación
 \eref{eq-calculo-ki}, resultando como se muestra en \eref{eq-calculo-u-k1},
 \eref{eq-calculo-u-k2}, \eref{eq-calculo-u-k3} y \eref{eq-calculo-u-k4},
 respectivamente.
 
 \begin{align}
     k_{1} &= \lim_{s\to -500}
     \dfrac{\left(s + 250\right)}
           {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
     \cdot
     \dfrac{1}{s}\; \Rightarrow \boxed{k_{1}\approx 32.5\cdot 10 ^{-9}}
     \label{eq-calculo-u-k1}
 \end{align}
 
 \begin{align}
     k_{2} &= \lim_{s\to \frac{-8000}{9}+j3900}
     \dfrac{\left(s + 250\right)}
           {\left(s + 500\right)
             \cdot\left(s - \left(\dfrac{-8000}{9}-j3900\right)\right)}
             \cdot\dfrac{1}{s}\nonumber\\[6pt]
      %&\hspace{2em} \boxed{k_{2}\approx \left(8.14 - j129\right)\cdot10^{-6}}
      &\hspace{2em} \boxed{k_{2}\approx \left(-31.9 + j5.18\right)\cdot10^{-9}}
     \label{eq-calculo-u-k2}
 \end{align}
 
 \begin{align}
     k_{3} = k_{2}^{*} \Rightarrow \boxed{k_{3} \approx \left(-31.9 - j5.18\right)\cdot10^{-9}}
     \label{eq-calculo-u-k3}
 \end{align}
 
 \begin{align}
     k_{4} &= \lim_{s\to 0}\ s
     \cdot
     \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
     \cdot
     \dfrac{1}
           {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
     \cdot
     \dfrac{1}{s}\Rightarrow \boxed{k_{4} \approx 31.3\cdot 10 ^{-9}}
     \label{eq-calculo-u-k4}
 \end{align}
 
 Teniendo el valor de los coeficientes $k_{i}$ y aplicando la antitransformada
 termino a termino resulta como en la ecuacion \eref{eq-y-t-u}.
 
 \vspace{-0.5em}
 \begin{align}
     y(t) = 12\cdot4000^{2}\cdot \left(
         k_{1} e^{-p_{1}t} +
         k_{2} e^{-p_{2}t} +
         k_{3} e^{-p_{3}t} +
         k_{4} e^{-p_{4}t}
     \right)\cdot u(t)
     \label{eq-y-t-u}
 \end{align}
 
 Reutilizando el resultado de la ecuación \eref{eq-comp-conj-comb-res} para
 términos provenientes de polos complejos conjugados, y sabiendo que $p_{4} = 0$,
 entonces la expresión de la respuesta al escalón del sistema en dominio
 temporal $y(t)$, resulta como se muestra en la ecuación \eref{eq-y-U-final}.
 
 \begin{align}
     &y(t) \approx 12\cdot4000^{2} \cdot10^{-9}
     \nonumber\\[-2pt]
     &\hspace{4.5em}\left[32.5\cdot e^{-500 t} +
         64.6\cdot e^{-889 t}
         cos\left(3900 t + 2.98\right) +31.3\right]
         \ u(t)\nonumber\\[6pt]
     &\boxed{\boxed{y(t) \approx \left[6.24\cdot e^{-500 t}
         +12.41\cdot e^{-889 t} cos\left(3900 t + 2.98\right)
         +6.01\right]\ u(t)}}
     \label{eq-y-U-final}
 \end{align}
 
 Para el resultado de la respuesta al escalón en dominio temporal $y(t)$ de la
 ecuación \eref{eq-y-U-final}, se realizó un gráfico en función del tiempo, el
 cual se muestra en la figura \ref{fig-y-U-final}.
 
 \begin{figure}[!ht]
     \centering
     \includegraphics[width=1.00\textwidth]{plot/Heaviside.png}
     \caption{Respuesta al escalón analítica en dominio temporal}
     \label{fig-y-U-final}
 \end{figure}
 
 En la figura 2 se observa que para frecuencias altas, esto es en la transición
 en el origen de la función escalón, se comporta similar a la respuesta al
 impulso, presentando oscilaciones hasta que el sistema se estabiliza. De la
 ecuación \eref{eq-y-U-final} se observa que el transitorio mas lento es el de la
 exponencial $e^{-889\cdot t}$ el cual tiene un tiempo característico $\tau =
 2$ms; por convención se toma $5$ veces ese valor, resultando en $10$ms de
 tiempo para que el sistema se estabilice por completo, lo cual se ve claramente
 en la figura. Cuando la función escalón es continua y el sistema se estabiliza
 se observa la ganancia de $6$ (o $15.56 dB$ aproximadamente) propia de la
 transferencia $H(s)$ para frecuencias bajas, obtenido en la ecuación \eref{eq-tran-to-zero}.
 
 \hypertarget{respuesta-a-señal-senoidal}{%
 \subsection{Respuesta a señal senoidal}\label{respuesta-a-señal-senoidal2}}
 
 Para la respuesta a una señal senoidal se realiza un procedimiento análogo a los
 realizados previamente para obtener la respuesta al impulso y al escalón. Se
 aplica el operador inverso de Laplace a la expresión de la ecuación
 \eref{eq-y-h-x} con $X(s)$ la transformada de Laplace de la entrada, en este
 caso una función senoidal, cuya transformada para $t\ge 0$ se obtiene de
 tabla\footnotemark[8] y resulta como se muestra a continuación en
 \eref{eq-l-sin}. Para este caso, se tomará la frecuencia angular $\omega_{0} =
 1571\ \text{rad}/\text{s}$ (lo cual corresponde aproximadamente a una frecuencia
 de $250\ Hz$).
 
 \footnotetext[8]{Tabla 15.2, \cite{sadiku2015}}
 
 \begin{align}
     \mathcal{L}\left\{sin(\omega_{0} t)\right\} =
     \dfrac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}
     \label{eq-l-sin}
 \end{align}
 
 La expresión de la transformada inversa de Laplace de la respuesta a la función
 seno resulta como se muestra en la ecuación \eref{eq-l-1-sin} y luego en
 \eref{eq-l-1-sin-lin} extrayendo las constantes fuera del operador, esto por la
 propiedad de linealidad del operador.
 
 \begin{align}
     y(t) &=
     \mathcal{L}^{-1}\left\{
             H(s)
             \cdot\dfrac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}\right\}\notag\\[8pt]
          &= \mathcal{L}^{-1}\left\{
             12\cdot \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
             \cdot
             \dfrac{4000^{2}}{\left(s^{2}+\dfrac{4000^{2}}{9000}s+4000^{2}\right)}
             \cdot
             \dfrac{\omega_{0}}{\left(s^{2}+\omega_{0}^{2}\right)}
             \right\}
     \label{eq-l-1-sin}\\[8pt]
          &= 12\cdot 4000^{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{
             \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
             \cdot
             \dfrac{1}
                   {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
                   \cdot\dfrac{\omega_{0}}{\left(s^{2}+\omega_{0}^{2}\right)}
             \right\}
     \label{eq-l-1-sin-lin}
 \end{align}
 
 Se expande en fracciones simples la expresión a antitransformar para aprovechar
 la propiedad de linealidad. En este caso, al multiplicar la transferencia por la
 transformada de la función seno, se agrega un par de polos complejos conjugados
 $p_{4,5} = \pm j\omega_{0}$. Por lo que la expansión en fracciones simples
 resulta como en \eref{eq-l-f-sin-simp}.
 
 \begin{align}
     y(t) = 12\cdot 4000^{2}\cdot \mathcal{L}^{-1}\left\{
         \dfrac{k_{1}}{\left(s - p_{1}\right)} +
         \dfrac{k_{2}}{\left(s - p_{2}\right)} +
         \dfrac{k_{3}}{\left(s - p_{3}\right)} +
         \dfrac{k_{4}}{\left(s - p_{4}\right)} +
         \dfrac{k_{5}}{\left(s - p_{5}\right)}
     \right\}
     \label{eq-l-f-sin-simp}
 \end{align}
 
 Para calcular los coeficientes $k_{1,2,3,4,5}$ se utiliza la ecuación
 \eref{eq-calculo-ki}, resultando como se muestra en \eref{eq-calculo-sin-k1},
 \eref{eq-calculo-sin-k2}, \eref{eq-calculo-sin-k3}, \eref{eq-calculo-sin-k4} y
 \eref{eq-calculo-sin-k5}, respectivamente.
 
 \begin{align}
     k_{1} &= \lim_{s\to -500}
     \dfrac{\left(s + 250\right)}
           {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
     \cdot
     \dfrac{\omega_{0}}{\left(s^{2}+\omega_{0}^{2}\right)}
     \Rightarrow \boxed{k_{1}\approx -9.41\cdot 10 ^{-9}}
     \label{eq-calculo-sin-k1}
 \end{align}
 
 \begin{align}
     k_{2} &= \lim_{s\to \frac{-8000}{9}+j3900}
     \dfrac{\left(s + 250\right)}
           {\left(s + 500\right)
             \cdot\left(s - \left(\dfrac{-8000}{9}-j3900\right)\right)}
             \cdot
             \dfrac{\omega_{0}}{\left(s^{2}+\omega_{0}^{2}\right)}\notag\\[8pt]
      &\hspace{4em} \boxed{k_{2}\approx \left(6.56 + j13.2\right)\cdot10^{-9}}
     \label{eq-calculo-sin-k2}
 \end{align}
 
 \begin{align}
     k_{3} = k_{2}^{*} 
     \Rightarrow \boxed{k_{3} \approx \left(6.56 - j13.2\right)\cdot10^{-9}}
     \label{eq-calculo-sin-k3}
 \end{align}
 
 \begin{align}
     k_{4} &= \lim_{s\to j1571}
     \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
     \cdot
     \dfrac{1}
           {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
     \cdot
     \dfrac{\omega_{0}}{\left(s^{2}+\omega_{0}^{2}\right)}\notag\\[8pt]
     &\hspace{4em} \boxed{k_{4} \approx \left(-1.86 - j34.9\right)\cdot 10 ^{-9}}
     \label{eq-calculo-sin-k4}
 \end{align}
 
 \begin{align}
     k_{5} = k_{4}^{*} 
     \Rightarrow \boxed{k_{5} \approx \left(-1.86 + j34.9\right)\cdot10^{-9}}
     \label{eq-calculo-sin-k5}
 \end{align}
 
 
 Teniendo el valor de los coeficientes $k_{i}$ y aplicando la antitransformada
 termino a termino resulta como en la ecuación \eref{eq-y-t-sin}.
 
 \vspace{-0.5em}
 \begin{align}
     y(t) &= 12\cdot4000^{2} \left(
         k_{1} e^{-p_{1}t} +
         k_{2} e^{-p_{2}t} +
         k_{3} e^{-p_{3}t} +
         k_{4} e^{-p_{4}t} +
         k_{5} e^{-p_{5}t}
     \right) u(t)\notag\\[8pt]
          &= 12\cdot4000^{2} \left(
         k_{1}     e^{-p_{1}t} +
         k_{2}     e^{-p_{2}t} +
         k_{2}^{*} e^{-p_{2}^{*}t} +
         k_{4}     e^{-p_{4}t} +
         k_{4}^{*} e^{-p_{4}^{*}t}
     \right) u(t)
     \label{eq-y-t-sin}
 \end{align}
 
 Dado que se tienen dos pares de polos complejos conjugados, se reutiliza el
 resultado de la ecuación \eref{eq-comp-conj-comb-res} para reescribir las
 exponenciales complejas en términos de funciones senoidales, resultando la
 expresión de la respuesta a una función senoidal con frecuencia angular
 $\omega_{0} = 1571\text{rad}/\text{s}$ del sistema en dominio temporal $y(t)$
 como se muestra a continuación en la ecuación \eref{eq-y-sin-final}.
 
 \begin{align}
     &y(t) \approx 12\cdot4000^{2} \cdot10^{-9}
     \notag\\[-2pt]
     &\hspace{40pt}\Big[
         -9.41\, e^{-500\, t}
             + 29.4\, e^{-889\, t} cos\left(3900\, t + 1.11\right) \notag\\[-6pt]
         &\hspace{200pt} + 69.9\, cos\left(1571\, t - 1.62\right)
         \Big]\ u(t)
 \end{align}
 
 % \begin{empheq}[box=\fbox]{align}
 %     &y(t) \approx
 %     \Big(-0.49\cdot e^{-500 t}
 %          + 12.4\cdot e^{-889 t} \left[cos\left(3900 t - 1.24\right)\right] \notag\\[-4pt]
 %          &\hspace{200pt}+ 7.37\cdot \left[cos\left(6283 t + 2.05\right)\right]
 %         \Big)\ u(t)
 %     \label{eq-y-sin-final}
 % \end{empheq}
 
 \vspace{-2em}
 
 \begin{empheq}[box=\doublefbox]{equation}
     \begin{split}
         y(t) \approx
         \Big[
             & -1.81\, e^{-500\,t}
               +5.64\, e^{-889\,t}\cos(3900\,t-1.24) \\[-4pt]
             &\hspace{180pt} + 13.4\, \cos(1571\,t+2.05)
         \Big]\,u(t)
     \end{split}
 \label{eq-y-sin-final}
 \end{empheq}
 
 \pagebreak
 
 Para el resultado obtenido anteriormente en la ecuación \eref{eq-y-sin-final} de
 la respuesta a la señal seno de frecuencia angular $\omega_{0} = 1571\
 \text{rad}/\text{s}$ (aproximadamente $250\ Hz$) en dominio temporal se realizó
 un gráfico en función del tiempo, el cual se muestra en la figura
 \ref{fig-y-sin-final}.
 
 \begin{figure}[!ht]
     \centering
     \includegraphics[width=1.00\textwidth]{plot/sine_response_omega1.png}
     \caption{Respuesta a señal senoidal de $250Hz$ analítica en dominio temporal}
     \label{fig-y-sin-final}
 \end{figure}
 
 En la figura \ref{fig-y-sin-final} se observa que para la señal senoidal de
 frecuencia dada se amplifica la amplitud en aproximadamente 14 veces (o
 $22.9dB$) y la fase no cambia.
 
 \iffalse
 En la figura 2 se observa que para frecuencias altas, esto es en la transición
 en el origen de la función escalón, se comporta similar a la respuesta al
 impulso, presentando oscilaciones hasta que el sistema se estabiliza. De la
 ecuación \eref{eq-y-U-final} se observa que el transitorio más lento es el de la
 exponencial $e^{-889\cdot t}$ el cual tiene un tiempo característico $\tau =
 2$ms; por convención se toma $5$ veces ese valor, resultando en $10$ms de
 tiempo para que el sistema se estabilice por completo, lo cual se ve claramente
 en la figura. Cuando la función escalón es continua y el sistema se estabiliza
 se observa la ganancia de $6$ (o $15.56 dB$ aproximadamente) propia de la
 transferencia $H(s)$ para frecuencias bajas, obtenido en la ecuación \eref{eq-tran-to-zero}.
 
 
 , es por esto que habrá un termino más en la expresión
 expandida en fracciones simples, a diferencia de la expansion para la respuesta
 al impulso de la ecuación \eref{eq-l-f-simp}, como se muestra en
 \eref{eq-l-f-U-simp}.
 \fi
 
 \clearpage
 
 \hypertarget{circuitos-teoricos}{%
 \section{Circuitos teóricos}\label{circuitos-teoricos}}
 
 Para la elección del circuito se tiene en cuenta la descomposición en
 transferencias más simples que se muestra en la ecuación \eref{eq-tran-producto}
 y también todo el análisis realizado de cada una de las transferencias, en
 particular se sabe que la transferencia $H_{1}$ corresponde con un filtro pasa
 altos de primer orden con una diferencia de ganancia entre frecuencias altas y
 bajas de $6dB$; mientras que la transferencia $H_{2}$ corresponde con un filtro
 pasa bajos de segundo orden. La transferencia total, es decir el producto de
 ambas transferencias, debe tener una ganancia de 12 (o $21.6dB$), este factor de
 ganancia no esta fijo para la descomposición de la transferencia si no que se
 reparte entre ambas transferencias de acuerdo a como sea más conveniente a la
 hora de implementar el circuito.
 
 La descomposición de la transferencia resulta muy útil ya que el circuito
 resultante será la cascada de cada unos de los circuitos respectivos a cada
 transferencia, es por esto que cada uno de los circuitos o ``etapas'' se diseña
 por separado y luego se conecta la salida de uno a la entrada de otro.
 
 \hypertarget{filtro-pasa-altos-de-primer-orden}{%
 \subsection{Filtro pasa altos de primer orden}\label{filtro-pasa-altos-de-primer-orden}}
 
 La transferencia $H_{1}$ es de la forma de la ecuación
 \eref{eq-trans-1gr-generica}, la cual se puede implementar mediante un divisor
 resistivo con impedancias $\mathbb{Z}_{1}$ y $\mathbb{Z}_{2}$.\footnotemark[9]
 
 \begin{align}
     T(s) = K\cdot \dfrac{s+z_{1}}{s+p_{1}}
     \label{eq-trans-1gr-generica}
 \end{align}
 
 Para un divisor de impedancias no inductivas, como el que se muestra en la
 figura \ref{fig-impedance-divider}, la función de transferencia resulta como se
 muestra en \eref{eq-trans-res-div}. En la misma ecuación se muestra la igualdad
 utilizando admitancias, que se definen como la inversa de la impedancia
 $\mathbb{Y}=1/\mathbb{Z}$. Se utilizan admitancias porque simplifican las
 expresiones de resistores y capacitores en paralelo.
 
 \begin{figure}[!ht]
     \centering
     \begin{subfigure}{0.44\textwidth}
         \centering
         \includegraphics[width=\textwidth]{sch/complex_resistor_divider2.png}
         \caption{Valores genéricos}
         \label{fig-impedance-divider}
     \end{subfigure}
     \hfill
     \begin{subfigure}{0.44\textwidth}
         \centering
         \includegraphics[width=\textwidth]{sch/passive_highpass2.png}
         \caption{Valores calculados normalizados}
         \label{fig-impedance-divider-norm-values}
     \end{subfigure}
 
     \caption{Circuito pasa altos de primer orden con divisor de impedancias}
     \label{fig:circuito-considerado}
 \end{figure}
 
 \begin{align}
     \dfrac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = 
     T(s) =
     \dfrac{\mathbb{Z}_{2}}{\mathbb{Z}_{1}+\mathbb{Z}_{2}} =
     \dfrac{\mathbb{Y}_{1}}{\mathbb{Y}_{1}+\mathbb{Y}_{2}};
     \quad \mathbb{Y}_{1} = s\ C_{1} + \dfrac{1}{R_{1}};
     \quad \mathbb{Y}_{2} = s\ C_{2} + \dfrac{1}{R_{2}};
     \label{eq-trans-res-div}
 \end{align}
 
 \footnotetext[9]{Sección 3.2, ``Realization with Passive Elements'', \cite{schaumann2001}}
 
 Aplicando las expresiones de las admitancias de la ecuación
 \eref{eq-trans-res-div} en la ecuación \eref{eq-trans-1gr-generica}, y denotando
 $G=1/R$ a la conductancia, entonces la transferencia del divisor de impedancias
 resulta como se muestra en \eref{eq-trans-res-div-comp}. Luego, sacando factor
 común $C_{1}$ en el numerador y $\left(C_{1} + C{2}\right)$ en el denominador,
 se obtiene una expresión para la transferencia del circuito similar a la
 expresión de la transferencia genérica de \eref{eq-trans-1gr-generica}.
 
 % Dado que no se utilizarán inductores y que se tienen resistores y capacitores en
 % paralelo, la expresión de la transferencia en funcion de los resistores y
 % capacitores se muestra a continuación, partiendo de la expresion de admitancia y
 % con $\mathbb{G}=1/R$ la conductancia.
 
 \begin{align}
     T(s) =
     \dfrac{s\ C_{1} + G_{1}}{s\ \left(C_{1}+C_{2}\right)+G_{1}+G_{2}} =
     \dfrac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}
             \cdot\dfrac{s +
             \dfrac{G_{1}}{C_{1}}}{s+\dfrac{G_{1}+G_{2}}{C_{1}+C_{2}}}
     \label{eq-trans-res-div-comp}
 \end{align}
 
 Igualando la ecuación \eref{eq-trans-res-div-comp} con la expresión genérica de
 \eref{eq-trans-1gr-generica} resulta como se muestra a continuación en
 \eref{eq-trans-res-div-comp-1}.
 
 \begin{align}
     T(s)
     = \dfrac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}
             \cdot\dfrac{s +
             \dfrac{G_{1}}{C_{1}}}{s+\dfrac{G_{1}+G_{2}}{C_{1}+C_{2}}}
     = K\cdot \dfrac{s+z_{1}}{s+p_{1}}
     \label{eq-trans-res-div-comp-1}
 \end{align}
 
 De la expresión \eref{eq-trans-res-div-comp-1} se obtiene:
 
 \begin{align}
     z_{1} &= \dfrac{G_{1}}{C_{1}} = \dfrac{1}{R_{1}\ C_{1}}
                \label{eq-trans-res-div-z1}\\[10pt]
     p_{1} &= \dfrac{G_{1}+G_{1}}{C_{1}+C_{2}}
                     = \dfrac{1}{\left(\dfrac{R_{1}\ R_{2}}{R_{1} + R_{2}}\right)
                     \left(C_{1}+C_{2}\right)}
                     \label{eq-trans-res-div-p1}\\[8pt]
     K_{\text{LF}} &= T(0) = \dfrac{G_{1}}{G_{1}+G_{2}} = \dfrac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}
     \label{eq-trans-res-div-dc-gain} \\[8pt]
     K_{\text{HF}} &= T(\infty) = \dfrac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}} \label{eq-trans-res-div-inf-gain}
 \end{align}
 
 Para el caso de la transferencia $H_{1}$ se tiene que $z_{1} = 250$, $p_{1} =
 500$; la ganancia a frecuencias muy bajas $K_{LF}=T(0)=0.5$ y a frecuencias
 muy altas $K_{HF}=T(\infty)=1$.
 
 Dadas las ganancias $K_{LF}$ y $K_{HF}$, entonces de
 \eref{eq-trans-res-div-dc-gain} se obtiene $R_{1}=R_{2}$, y de
 \eref{eq-trans-res-div-inf-gain} resulta que $C_{2}=0$. Imponiendo $C_{1} =
 22nF$, entonces de la ecuación \eref{eq-trans-res-div-z1} resulta $R_{1} = R_{2}
 \approx 181818\Omega$ y dado que $181818\Omega$ no es un valor comercial
 estandarizado se toma el valor $180k\Omega$.
 
 Reemplazando los valores en el circuito de la figura
 \ref{fig-impedance-divider}, resulta en el circuito de la figura
 \ref{fig-impedance-divider-norm-values}. Para el circuito con los valores
 reemplazados se realizó una simulación en LTSpice de manera de comparar el
 desempeño con la transferencia $H_{1}$. El resultado se muestra en el diagrama
 de Bode de la figura \ref{fig-pasa-altos-primer-orden}, en la cual se observa que
 la diferencia es prácticamente nula entre la respuesta en frecuencia del
 circuito simulado y la transferencia teórica $H_{1}$.
 
 \begin{figure}[!ht]
     \centering
     \includegraphics[width=\textwidth]{plot/bode_passive_highpass.png}
     \caption{Diagrama de Bode de circuito pasa altos, $H_{1}$ y $H_{1}$ normalizada}
     \label{fig-pasa-altos-primer-orden}
 \end{figure}
 
 % circuito pasivo de solo con resistores y capascitores\footnotemark[9] tal como
 % se muestra en la figura \eref{fig-pasa-bajos-primer-orden-inversor} del cual se
 % tienen expresiones tabuladas para los componentes en funcion del polo ($p$),
 % cero ($z$) y ganancia ($K$). Notese que si bien la transferencia es de primer
 % orden debido a que asi lo es el polinomio del denominador $s+500$, se tiene un
 % circuito con $2$ almacenadores de energía, $C_{1}$ y $C_{2}$, esto no implica
 % que el circuito sea de segundo orden ya que $C_{1}$ y $C_{2}$ comparten el nodo,
 % por lo que no son linealmente independientes.
 
 La transferencia $H_{1}$ resultante con los valores considerados normalizados se
 muestra a continuación en \eref{eq-trans-res-div-compl-values}.
 
 \begin{align}
     \boxed{\boxed{H_{1}(s) \approx \dfrac{s + 252.52}{s + 505.05}}}
     \label{eq-trans-res-div-compl-values}
 \end{align}
 
 Dados los valores de $R_{1}$ y $R_{2}$ elegidos, la transferencia de la ecuación
 \eref{eq-trans-res-div-compl-values} impone un error con respecto a la
 transferencia $H_{1}$, en valores porcentuales se tiene para la ganancia
 aproximadamente $0.002\%$, y para las singularidades de $1\%$.
 
 \iffalse
 La transferencia $H_{1}(s)$ es de la forma de la ecuación
 \eref{eq-transferencia-lineal}, la cual se puede implementar mediante un
 circuito amplificador inversor\footnotemark[9] como el que se muestra en la
 figura \eref{fig-pasa-bajos-primer-orden-inversor} del cual se tienen expresiones
 tabuladas para los componentes en función del polo ($p$), cero ($z$) y ganancia
 ($K$). Nótese que si bien la transferencia es de primer orden debido a que asi
 lo es el polinomio del denominador $s+500$, se tiene un circuito con $2$
 almacenadores de energía, $C_{1}$ y $C_{2}$, esto no implica que el circuito sea
 de segundo orden ya que $C_{1}$ y $C_{2}$ comparten el nodo, por lo que no son
 linealmente independientes.
 
 \footnotetext[9]{Sección 3.4.1, ``Inverting Opamp Circuits'', \cite{schaumann2001}}
 
 \begin{align}
     T(s) = K\cdot \dfrac{s+z_{1}}{s+p_{1}};\quad
     z_{1}=\dfrac{1}{C_{1}\cdot R_{1}};\quad
     p_{1}=\dfrac{1}{C_{2}\cdot R_{2}};\quad
     K=\dfrac{C_{1}}{C_{2}}
     \label{eq-transferencia-lineal}
 \end{align}
 
 \begin{figure}[!ht]
     \centering
     \includegraphics[width=0.65\textwidth]{sch/pasa-bajos_activo_primer_orden_cero_no_nulo_inversor.png}
     \caption{Circuito pasa altos primer orden correspondiente a transferencia $H_{1}(s)$}
     \label{fig-pasa-bajos-primer-orden-inversor}
 \end{figure}
 
 En este caso la transferencia $H_{1}(s)$ tiene constantes $z=250$, $p=500$ y
 ganancia unitaria $K=1$, por lo que se pueden obtener los valores de los
 componentes $C_{i}$ y $R_{i}$ de las expresiones de
 \eref{eq-transferencia-lineal}. Por ganancia unitaria los capacitores deben tener
 igual valor, reescribiendo las relaciones de \eref{eq-transferencia-lineal} en
 función de esto, resulta como en \eref{eq-transferencia-lineal-2}.
 
 \begin{align}
     K=1\Rightarrow C_{1}=C_{2};\quad
     R_{1}=\dfrac{1}{C_{1}\cdot 250};\quad
     R_{2}=\dfrac{1}{C_{2}\cdot 500}
     \label{eq-transferencia-lineal-2}
 \end{align}
 
 Para obtener la mejor relación normalizada de los componentes se utiliza un
 script de Python que genera una lista de todas las posibles combinaciones entre
 $R_{1}$, $R_{2}$ y $C$, fijando un valor de $C$ y ajustando $R_{1}$ y $R_{2}$,
 luego se ordena en función del error porcentual, el mejor resultado con
 resistores normalizados de tolerancia E24 (esto es $5\%$ de error) y capacitores
 de tolerancia E6 ($20\%$ de error) es $C_{1} = C_{2} = 22nF$, $R_{1}=180k\Omega$
 y $R_{2}=91k\Omega$, de esta forma se tiene un error respecto al valor teórico
 de $1.00\%$ para $R_{1}$ y $0.10\%$ para $R_{2}$.
 \fi
 
 \pagebreak
 \hypertarget{filtro-pasa-bajos-de-segundo-orden}{%
 \subsection{Filtro pasa bajos de segundo orden}\label{filtro-pasa-bajos-de-segundo-orden}}
 
 Para implementar la transferencia $H_{2}$ se elige un circuito Sallen-Key pasa
 bajos de segundo orden con ganancia unitaria, tal como el que se muestra en la
 figura \ref{fig-pasa-bajos-sallen-key}. Se elige este tipo de
 filtro ya que es relativamente sencillo con respecto a otros filtros y los
 cálculos son directos, y el hecho de que sea de ganancia unitaria permite
 simplificar aun más las expresiones, en particular la expresión del factor de
 calidad $Q$.
 
 La transferencia de un filtro Sallen-Key pasa bajos con ganancia unitaria se
 muestra a continuación en la ecuación
 \eref{eq-sallen-key-lpf-generic}.\footnotemark[10]
 
 % Se elige ganancia unitaria porque simplifica el calculo de los componentes y
 % dado que en este caso se tiene un factor de calidad relativamente alto este
 % depende mucho de la ganancia del amplificador y de la tolerancia de los
 % componentes.
 
 \footnotetext[10]{\ Esto se obtiene de la sección 4.5.1: ``Sallen-Key Circuits'',
 \cite{schaumann2001}. Imponiendo $R_{A}\to\infty$, $R_{B}=0$, logrando así
 ganancia unitaria $K=1$.}
 
 \begin{align}
     T(s) &= \dfrac{\dfrac{1}{R_{1}\ R_{2}\ C_{1}\ C_{2}}}
                     {s^{2}+\left(\dfrac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}\ R_{2}\
                     C_{1}}\right)s + \left(\dfrac{1}{R_{1}\ R_{2}\ C_{1}\ C_{2}}\right)}
     \label{eq-sallen-key-lpf-generic}
 \end{align}
 
 Igualando la transferencia anterior de la ecuación
 \eref{eq-sallen-key-lpf-generic} con la expresión genérica del filtro pasa bajos
 de segundo orden mencionado en la ecuación \eref{eq-lpf-2-general} se obtienen
 las expresiones para la frecuencia natural $\omega_{0}$ y el factor de calidad
 $Q$ que se muestran en las ecuaciones \eref{eq-sallen-key-param-w0} y
 \eref{eq-sallen-key-param-Q}, respectivamente.
 
 \begin{align}
     \omega_{0} &= \sqrt{ \dfrac{1}{R_{1}\ R_{2}\ C_{1}\ C_{2}}}
     \label{eq-sallen-key-param-w0}\\[8pt]
     Q &= \dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{R_{1}\ R_{2}\ C_{1}\ C_{2}}}}
         {\dfrac{R_{1} + R_{2}}{C_{1}\ R_{1}\ R_{2}}}
     \label{eq-sallen-key-param-Q}
 \end{align}
 
 Para obtener valores de los componentes $R_{1}$, $R_{2}$, $C_{1}$ y $C_{2}$ se
 sabe que $\omega_{0}$ debe ser $4000$ rad/s y $Q$ debe ser de $2.25$,
 reemplazando en las ecuaciones \eref{eq-sallen-key-param-w0} y
 \eref{eq-sallen-key-param-Q} se tiene un sistema de dos ecuaciones con 4
 incógnitas, es por esto que se utiliza un programa de calculo numérico que dada
 una lista de valores normalizados de resistencias y capacitores se calcula el
 error de $\omega_{0}$ y $Q$ para cada cuarteto de valores $R_{1}$, $R_{2}$,
 $C_{1}$, $C_{2}$ posible y se ordena de menor a mayor error combinado entre
 $\omega_{0}$ y $Q$, resultando en una lista ordenada de valores con los
 respectivos errores. 
 
 En la tabla \ref{tab-sallen-key-componentes} se muestran algunos de los mejores
 valores obtenidos mediante el programa numérico. En particular, se eligió
 $20k\Omega$, $30k\Omega$, $47nF$ y $2.20nF$ para $R_{1}$, $R_{2}$, $C_{1}$ y
 $C_{2}$, respectivamente, ya que si bien no es el cuarteto con menor error, se
 tienen valores de resistencia mayor que otros conjunto de valores, lo cual es
 deseable, ya que se incrementa la impedancia y disminuye el consumo de
 corriente, y los capacitores tienen valores fácilmente disponibles
 comercialmente. De cualquier forma el error de $\omega_{0}$ y $Q$ permanece por
 debajo de $1\%$.
 
 \renewcommand{\arraystretch}{1.2}
 \begin{table}[h]
     \centering
     \begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|r|}
         \hline
         $R_1$ [$\Omega$] & $R_2$ [$\Omega$] & $C_1$ [nF] & $C_2$ [nF] & $\omega_0$ [rad/s] & $\Delta\omega_0$ [\%] & $Q$ & $\Delta Q$ [\%] \\
         \hline
         \hline
         1300  & 15000 & $470$ & $6.80$ & 4005,71 &  0,14 & 2,252 &  0,10 \\
         \hline
         15000 & 1300  & $470$ & $6.80$ & 4005,71 &  0,14 & 2,252 &  0,10 \\
         \hline
         2700  & 4700  & $330$ &   $15$ & 3989,94 &  0,25 & 2,258 &  0,35 \\
         \hline
         30000 & 20000 &  $47$ & $2.20$ & 4014,80 &  0,37 & 2,264 &  0,64 \\
         \hline
     \end{tabular}
     \caption{Algunos valores obtenidos que minimizan el error de $\omega_{0}$ y $Q$.}
     \label{tab-sallen-key-componentes}
 \end{table}
 
 Con los valores elegidos, la transferencia $H_{2}$ resulta como se muestra
 a continuación en la ecuación \eref{eq-trans-2-val}.
 
 \begin{align}
     % H_{2}(s) = \dfrac{4014.8^{2}}{\left(s^{2} + \dfrac{4014.8^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)} \notag\\
     \boxed{\boxed{H_{2}(s) \approx \dfrac{16118619.04}{s^{2} + 1773.05s + 16118619.04}}}
     \label{eq-trans-2-val}
 \end{align}
 
 Y el circuito resultante con los valores elegidos que implementa la
 transferencia $H_{2}$ se muestra en la figura
 \ref{fig-pasa-bajos-sallen-key} a continuación.
 
 \begin{figure}[!ht]
     \centering
     \includegraphics[width=0.75\textwidth]{sch/pasa-bajos_activo_segundo_orden_sallen-key_script.png}
     \caption{Circuito pasa bajos Sallen-Key}
     \label{fig-pasa-bajos-sallen-key}
 \end{figure}
 
 Se simuló el circuito de la figura \ref{fig-pasa-bajos-sallen-key} en LTSpice
 obteniendo la respuesta en frecuencia y se comparó con la respuesta en
 frecuencia de la transferencia $H_{2}$, el resultado se muestra en la figura
 \ref{fig-bode-pasa-bajos-segundo-orden-sallen-key} en la cual se observa que la
 respuesta en frecuencia del circuito elegido y la transferencia $H_{2}$ son
 prácticamente idénticas.
 
 \begin{figure}[!ht]
     \centering
     \includegraphics[width=\textwidth]{plot/sallen-key_lpf_valores_teoricos_scipt_min_err.png}
     \caption{Diagrama de Bode de circuito pasa bajos Sallen-Key, $H_{2}$ y $H_{2}$ normalizada}
     \label{fig-bode-pasa-bajos-segundo-orden-sallen-key}
 \end{figure}
 
 \hypertarget{amplificador-no-inversor}{%
 \subsection{Amplificador no inversor}\label{amplificador-no-inversor}}
 
 Como bien se mencionó la transferencia $H$ se obtiene realizando el producto
 entre las transferencias $H_{1}$, $H_{2}$ y un factor de ganancia 12. Dado que
 los circuitos correspondientes se diseñaron acorde a las transferencias, se
 necesita de una etapa adicional que implemente el factor de ganancia. Para esto
 se utiliza un amplificador no inversor con un circuito como el de la figura
 \ref{fig-amp-no-inversor}.
 
 \begin{figure}[!ht]
     \centering
     \includegraphics[width=0.30\textwidth]{sch/non_invert_amp2.png}
     \caption{Circuito amplificador no inversor}
     \label{fig-amp-no-inversor}
 \end{figure}
 
 La trasferencia del circuito amplificador no inversor de la figura
 \ref{fig-amp-no-inversor} resulta como se muestra a continuación en la ecuación
 \eref{eq-trans-amp}.
 
 \begin{align}
     T(s)=1+\dfrac{R_{2}}{R_{1}}
     \label{eq-trans-amp}
 \end{align}
 
 Dado que se requiere un factor de ganancia de 12, es decir, una transferencia
 $T(s)$ constante e igual a $12$ para todas las frecuencias, de
 \eref{eq-trans-amp} se obtiene que $R_{2}$ debe ser $11\ R_{1}$. Eligiendo
 $20k\Omega$ para $R_{1}$, entonces $R_{2}$ resulta $220k\Omega$.
 
 \hypertarget{circuito-propuesto}{%
 \subsection{Circuito propuesto}\label{circuito-propuesto}}
 
 El circuito final resulta de la ``cascada'' o conexión en serie de los
 diferentes etapas: el filtro pasa altos que implementa la transferencia $H_{1}$,
 el filtro pasa bajos Sallen-Key que implementa la transferencia $H_{2}$, y el
 amplificador no inversor para ajustar la ganancia. La transferencia $H$
 normalizada, resultante del producto de todas las etapas, se muestra en la
 ecuación \eref{eq-trans-norm} a continuación.
 
 \begin{align}
     \boxed{\boxed{H(s) \approx 12\ \left(\dfrac{s + 252.52}{s + 505.05}\right)\ \left(\dfrac{16118619.04}{s^{2} + 1773.05s + 16118619.04}\right)}}
     \label{eq-trans-norm}
 \end{align}
 
 Hay que tener en cuenta que la cascada de diferentes circuitos solo es posible
 en la práctica si los circuitos no interfieren entre sí, en particular esto es
 válido cuando la impedancia de salida del primer circuito es mucho menor que la
 impedancia de entrada del segundo circuito,\footnotemark[11] teniendo esto en
 cuanta se ubica en primer lugar (más cerca de la señal de entrada) el filtro
 pasa altos de primer nivel, ya que este tiene impedancia de entrada y salida
 relativamente baja, luego el amplificador no inversor ya que este tiene una
 impedancia de entrada muy alta debido al amplificador operacional, por ultimo se
 ubica el filtro Sallen-Key de segundo orden tal como se muestra en la figura
 \ref{fig-circuito-final-ideal}.
 
 \footnotetext[11]{Esto se obtiene de la sección 3.6: ``Cascade Design'',
 \cite{schaumann2001}}
 
 \begin{figure}[!ht]
     \centering
     \includegraphics[width=\textwidth]{sch/trans_comp_valores2.png}
     \caption{Circuito propuesto con valores normalizados}
     \label{fig-circuito-final-ideal}
 \end{figure}
 
 Para el circuito final de la figura \ref{fig-circuito-final-ideal} se realiza
 una simulación en LTSpice de la respuesta en frecuencia y se compara con la
 respuesta en frecuencia de la transferencia $H$, el resultado se muestra a
 continuación en la figura \ref{fig-bode-circuito-completo-ideal} en la cual se
 observa que la respuesta en frecuencia es prácticamente la misma. 
 
 \begin{figure}[!ht]
     \centering
     \includegraphics[width=\textwidth]{plot/trans_comp_norm.png}
     \caption{Diagrama de Bode de circuito propuesto ideal, $H$ y $H$ normalizada}
     \label{fig-bode-circuito-completo-ideal}
 \end{figure}
 
 En la tabla \ref{tab-err} se muestra el error porcentual entre la transferencia
 normalizada de la ecuación \ref{eq-trans-norm} con respecto a la transferencia
 ideal de la ecuación \ref{eq-tran}. Se puede ver que todos los parámetros se
 ubican en valores menores o iguales a $1\%$.
 
 \renewcommand{\arraystretch}{1.4}
 \begin{table}[h]
 \centering
 \footnotesize
 \setlength{\tabcolsep}{4pt}
 \begin{tabular}{|l|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|}
     \hline
         \cellcolor{gray!20} &
         $A_{v}$                 & $\Delta$$A_{v}$                &
         $\omega_0$              & $\Delta\omega_0$               &
         $Q$                     & $\Delta Q$                     &
         $ \left|z_{1}\right|$   & $\left|\Delta z_{1}\right|$    &
         $ \left|p_{1}\right|$   & $\left|\Delta p_{1}\right|$    &
         $ \left|p_{2,3}\right|$ & $\left|\Delta p_{2,3}\right|$  \\
     \hline
     \hline
     $H$        & 6,00 & 0,00 & 4000,0 & 0,00 & 2,25 & 0,00 & 250,0 & 0,00 & 500,0 & 0,00 & 4000,0 & 0.00 \\
     \hline
     $H_{norm}$ & 5,99 & 0,17 & 4014,8 & 0,37 & 2,26 & 0,44 & 252,5 & 1,00 & 505,1 & 1,00 & 4014,8 & 0.37 \\
     \hline
 \end{tabular}
 \caption{Errores porcentuales entre la transferencia ideal y normalizada}
 \label{tab-err}
 \end{table}
 
 
 \pagebreak
 \hypertarget{simulaciones}{%
 \section{Simulaciones}\label{simulaciónes}}
 
 A continuación se realizan simulaciones para comparar la transferencia $H$ ideal
 y con valores normalizados, con la respuesta del circuito propuesto. Para el
 circuito propuesto se utiliza el modelo de amplificador operacional a
 utilizar en la placa final, el TL081.
 
 Se compara la expresión de la transferencia con valores ideales de la ecuación
 \eref{eq-tran}, y la expresión con valores normalizados de la ecuación
 \eref{eq-trans-norm}. El circuito a simular en LTSpice se muestra en la figura
 \ref{fig-circuito-final-model} y es similar al circuito propuesto ideal de la
 figura \ref{fig-circuito-final-ideal} pero con la adición del modelo de
 amplificador operacional TL081 y la fuente de alimentación simétrica de $\pm24\
 V$. Además en el circuito a simular se incluyen algunas directivas de LTSpice,
 pero estas se irán cambiando conforme se hagan las diferentes simulaciones, así
 como también la fuente en tensión la entrada $V_{in}$.
 
 % Las expresiones de las transferencias a comparar son la que posee valores
 % ideales, que se muestra en la ecuación \eref{eq-tran} y la que tiene valores
 % normalizada y es la que implementa el circuito,  la ecuación
 % \eref{eq-trans-norm}. El circuito a simular se muestra en la figura
 % \ref{fig-circuito-final-model} y es similar al circuito completo ideal de la
 % figura \ref{fig-circuito-final-ideal} pero con la adición del modelo de
 % amplificador operacional TL081 y la fuente de alimentación simétrica de $\pm24\
 % V$.
 
 \begin{figure}[H]
     \centering
     \includegraphics[width=\textwidth]{sch/trans_comp_model_24V.png}
     \caption{Circuito final a simular en LTSpice}
     \label{fig-circuito-final-model}
 \end{figure}
 
 % \begin{figure}[!ht]
 %     \centering
 %     \begin{subfigure}{0.44\textwidth}
 %         \centering
 %         \includegraphics[width=\textwidth]{sch/complex_resistor_divider2.png}
 %         \caption{Valores genéricos}
 %         \label{fig-impedance-divider}
 %     \end{subfigure}
 %     \hfill
 %     \begin{subfigure}{0.44\textwidth}
 %         \centering
 %         \includegraphics[width=\textwidth]{sch/passive_highpass2.png}
 %         \caption{Valores calculados normalizados}
 %         \label{fig-impedance-divider-norm-values}
 %     \end{subfigure}
 % 
 %     \caption{Circuito pasa altos de primer orden con divisor de impedancias}
 %     \label{fig:circuito-considerado}
 % \end{figure}
 
 
 % en primer lugar, la
 % expresión de la transferencia $H$ con valores normalizados e ideal, y luego
 % el circuito 
 
 % la transferencia ideal $H$. Obtenidas con las expresiones ideales. En primer
 % lugar se compara la respuesta de la transferencia $H$ ideal y normalizada, y
 % luego la respuesta del circuito implementado 
 
 % de la ecuación \eref{eq-trans-norm},
 % , en
 % primer lugar, las transferencia $H$ con los valores ideales y normalizados de la
 % ecuación \eref{eq-trans-norm} y la transferencia 
 
 % A continuación se evaluará la respuesta del circuito propuesto en varios
 % aspectos, para esto se utilizará el programa LTSpice y el modelo de amplificador
 % operacional a utilizar en la placa final, el TL081, a diferencia de simulaciones
 % anteriores que se utilizaban modelos ideales de amplificadores operacionales.
 
 % \hypertarget{transferencia-normalizada}{%
 % \subsection{Transferencia normalizada}\label{transferencia-normalizada}}
 
 \hypertarget{respuesta-en-frecuencia}{%
 \subsection{Respuesta en frecuencia}\label{respuesta-en-frecuencia}}
 
 Para obtener la respuesta en frecuencia del circuito se utiliza la misma fuente
 y directivas de LTSpice que se muestran en la figura
 \ref{fig-circuito-final-model}, variando la frecuencia de la fuente de 0,1 Hz a
 250 Hz, aunque luego se gráfica utilizando la frecuencia angular en rad/s. El
 resultado se muestra en la figura \ref{fig-sim-bode} y se compara en la misma
 figura con el diagrama de Bode de la transferencia $H$ con valores teóricos y
 normalizados.
 
 % Se puede observa que prácticamente se compartan de la misma forma.
 
 \begin{figure}[H]
     \centering
     \includegraphics[width=\textwidth]{plot/sim/sim_bode.png}
     \caption{Diagrama de Bode de transferencias y circuito}
     \label{fig-sim-bode}
 \end{figure}
 
 \vspace{-1.5em}
 
 \hypertarget{respuesta-al-impulso}{%
 \subsection{Respuesta al impulso}\label{respuesta-al-impulso2}}
 
 En la figura \ref{fig-resp-impulso-tf-ideal-norm} a continuación se muestra la
 respuesta al impulso de la transferencia ideal y normalizada. Se puede observar
 que prácticamente responden de igual forma. En esta parte no se incluye la
 respuesta al impulso del circuito ya que no es realizable ne la practica, ya que
 no exista una fuente que cumpla con tener tensión infinitamente grande y tiempo
 de subida infinitamente pequeño, aunque se podría obtener una aproximación, pero
 de todas formas no se incluye.
 
 % No se tiene en cuenta la respuesta del circuito ya que requeriría de una fuente
 % con tensión infinita capaz de cambiar el estado de su salida en un tiempo
 % infinitamente pequeño, lo cual no existe en la práctica.
 
 \begin{figure}[H]
     \centering
     \includegraphics[width=\textwidth]{plot/sim/impulse.png}
     \caption{Respuesta al impulso transferencia ideal y normalizada}
     \label{fig-resp-impulso-tf-ideal-norm}
 \end{figure}
 
 Ambas transferencias responden de igual forma, en cualquier instante, con
 ligeras variaciones producto de la normalización de los valores. También se
 observa que ambas transferencias resultan similares a la respuesta al impulso
 obtenida de manera analítica mostrada en la figura \ref{fig-h-impulso-final}.
 
 \hypertarget{respuesta-al-escalón}{%
 \subsection{Respuesta al escalón}\label{respuesta-al-escalón}}
 
 Para simular la respuesta al escalón en LTSpice se cambia la fuente de tensión
 del circuito de la figura \ref{fig-circuito-final-model} por una fuente
 inicialmente con tensión nula pero que cambia a $1\ V$ en un tiempo de $1\ ns$,
 como se muestra en la figura \ref{fig-fuente-resp-escalon}.
 
 \begin{figure}[H]
     \centering
     \includegraphics[width=.42\textwidth]{sch/fuente_resp_step.png}
     \caption{Fuente utilizada en LTSpice para simular respuesta al escalón}
     \label{fig-fuente-resp-escalon}
 \end{figure}
 
 \vspace{-1em}
 
 En la figura \ref{fig-resp-escalon} se muestra la respuesta al escalón de la
 transferencia ideal y normalizada, y también la respuesta del circuito propuesto
 simulado en LTSpice con la señal de entrada mencionada previamente. Se puede ver
 que ambas transferencias se comportan prácticamente iguales, pero la respuesta
 del circuito presenta un sobrepico (u overshoot) mayor durante el régimen
 transitorio, luego durante el régimen permanente tanto las transferencias como
 el circuito convergen al mismo valor.
 
 \begin{figure}[H]
     \centering
     \includegraphics[width=\textwidth]{plot/sim/step.png}
     \caption{Respuesta al escalón transferencias y circuito.}
     \label{fig-resp-escalon}
 \end{figure}
 
 \hypertarget{respuesta-a-señal-senoidal}{%
 \subsection{Respuesta a señal senoidal}\label{respuesta-a-señal-senoidal1}}
 
 Para simular la respuesta a señales senoidales en LTSpice se cambia la fuente de
 tensión del circuito de la figura \ref{fig-circuito-final-model} por una fuente
 que genera una señal senoidal de frecuencia arbitraria, en este caso se
 parametrizó la frecuencia de la fuente de manera de generar con la misma fuente
 3 señales senoidales de diferentes frecuencias, tal como se muestra en la figura
 \ref{fig-fuente_resp_sin}. La señales senoidales generadas tienen amplitud $0.1\
 V$ y son de frecuencias $250\ Hz$, $\omega_{0}/2\pi \approx 636.6\ Hz$ y $10\
 kHz$.
 
 \begin{figure}[H]
     \centering
     \includegraphics[width=.80\textwidth]{sch/fuente_resp_sin.png}
     \caption{Fuente y directivas de LTSpice para generar señales senoidales}
     \label{fig-fuente_resp_sin}
 \end{figure}
 
 En la figura \ref{fig-resp-sin-250} se observa que tanto la transferencia con
 valores ideales como la que posee valores normalizados se comportan de manera
 similar en cualquier instante. La respuesta del circuito en una primera
 instancia presenta un sobrepico más elevado que el de las transferencias pero
 luego pasados $5\ ms$ converge a un comportamiento similares al de las
 transferencias. Se observa que se amplifica la amplitud y no hay cambio de fase,
 lo cual es congruente con el diagrama de Bode de la figura \ref{fig-sim-bode} para la
 frecuencia $250\ Hz$ (aproximadamente $1571\ rad/s$)
 
 \begin{figure}[H]
     \centering
     \includegraphics[width=\textwidth]{plot/sim/sim_sine_resp_250.png}
     \caption{Respuesta a señal senoidal de $250\ Hz$ transferencias y circuito.}
     \label{fig-resp-sin-250}
 \end{figure}
 
 En la figura \ref{fig-resp-sin-637} se tiene las respuestas para la señal
 senoidal de aproximadamente $636.6\ Hz$ (o $\omega_{0}\ rad/s$), según el
 diagrama de Bode de la figura \ref{fig-sim-bode} para esta frecuencia se tiene un máximo en
 ganancia y un desfase de $-90^{\circ}$, lo cual se aprecia en la figura. También
 se aprecia el comportamiento del circuito con un sobrepico elevado con respecto
 a las transferencias.
 
 \begin{figure}[H]
     \centering
     \includegraphics[width=\textwidth]{plot/sim/sim_sine_resp_637.png}
     \caption{Respuesta a señal senoidal de $636.6\ Hz$ transferencias y circuito}
     \label{fig-resp-sin-637}
 \end{figure}
 
 \vspace{-1em}
 
 La figura \ref{fig-resp-sin-10k} muestra las respuestas para una señal senoidal
 de frecuencia $10k$. Se ve que las transferencias se comportan de igual forma,
 atenuando drásticamente la señal. Para el circuito, en un principio se tiene un
 sobrepico elevado y luego de aproximadamente $5\ ms$ converge a valores
 similares al de las transferencias.
 
 \begin{figure}[H]
     \centering
     \includegraphics[width=\textwidth]{plot/sim/sim_sine_resp_10k.png}
     \caption{Respuesta a señal senoidal de $10\ kHz$ transferencias y circuito}
     \label{fig-resp-sin-10k}
 \end{figure}
 
 \hypertarget{respuesta-a-señal-cuadrada}{%
 \subsection{Respuesta a señal cuadrada}\label{respuesta-a-señal-cuadrada}}
 
 Para simular la respuesta a señales cuadradas, se realiza un procedimiento
 análoga al realizado para generar señales senoidales, cambiando la fuente de
 tensión del circuito de la figura \ref{fig-circuito-final-model} por una fuente
 que genere una señal cuadrada de frecuencia arbitraria, y parametrizando la
 frecuencia de la fuente de manera de generar con la misma fuente 3 señales
 de diferentes frecuencias, tal como se muestra en la figura
 \ref{fig-fuente_resp_squ}. La señales cuadradas generadas tienen componente
 continua nula, amplitud $0.1\ V$ y son de frecuencias $10\ Hz$, $250\ Hz$ y $2,5\
 kHz$.
 
 \begin{figure}[H]
     \centering
     \includegraphics[width=.70\textwidth]{sch/fuente_resp_squ.png}
     \caption{Fuente y directivas de LTSpice para generar señales cuadradas}
     \label{fig-fuente_resp_squ}
 \end{figure}
 
 \vspace{-0.5em}
 
 Para la señal cuadrada de $10\ Hz$, se tiene la respuesta de las transferencias
 y el circuito en la figura \ref{fig-resp-squ-10}. Se puede ver que las
 transferencias siguen la forma de onda de la señal cuadrada, a diferencia del
 circuito que presenta un sobrepico elevados en las transiciones, aunque pasados
 aproximadamente $10\ ms$ de la transición y hasta antes de la siguiente
 transición, la respuesta de las transferencias y el circuito se comportan de
 manera muy similar.
 
 \begin{figure}[H]
     \centering
     \includegraphics[width=\textwidth]{plot/sim/sim_square_resp_10.png}
     \caption{Respuesta a señal cuadrada de $10\ Hz$ transferencias y circuito}
     \label{fig-resp-squ-10}
 \end{figure}
 
 Para las dos señales cuadradas de mayor frecuencia, 250 Hz y 2,5 kHz, se
 tiene la respuesta de las transferencias y el circuito en las figuras
 \ref{fig-resp-squ-250} y \ref{fig-resp-squ-2k5}. Para estos casos tanto las
 transferencias como el circuito no tienen una coherencia con respecto a la señal
 cuadrada de referencia, lo que se puede decir es que ambas transferencias se
 comportan de manera similar entre si, y en el caso de la señal de 250 Hz con
 el circuito, pero esto no ocurre para el caso de la señal de 2,5 Hz, en la
 cual las transferencias se comportan de una forma y el circuito de otra.
 
 \begin{figure}[H]
     \centering
     \includegraphics[width=\textwidth]{plot/sim/sim_square_resp_250.png}
     \caption{Respuesta a señal cuadrada de 250 Hz transferencias y circuito}
     \label{fig-resp-squ-250}
 \end{figure}
 
 \begin{figure}[H]
     \centering
     \includegraphics[width=\textwidth]{plot/sim/sim_square_resp_2k5.png}
     \caption{Respuesta a señal cuadrada de 2,5 kHz transferencias y circuito}
     \label{fig-resp-squ-2k5}
 \end{figure}
 
 \iffalse
 A continuación se evaluará la respuesta del circuito propuesto en varios
 aspectos, para esto se utilizará el programa LTSpice y el modelo de amplificador
 operacional a utilizar en la placa final, el TL081, a diferencia de simulaciones
 anteriores que se utilizaban modelos ideales de amplificadores operacionales.
 
 El circuito final a simular se muestra en la figura
 \ref{fig-circuito-final-model} y es similar al circuito final ideal de la figura
 \ref{fig-circuito-final-ideal} pero con la adición del modelo de amplificador
 operacional TL081 y la fuente de alimentación simétrica de $\pm$12 V.
 
 \begin{figure}[H]
     \centering
     \includegraphics[width=\textwidth]{sch/trans_comp_model.png}
     \caption{Circuito propuesto a simular en LTSpice}
     \label{fig-circuito-final-model}
 \end{figure}
 \fi
 
 \pagebreak
 \hypertarget{implementacion-del-circuito}{%
 \section{Implementación del circuito}\label{implementacion-del-circuito}}
 
 A continuación se diseña e implementa en una placa el circuito propuesto que
 responde acorde a la transferencia asignada. Luego se tomarán mediciones para
 comparar la respuesta del circuito con las respuestas halladas analíticamente y
 por métodos numéricos.
 
 \hypertarget{diseño}{%
 \subsection{Diseño}\label{diseño}}
 
 Para la implementación física se siguió el circuito propuesto, el cual se puede
 ver en la figura \ref{fig-circuito-final-ideal}, y se optó por implementar el
 circuito en una placa de cobre FR-4 mecanizada con CNC. Dado el costo de la
 placa mecanizada se tomó la decisión de agregar un amplificador operacional
 adicional en la entrada en configuración de seguidor de tensión (o buffer) de
 manera tal que la impedancia de entrada del filtro sea muy grande, esto para
 evitar que dispositivos de medición afecten los parámetros del filtro y en caso
 de no necesitarse, saltar esa etapa mediante un puente. A continuación en la
 figura \ref{fig-board-sch} se muestra el circuito implementado en la placa.
 
 \begin{figure}[H]
     \centering
     \includegraphics[width=\textwidth]{img/board/board_sch.png}
     \caption{Circuito implementado en la placa}
     \label{fig-board-sch}
 \end{figure}
 
 Para la entrada y salida de las señales a la placa se utilizaron conectores
 coaxiales BNC (Bayonet Neill–Concelman) ya que son el estándar en los equipos de
 medición utilizados (generador de señales, osciloscopio, etc), de esta forma
 resulta sencillo y directo conectar y desconectar los equipos de medición a la
 placa. En la figura \ref{fig-board-views} se muestran vistas de la placa
 modelada.
 
 \begin{figure}[H]
     \centering
     \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
         \centering
         \includegraphics[width=1.00\textwidth]{img/board/board_top_rear_left.png}
         \caption{Vista trasera superior izquierda}
         \label{fig-board-top-rear-left}
     \end{subfigure}
     \hfill
     \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
         \centering
         \includegraphics[width=0.65\textwidth]{img/board/board_top.png}
         \caption{Vista superior}
         \label{fig-board-top}
     \end{subfigure}
     \caption{Vistas de la placa modelada}
     \label{fig-board-views}
 \end{figure}
 
 \hypertarget{armado}{%
 \subsection{Armado}\label{armado}}
 
 A continuación en la figura \ref{fig-board-real} se muestran capturas de la
 placa mecanizada con los componentes soldados. Se han identificado los
 conectores de entrada y salida de la placa para evitar confusiones: ``IN'' es
 la entrada de la señal, ``OUT'' indica el conector de salida de señal, ``T'' es
 la tierra ó 0 V de la alimentación, ``V+'' es la entrada de alimentación
 positiva y ``V-'' indica la entrada de alimentación negativa.
 
 \begin{figure}[H]
     \centering
     \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
         \centering
         \includegraphics[width=1.00\textwidth]{img/board/board_real_top.jpg}
         \caption{Vista superior}
         \label{fig-board-real-top}
     \end{subfigure}
     \hfill
     \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
         \centering
         \includegraphics[width=1.00\textwidth]{img/board/board_real_bot.jpg}
         \caption{Vista inferior}
         \label{fig-board-real-bot}
     \end{subfigure}
     \caption{Vistas de la placa armada}
     \label{fig-board-real}
 \end{figure}
  
 \hypertarget{mediciones}{%
 \subsection{Mediciones}\label{mediciones}}
 
 Para las mediciones se utilizó el dispositivo OWON HDS25S el cual dispone de un
 osciloscopio y un generador de señales integrado. El diagrama de conexiones para
 realizar las mediciones se muestra a continuación en la figura
 \ref{fig-osc-gen-wiring}. Para la alimentación de la placa se utilizó $\pm$12 V,
 ya que mediante simulación se comprobó que no afecta significativamente la
 respuesta en frecuencia del filtro si se utilizan señales de prueba de menor
 amplitud, con respecto a los $\pm$24 V del circuito propuesto.
 
 \begin{figure}[H]
     \centering
     \includegraphics[width=\textwidth]{img/test_bench.png}
     \caption{Diagrama de conexiones para realizar las mediciones sobre la placa}
     \label{fig-osc-gen-wiring}
 \end{figure}
 
 Mediante el generador de funciones se generaron las mismas señales que las
 analizadas mediante métodos analíticos y numéricos. En primer lugar se analizó
 la respuesta a señales senoidales de amplitud 100 mV y frecuencias 250 Hz, 637
 Hz y 10 kHz, como se muestra en la figura \ref{fig-osc-sine}. Para la señal
 senoidal de 250 Hz, se puede ver que la respuesta medida de la placa de la
 figura \ref{fig-osc-sine-250} es similar a las respuestas de la figura
 \ref{fig-resp-sin-250}, dado que no se tiene cambio de fase y hay una ganancia
 de entre 12 y 14 veces. Lo mismo ocurre con la senoidal de 637 Hz de la figura
 \ref{fig-osc-sine-637} la cual es similar a la vista previamente en la figura
 \ref{fig-resp-sin-637}, en ambas se ve un ligero cambio de fase y una ganancia
 de entre 20 y 25 veces. Para la senoidal de 10 kHz, también se tiene una
 similitud con las respuesta de la figura \ref{fig-resp-sin-10k} obtenida
 mediante métodos numéricos, ya que como se puede ver en la figura
 \ref{fig-osc-sine-10k}, la respuesta de la placa es similar, dado que se tiene
 una atenuación casi por completo de la señal de entrada.
 
 \begin{figure}[!ht]
     \centering
     \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
         \centering
         \includegraphics[width=1.00\textwidth]{osc/png/sine_250.png}
         \caption{Salida para señal senoidal de 250 Hz}
         \label{fig-osc-sine-250}
     \end{subfigure}
     \hfill
     \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
         \centering
         \includegraphics[width=1.00\textwidth]{osc/png/sine_637.png}
         \caption{Salida para señal senoidal de 637 Hz}
         \label{fig-osc-sine-637}
     \end{subfigure}
 
     \vspace{0.5em}
 
     \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
         \centering
         \includegraphics[width=1.00\textwidth]{osc/png/sine_10k.png}
         \caption{Salida para señal senoidal de 10 kHz}
         \label{fig-osc-sine-10k}
     \end{subfigure}
     \caption{Respuesta a señales senoidales de la placa}
     \label{fig-osc-sine}
 \end{figure}
 
 De manera similar a lo realizado para señales senoidales, se verificó la
 respuesta del circuito a señales cuadradas utilizando el generador de señales
 para generar las mismas señales que las analizadas con los métodos numéricos.
 Las 3 señales cuadradas generadas son de amplitud pico 100 mV y frecuencias 10
 Hz, 250 Hz y 2500 Hz
 
 En la figura \ref{fig-osc-square} se muestran las señales cuadradas generadas y
 las respuestas medidas de la placa ante esas señales. En primer lugar en la
 figura \ref{fig-osc-square-10} se tiene la respuesta de la placa ante una señal
 cuadrada de 10 Hz, se puede ver que es comparable a la respuesta obtenida de
 manera numérica de la figura \ref{fig-resp-squ-10} dado que se tiene un
 sobrepico con una duración de aproximadamente 6 ms y luego una ganancia de
 aproximadamente 6 veces. Para la señal cuadrada de 250 Hz la respuesta de la
 placa se muestra en la figura \ref{fig-osc-square-250} y tiene una forma similar
 a la respuesta obtenida mediante métodos numéricos de la figura
 \ref{fig-resp-squ-250}, en particular, la forma es más parecida a la forma de la
 respuesta del circuito simulado que a la respuesta de la transferencia en si,
 con el pico mayor en aproximadamente 2 V y el pico menor cercano a 1 V. Para la
 respuesta del circuito a la señal cuadrada de 2500 Hz de la figura
 \ref{fig-osc-square-2k5}, se tiene que no hoy una relación entre la respuesta
 obtenida de la placa y la obtenida mediante métodos numéricos que se muestra en
 la figura \ref{fig-resp-squ-2k5}.
 
 \begin{figure}[!ht]
     \centering
 
     \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
         \centering
         \includegraphics[width=1.00\textwidth]{osc/png/square_10.png}
         \caption{Salida para señal cuadrada de 10 Hz}
         \label{fig-osc-square-10}
     \end{subfigure}
     \hfill
     \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
         \centering
         \includegraphics[width=1.00\textwidth]{osc/png/square_250.png}
         \caption{Salida para señal cuadrada de 250 Hz}
         \label{fig-osc-square-250}
     \end{subfigure}
 
     \vspace{0.5em}
 
     \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
         \centering
         \includegraphics[width=1.00\textwidth]{osc/png/square_2k5.png}
         \caption{Salida para señal cuadrada de 2500 Hz}
         \label{fig-osc-square-2k5}
     \end{subfigure}
 
     \caption{Respuesta a señales cuadradas de la placa}
     \label{fig-osc-square}
 \end{figure}
 
 Por ultimo se analiza la respuesta al escalón del circuito, para esto se genera
 una señal cuadrada con amplitud 50 mV y componente continua de 50 mV, con un
 período muy grande. El resultado, junto con la respuesta del circuito ante esta
 entrada, se muestra en la figura \ref{fig-osc-impulse-no-cursors}. En la
 figura, se observa el comportamiento subamortiguado del circuito, y se puede
 ver que la amplitud del primer pico es aproximadamente 16 veces la amplitud del
 escalón, este valor es el mismo que el valor de la amplitud de la respuesta al
 escalón de la transferencia normalizada que se puede ver en la figura
 \ref{fig-resp-escalon}, pero no es igual a la amplitud del primer pico del
 circuito simulado que se puede ver en la misma figura, el cual resulta de
 aproximadamente 18,5 veces. Haciendo uso de los cursores del osciloscopio se
 mide el tiempo característico tal como se muestra en la figura
 \ref{fig-osc-impulse-cursors}, con lo cual se obtiene aproximadamente 6 ms, lo
 que se condice con las respuestas obtenidas de manera analítica y numérica.
 
 \begin{figure}[!ht]
     \centering
     \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
         \centering
         \includegraphics[width=1.00\textwidth]{osc/png/impulse.png}
         \caption{Respuesta al impulso}
         \label{fig-osc-impulse-no-cursors}
     \end{subfigure}
     \hfill
     \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
         \centering
         \includegraphics[width=1.00\textwidth]{osc/png/impulse_cursor_time.png}
         \caption{Respuesta al impulso con cursores}
         \label{fig-osc-impulse-cursors}
     \end{subfigure}
 
     \caption{Respuesta al escalón de la placa}
     \label{fig-osc-impulse}
 \end{figure}
 
 Para obtener la respuesta en frecuencia de la placa y comparar así con la
 respuesta en frecuencia de la transferencia asignada y normalizada, se utilizó
 el estándar de comandos SCPI (Standard Commands for Programmable Instruments)
 del osciloscopio y generador utilizado.\footnotemark[12] Sabiendo los comandos,
 se creó un script de Python el cual itera sobre una lista de frecuencias de
 longitud arbitraria distribuidas logaritmicamente. Para cada frecuencia de la
 lista, se genera una señal senoidal con amplitud pico de 100 mV; si la
 frecuencia es menor a 1 kHz, o 1 V, si la frecuencia es mayor a 1 kHz, y para
 cada frecuencia se mide la amplitud de la señal de salida de la placa mediante
 el canal 1 del osciloscopio, dividiendo por la amplitud pico de la señal de
 entrada para normalizar el valor entre -1 y 1. El resultado del script es una
 lista de valores separados por coma, los cuales son utilizados como entrada de
 un script de Octave que genera una gráfica de la magnitud en escala de decibeles
 en función de la frecuencia, con la frecuencia en escala logarítmica. 
 
 \footnotetext[12]{El estándar se encuentra disponible en la pagina web del
 fabricante. \cite{owon_hds}}
 
 La respuesta en frecuencia de la placa obtenida, con una lista de 300
 frecuencias diferentes ordenadas logaritmicamente y realizando un promedio móvil
 de 2 muestras de las magnitudes medidas, se puede ver en la figura
 \ref{fig-bode-placa-comp}, en la cual se aprecia la símil respuesta entre la
 placa y las transferencias original y normalizada. Se puede ver que para
 frecuencias menores a 5 kHz (aproximadamente 31000 rad/s), ambas transferencias
 y la placa se corresponden muy bien, y para frecuencias mayores a dicha
 frecuencia comienza a haber una diferencia, esto ultimo se atribuye
 principalemente a errores en las mediciones producto de una señal de salida muy
 débil (dada la atenuación).
 
 % en particular se aprecia
 % que para frecuencias menores a 1 kHz la placa responde de manera casi similar a
 % la transferencia original y a la normalizada.
 
 % por lo menos cuando la
 % frecuencia se encuentra por debajo de 1 kHz. Para frecuencias mayores a 1 kHz se
 % puede ver una diferencia entre las transferencias y la placa, esto puede deberse
 % a que la señal generada tiene una amplitud baja (0.1 V) con lo cual se dificulta
 % la medición de la señal atenuada, la cual es aun más baja. Una solución a esto
 % último puede ser aumentar la amplitud de la señal de prueba cuando la frecuencia
 % es mayor a 1 kHz, pero el resultado debería ser el mismo, que se atenúe casi por
 % completo la señal.
 
 \begin{figure}[H]
     \centering
     \includegraphics[width=\textwidth]{plot/bode_board_rad.png}
     \caption{Diagrama de Bode de transferencias y placa}
     \label{fig-bode-placa-comp}
 \end{figure}
 
 En la tabla \ref{tab-err-board} se comparan los valores de ganancia en decibeles
 de la transferencia original y los valores medidos de la placa, además se
 calcula el error porcentual, el cual para frecuencias menores a 25 krad/s
 (aproximadamente 4 kHz) se encuentra por debajo de 5\%.
 
 \renewcommand{\arraystretch}{1.2}
 \begin{table}[h]
 \centering
 \small
 \setlength{\tabcolsep}{8pt}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
     \hline
         Frecuencia [rad/s] & H [dB] & Placa [dB] & Error [\%] \\
     \hline
     \hline
              20 & 15,6 & 15,5 & 0,64 \\
     \hline
             253 & 17,7 & 17,6 & 0,56 \\
     \hline
             639 & 20,3 & 20,0 & 1,48 \\
     \hline
            1015 & 21,4 & 21,2 & 0,93 \\
     \hline
            2915 & 26,4 & 25,4 & 3,79 \\
     \hline
           10722 &  5,6 & 5,8  & 3,57 \\
     \hline
           24770 & -9,9 & -9,3 & 6,06 \\
     \hline
 \end{tabular}
 \caption{Error porcentual entre la ganancia de la transferencia original y la placa}
 \label{tab-err-board}
 \end{table}
 
 
 % 
 % \hypertarget{resultados}{%
 % \section{Resultados}\label{resultados}}
 
 \pagebreak
 \hypertarget{conclusion}{%
 \section{Conclusión}\label{conclusion}}
 
 % En el presente trabajo se partió de una función de transferencia desconocida y
 % se analizó el comportamiento desde todos los puntos de vista. En una primera
 % instancia se realizó un análisis de manera analítica en dominio temporal y
 % frecuencial, y luego, mediante métodos numéricos y simulaciones. A partir del
 % análisis realizado se propuso un circuito con respuesta similar a la de la
 % transferencia desconocida. El circuito propuesto se simuló y posteriormente se
 % implementó físicamente en una placa de cobre mecanizada, lo que permitió
 % realizar mediciones experimentales y comparar el comportamiento con la
 % transferencia original.
 
 % La comparación de los resultados obtenidos mediante el análisis analítico, los
 % métodos numéricos, la simulación y las mediciones experimentales permitió
 % evaluar el grado de correspondencia entre los distintos enfoques. En general, se
 % obtuvo un resultado muy bueno, verificándose que el circuito implementado
 % reproduce adecuadamente el comportamiento de la transferencia propuesta con un
 % error en la respuesta en frecuencia menor a 5\% para frecuencias menores a 30
 % kHz. Las diferencias observadas pueden atribuirse a tolerancias de los
 % componentes, limitaciones de los instrumentos de medición, características no
 % ideales de los amplificadores operacionales, o ruido en las mediciones.
 
 % En general el presente trabajo permitió validar los modelos utilizados,
 % verificando que el circuito propuesto responde acorde a la transferencia
 % asignada dentro de un margen de error.
 
 % El presente trabajo permitió validar los diferentes métodos utilizados,
 % partiendo de una transferencia desconocida y aplicando métodos analíticos,
 % numéricos y experimentales para su caracterización. De este modo, se verificó
 % que los resultados obtenidos mediante los distintos métodos son consistentes
 % entre sí, dentro de un margen de error aceptable.
 
 El presente trabajo permitió validar los diferentes métodos de analisis y
 sintesis utilizados, partiendo de una transferencia desconocida y aplicando
 métodos analíticos, numéricos y experimentales para su caracterización. De este
 modo, se verificó que los resultados obtenidos mediante los distintos métodos
 son consistentes entre sí, dentro de un margen de error aceptable.
 
 En general, se obtuvo un resultado muy bueno, verificándose que el circuito
 implementado reproduce adecuadamente el comportamiento de la función de
 transferencia asignada, con un error en la respuesta en frecuencia menor a 5\%
 para frecuencias inferiores a 25 krad/s (aproximadamente 4 kHz). Para
 frecuencias superiores a ese valor, el incremento del error se atribuye
 principalmente a errores de medicion, dado que se tiene una señal muy debil a
 medir (producto de la fuerte atenuacion del circuito). Sin embargo, se puede
 concluir que el comportamiento observado coincide con el esperado, ya que en
 ambos casos se verifica una fuerte atenuación de la señal.
 
 % deberse a las tolerancias de los
 % componentes de la placa, limitaciones de los instrumentos de medición,
 % características no ideales de los amplificadores operacionales, ruido en las
 % mediciones, entre otras cosas.
 
 % mencionada, el incremento en el error se atribuye a errores en las mediciones
 % producto de una señal muy debil, pero en general se concluye que la se
 
 % con programs como Octave y LTSpice, por ultimo se ha propuesto un circuito 
 % en  finalizando con la implementación de un circuito con respuesta en frecuencia
 % similar a la respuesta en frecuencia de la transferencia asignada.
 
 \pagebreak
 \phantomsection
 \nocite{owon_hds_scpi}
 \addcontentsline{toc}{section}{Referencias}
 \printbibliography
 
 \end{document}