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\title{Función de Transferencia}          % Titulo del trabajo.
\author{Klöckner, Martin Javier}
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\begin{document}
\begin{titlepage}
    \vspace*{-2.5cm}
    {\centering
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    \centering
    \textsc{\Large TB066}\\[0.2 cm]
    \textsc{\large Análisis de Circuitos}\\[4 cm]
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    \vspace{1em}
    {\Large \bfseries Trabajo Práctico Integrador}\\[5cm]

    \vfill
    \noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\textwidth}{0.4pt}}\\[0.5cm]
    \begin{minipage}{.49\textwidth}
    \textbf{Alumno}\\
    Klöckner, Martin Javier
    \end{minipage}%
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    % \centering\textbf{Legajo}\\
    % 105378 
    \end{minipage}%
    \vspace{1em}
    \begin{minipage}{.50\textwidth}
     \begin{flushright}
        \textbf{Correo electrónico}\\
         \href{mailto:mklockner@fi.uba.ar}{mklockner@fi.uba.ar} \\
      \end{flushright}
    \end{minipage}

    \begin{minipage}{.50\textwidth}
    \textbf{Corrector}\\
    Cea Sastre, Diego Hernán
    \end{minipage}%
    \begin{minipage}{.50\textwidth}
        \begin{flushright}
         \textbf{Correo electrónico} \\
         \href{mailto:dceasas@fi.uba.ar}{dceasas@fi.uba.ar} \\
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\end{titlepage}

\setcounter{tocdepth}{2}
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\phantomsection
\pdfbookmark[1]{\contentsname}{toc}
\tableofcontents
\pagebreak
\listoffigures
\listoftables
\pagebreak

En el presente trabajo se realiza un análisis de la transferencia de un sistema
dado y luego se diseña e implementa un circuito que responda acorde a esa
transferencia.

\hypertarget{introduccion}{%
\section{Introducción}\label{introduccion}}

Por definición, la transferencia $H(s)$ de un sistema, es el cociente entre la
entrada $X(s)$ y la salida $Y(s)$ del sistema, suponiendo que todas las
condiciones iniciales son nulas, específicamente en el dominio de
Laplace.\footnotemark[1]

\footnotetext[1]{Sección 16.4 ``Funciones de transferencia'', \cite{sadiku2015}}

\begin{align}
    H(s) = \dfrac{Y(s)}{X(s)}
    \label{eq-h-y-x}
\end{align}

La transferencia sirve para determinar como reacciona el sistema a una
determinada entrada $X(s)$, es decir, permite obtener la salida $Y(s)$ para
cualquier entrada,\footnotemark[2] esto porque se trabaja con sistemas lineales invariantes en
el tiempo.

\footnotetext[2]{Sección 2.2 ``Sistemas LTI continuos: la integral de convolución'', \cite{oppenheim2009}}

\hypertarget{analisis-de-transferencia}{%
\section{Análisis de transferencia}\label{analisis-de-transferencia}}

La transferencia a analizar tiene la expresión de la ecuación
\ref{eq-tran}.

\begin{align}
H(s) = \dfrac{6\cdot \left(\dfrac{s}{250} + 1\right)}
{\left(\dfrac{s}{500} + 1\right)\left(\dfrac{s^{2}}{4000^{2}} + \dfrac{s}{9000} + 1\right)}
\label{eq-tran}
\end{align}

Tomando $s=j\omega$ se tiene la respuesta en frecuencia del sistema, para
determinar a que tipo de filtro corresponde, se analiza como actúa la
transferencia para frecuencias muy bajas y como actúa para frecuencias muy
altas, esto es $\omega\to 0$ y $\omega\to \infty$, respectivamente. Para
frecuencias muy bajas, con $\omega\to 0$ en la transferencia resulta como en la
ecuación \ref{eq-tran-to-zero}.

\begin{align}
    H(\omega\to 0) &= \frac{6\cdot \left(\to 0 + 1\right)}
{\left(\to 0 + 1\right)\left(\to 0 + \to 0 + 1\right)} = 6
\label{eq-tran-to-zero}
\end{align}

Mientras que para frecuencias muy altas se toma $\omega\to \infty$, lo que
resulta en una indeterminación infinito sobre infinito como se observa en la
ecuación \ref{eq-tran-to-inf}, aplicando la regla de L'Hopital y luego evaluando
para $\omega\to \infty$ se llega al resultado de la ecuación
\ref{eq-tran-to-inf-lh}.

\begin{align}
    H(\omega\to \infty) &= \frac{6\cdot \left(\to \infty + 1\right)}
    {\left(\to \infty + 1\right)\left(\to \infty + \to \infty + 1\right)} =
    \frac{\to\infty}{\to\infty}
\label{eq-tran-to-inf}
\end{align}

\begin{align}
    H^{\prime}(\omega\to \infty) = \to 0\ \ \Longrightarrow\ \
    H(\omega\to\infty) = \to0
\label{eq-tran-to-inf-lh}
\end{align}

Teniendo en cuenta los resultados de las ecuaciones \ref{eq-tran-to-zero} y
\ref{eq-tran-to-inf-lh} se observa que permite el paso a bajas frecuencias,
mientras que atenúa por completo frecuencias altas, este comportamiento es el de
un filtro \textbf{pasa bajos}.

\hypertarget{polos-y-ceros}{%
\subsection{Polos y ceros}\label{polos-y-ceros}}

Denotando la transferencia como cociente de polinomios $N(s)$ y $D(s)$ para el
numerador y denominador, respectivamente, como se muestra en la ecuación
\eref{eq-tran-pol}, se define \textit{ceros} a las raíces del polinomio del
numerador y \textit{polos} a las raíces del polinomio del denominador.

\begin{align}
    H(s) = \dfrac{N(s)}{D(s)}
    \label{eq-tran-pol}
\end{align}

Para el polinomio del numerador $N(s)$ se tiene un único cero real en $z_{1} =
-250$, mientras que para el polinomio del denominador $D(s)$ se tiene un polo
real simple en $p_{1} = -500$ y un par de polos complejos conjugados $p_{2,3} =
-8000/9 \pm j3900$. Se puede observar que todos los polos y ceros tienen parte
real negativa, esto implica que el sistema asociado a la transferencia es
estable.\footnotemark[3]

\footnotetext[3]{Este resultado se obtiene de la sección 16.6.1 ``Estabilidad de
una red'', \cite{sadiku2015}}

\hypertarget{producto-de-transferencias-simples}{%
\subsection{Producto de transferencias más simples}\label{producto-de-transferencias-simples}}

La expresión de la transferencia de la ecuación \eref{eq-tran} se puede
reescribir como producto de transferencias más simples, además simplificando el
termino que acompaña a los coeficientes de mayor grado en los polinomios del
numerador y denominador resulta como se muestra
en la ecuación \eref{eq-tran-producto}.

\begin{align}
    H(s) = 12\ \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
    \ \dfrac{4000^{2}}{\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
    \label{eq-tran-producto}
\end{align}

En la ecuación \eref{eq-tran-producto} se observa un producto de dos
transferencias más simples, las cuales resulta conveniente llamar $H_{1}(s)$ a
la transferencia de primer orden y $H_{2}(s)$ a la de segundo, de manera que
$H(s)$ sea el producto de $H_{1}(s)$, $H_{2}(s)$ y un factor de ganancia 12 (o
$21.6dB$ aproximadamente) repartido entre ambas transferencias, tal como se
muestra en la ecuación \eref{eq-tran-simp-producto}.

\vspace{-1em}
\begin{gather}
    H_{1}(s) = K_{1}\ \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}  \qquad
    H_{2}(s) = K_{2}\ \dfrac{4000^{2}}{\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
\nonumber\\ \nonumber\\
    H(s) = H_{1}(s) \cdot H_{2}(s);\qquad K_{1}\cdot K_{2} = 12
\label{eq-tran-simp-producto}
\end{gather}

Analizando cada transferencia por separado y realizando un análisis análogo al
realizado para la expresión de la transferencia completa, se observa que
$H_{1}$ corresponde a un filtro pasa altos de primer orden, el cual tiene una
diferencia de ganancia entre frecuencias altas y bajas de $6dB$, ya que
evaluando $H_{1}$ para frecuencias muy bajas ($\omega\to 0$) resulta $0,5K_{1}$
(atenuación en $6dB$ aproximadamente para $K_{1}=1$) y para frecuencias altas ($\omega\to
\infty$) $H_{1}(s)$ resulta $K_{1}$. La frecuencia de corte se obtiene cuando el
modulo de la transferencia resulta aproximadamente $0.707$ o $-3dB$ con respecto
a la banda pasante, por lo que tomando $K_{1} = 1$ e igualando el modulo de la
respuesta en frecuencia con $1/\sqrt{2}$, como se muestra en la ec.
\eref{eq-tran-h1-frec-corte}, se obtiene una frecuencia de corte $\omega_{c}$
aproximada de $353.5 rad/s$, esto es aproximadamente $56.3 Hz$.

\iffalse
, y una frecuencia de corte aproximadamente en los $56,3 Hz$

por completo las frecuencias bajas) ya que evaluando $H_{1}$ para frecuencias
muy bajas ($\omega\to 0$) resulta $K_{1}\cdot 0,5$ (o $-6dB$ aproximadamente), es decir,
atenúa a la mitad las frecuencias muy bajas y no por completo como un pasa altos
típico. Para frecuencias muy altas ($\omega\to \infty$) $H_{1}(s)$ resulta 1, no
modifica las frecuencias altas. La frecuencia de corte se obtiene cuando el
modulo de la transferencia resulta aproximadamente $0.707$ o $-3dB$, igualando
el modulo de la respuesta en frecuencia con $1/\sqrt{2}$, como se muestra en la
ec. \eref{eq-tran-h1-frec-corte}, se obtiene una frecuencia de corte $\omega_{c}$
aproximada de $353.5 rad/s$, esto es aproximadamente $56.3 Hz$.

Analizando cada transferencia por separado y realizando un análisis análogo al
realizado para la expresión de la transferencia completa, se observa que
$H_{1}$, para $K_{1} = 1$, corresponde a un filtro pasa altos el cual no atenúa
por completo las frecuencias bajas, ya que evaluando para frecuencias
muy bajas ($\omega\to 0$) resulta $0,5$ (o $-6dB$ aproximadamente), es decir,
atenúa a la mitad las frecuencias muy bajas y no por completo como un pasa altos
típico. Tomando otro valor de $K_{1}$, por ejemplo $2$, resulta que $H_{1}$ se
comporta como un filtro pasa

Para frecuencias muy altas ($\omega\to \infty$) $H_{1}$ resulta 1, no
modifica las frecuencias altas. La frecuencia de corte se obtiene cuando el
modulo de la transferencia resulta aproximadamente $0.707$ o $-3dB$, igualando
el modulo de la respuesta en frecuencia con $1/\sqrt{2}$, como se muestra en la
ec. \eref{eq-tran-h1-frec-corte}, se obtiene una frecuencia de corte $\omega_{c}$
aproximada de $353.5 rad/s$, esto es aproximadamente $56.3 Hz$.
\fi

\begin{align}
    \left|H_{1}(j\omega_{c})\right| &= \left|\dfrac{j\omega_{c} +
    250}{j\omega_{c} + 500}\right| = \dfrac{1}{\sqrt{2}}
    \Rightarrow\omega_{c} \approx 353.5\ rad/s
    \Rightarrow\boxed{f_{c} \approx 56.3Hz}
    \label{eq-tran-h1-frec-corte}
\end{align}

Para la transferencia $H_{2}(s)$ se tiene un filtro pasa-bajos de segundo orden,
en este caso se tiene una expresión generalizada de las transferencia, la cual
se encuentra en la ecuación \eref{eq-lpf-2-general}.\footnotemark[4]

\footnotetext[4]{Se utiliza la Tabla 5.1 ``Standard Forms of Second-Order
Responses'', \cite{schaumann2001}}

\vspace{-0.5em}
\begin{align}
    H(s) &= \dfrac{K\omega_{0}^{2}}{s^{2}+\dfrac{\omega_{0}}{Q}s + \omega_{0}^{2}}
    \label{eq-lpf-2-general}
\end{align}

Tomando la expresión de $H_{2}(s)$ e igualando con la expresión  general de
\eref{eq-lpf-2-general}, en particular el polinomio en el denominador, resulta
como se muestra en la ec. \eref{eq-termino-cuad}.

\begin{align}
    s^{2}+\dfrac{\omega_{0}}{Q}s + \omega_{0}^{2} = s^{2} +
    \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\;
    \Rightarrow\; \omega_{0} = 4000\ rad/s;\;
    Q = \displaystyle\sfrac{9}{4}
    \label{eq-termino-cuad}
\end{align}

De \eref{eq-termino-cuad} igualando termino a termino resulta en una frecuencia
natural $\omega_{0} = 4000$ y un factor de calidad $Q=9/4=2.25$. Este resultado del
factor de calidad $Q$ era esperable ya que se sabe que tiene raíces complejas
conjugadas, por lo que debía que ser mayor a 0,5 para que esto se cumpla.

\hypertarget{respuesta-al-impulso}{%
\subsection{Respuesta al impulso}\label{respuesta-al-impulso1}}

Como se mencionó previamente, la transferencia de un sistema LTI permite obtener
la salida de ese sistema ante cualquier entrada. Despejando la salida $Y(s)$ de
la ecuación \eref{eq-h-y-x} resulta como en la ec. \eref{eq-y-h-x}, siendo $X(s)$
la transformada de Laplace de la entrada. Para la respuesta al impulso se tiene
como entrada la delta de Dirac, por lo tanto $X(s)$ en este caso es la
transformada de Laplace de la delta $\mathcal{L}\{\delta\}$, que por tabla
resulta $\mathcal{L}\{\delta\} = 1$,\footnotemark[6] resultando en la misma
expresión en el dominio de Laplace que la transferencia, como se muestra en la
ecuación \eref{eq-y-h-d}.

\footnotetext[6]{Tabla 15.2, \cite{sadiku2015}}

\begin{align}
    Y(s) = H(s)\cdot X(s)
    \label{eq-y-h-x}
\end{align}

\vspace{-1em}
\begin{align}
    Y(s) = H(s)\cdot \mathcal{L}\left\{\delta(s)\right\} = H(s)\cdot 1 = H(s)
    \label{eq-y-h-d}
\end{align}

No es casualidad que la respuesta al impulso sea la transformada de Laplace de
la delta, y es que esta es otra definición valida para la función de
transferencia. Entonces, para determinar la respuesta al impulso del sistema
dado por la transferencia $H(s)$ basta con calcular la anti-transformada de
Laplace de la función de transferencia $H(s)$, esto es, la respuesta al impulso
$h(t)$ en el dominio de tiempo será $\mathcal{L}^{-1}\left\{H(s)\right\}$,
como se muestra en la ecuación \eref{eq-l-1-h}.

\begin{align}
    h(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{H(s)\right\}
         = \mathcal{L}^{-1}\left\{
            12\cdot \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
            \cdot
            \dfrac{4000^{2}}
                  {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
            \right\}
    \label{eq-l-1-h}
\end{align}


Como el operador de Laplace es un operador lineal las constantes multiplicando
salen fuera del operador, y factorizando el termino cuadrático del denominador
de la transferencia en términos de las raíces, resulta como se muestra en la
ec. \eref{eq-l-1-h-den-fac}.

\begin{align}
    h(t) = 12\cdot 4000^{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{
            \dfrac{\left(s + 250\right)}
                  {\left(s - p_{1}\right)\cdot \left(s - p_{2} \right)
                  \cdot
                  \left(s - p_{3}\right)}\right\}
    \label{eq-l-1-h-den-fac}
\end{align}

Teniendo la transferencia como producto, resulta conveniente factorizar en
fracciones simples, de manera que se pueda aplicar termino a termino el operador
inverso de Laplace, por la propiedad de linealidad.\footnotemark[7] La expansión
en fracciones simples de la expresión a anti-transformar, resulta como se
muestra en \eref{eq-l-f-simp}, con $k_{1, 2, 3}$ números complejos constantes y
$p_{1,2,3}$ los polos de la transferencia hallados previamente. Como $p_{2}$ y
$p_{3}$ son complejos conjugados, entonces se cumple que el coeficiente $k_{3}$
es el conjugado de $k_{2}$, esto es, $k_{3} = k_{2}^{*}$.

\footnotetext[7]{Esto se conoce como teorema de Heaviside, sección 15.4,
\cite{sadiku2015}}

\begin{align}
    h(t) = 12\cdot 4000^{2}\cdot \mathcal{L}^{-1}\left\{
        \dfrac{k_{1}}{\left(s - p_{1}\right)} +
        \dfrac{k_{2}}{\left(s - p_{2}\right)} +
        \dfrac{k_{3}}{\left(s - p_{3}\right)}
    \right\}
    \label{eq-l-f-simp}
\end{align}

Para hallar los coeficientes $k_{1, 2}$ se utiliza el método de los residuos
teniendo en cuenta que son polos simples, para esto se toma el limite tendiendo
al polo $p_{i}$ correspondiente al coeficiente $k_{i}$ de la función previa a
expandirla en fracciones simples, multiplicada por el termino que anula el
denominador en ese polo $(s-p_{i})$, como se muestra en la ecuación
\eref{eq-calculo-ki}

\begin{align}
    k_{i} = \lim_{s\ \to\ p_{i}}\ (s-p_i)\cdot H(s)
    \label{eq-calculo-ki}
\end{align}

Para el primer coeficiente $k_{1}$ resulta como se muestra en la ecuación
\eref{eq-calculo-k1}, y realizando el mismo procedimiento se obtiene $k_{2}$ como
se muestra en la ecuación \eref{eq-calculo-k2}. El coeficiente $k_{3}$ es el conjugado
de $k_{2}$, por lo que el resultado es directo como se muestra en la ecuación
\eref{eq-calculo-k3}.

\begin{align}
    k_{1} &= \lim_{s\to -500}\ (s + 500)
    \cdot
    \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
    \cdot
    \dfrac{1}
          {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}\nonumber\\[6pt]
    &\hspace{50pt}\boxed{k_{1} \approx -16.3\cdot 10 ^{-6}}
    \label{eq-calculo-k1}
\end{align}

\vspace{-1em}
\begin{align}
    k_{2} &= \lim_{s\to \frac{-8000}{9}+j3900}
    \dfrac{\left(s - \left(\dfrac{-8000}{9}+j3900\right)\right) \cdot \left(s + 250\right)}
          {\left(s + 500\right)
            \cdot\left(s - \left(\dfrac{-8000}{9}+j3900\right)\right)
            \cdot\left(s - \left(\dfrac{-8000}{9}-j3900\right)\right)}
          \nonumber\\[12pt]
     &\hspace{100pt} \boxed{k_{2}\approx \left(8.37 - j129\right)\cdot 10^{-6}}
    \label{eq-calculo-k2}
\end{align}

\vspace{-0.5em}
\begin{align}
    % k_{3} = k_{2}^{*} \Longrightarrow \boxed{k_{3}\approx -495 - j7849}
    k_{3} = k_{2}^{*} \Rightarrow \boxed{k_{3} \approx \left(8.37 + j129\right)\cdot 10^{-6}}
    \label{eq-calculo-k3}
\end{align}

Teniendo los valores de $k_{1, 2, 3}$, en la ecuación \eref{eq-l-f-simp} se puede
aplicar el operador inverso de Laplace termino a termino, cada termino responde
a expresiones tabuladas,\footnotemark[8] lo que resulta como se ve en la
ecuación \eref{eq-l-t-f-simp}.

\begin{align}
    h(t) = 12\cdot4000^{2}\cdot \left(
        k_{1} e^{-p_{1}t} +
        k_{2} e^{-p_{2}t} +
        k_{3} e^{-p_{3}t}
    \right)\cdot u(t)
    \label{eq-l-t-f-simp}
\end{align}

En particular en el segundo y tercer termino de \eref{eq-l-t-f-simp} los
coeficientes $k_{2,3}$ y sus polos $p_{2,3}$ son complejos conjugados, aplicando
la identidad de Euler y operando se llega al resultado siguiente que se muestra
en \eref{eq-comp-conj-comb}.

\begin{align}
    \text{Denotando} \; p_{2} = \alpha + j\beta\; \text{y} \;
    k_{2} =& \lambda + j\gamma\; \nonumber\\[8pt]
    \Rightarrow k_{2} e^{-p_{2}t} + k_{2}^{*}& e^{-p_{2}^{*}t} =
        2e^{\alpha t}\cdot \left[
        \lambda\ cos\left( \beta t\right) +
        \gamma\ sin\left( \beta t\right)
    \right]
    \label{eq-comp-conj-comb}
\end{align}

Y aplicando propiedades trigonométricas en \eref{eq-comp-conj-comb}, en particular
la igualdad entre la suma de las funciones seno y coseno con fase nula, con una
función coseno con fase no nula, resulta como se muestra en le ecuación
\eref{eq-comp-conj-comb-res}, luego reemplazando con los valores de $k_{2}$ y
$p_{2}$ resulta como en \eref{eq-comp-conj-comb-valores}.

\begin{align}
    &\text{Siendo} \; p_{2} = \alpha + j\beta\; \text{y} \;
    k_{2} = \lambda + j\gamma\;\quad \nonumber\\[8pt]
    &\qquad\qquad k_{2} e^{-p_{2}t} + k_{2}^{*} e^{-p_{2}^{*}t} =
        2\left|k_{2}\right| e^{\alpha t}
            cos\left(\beta t + arg\left\{k_{2}^{*}\right\}\right)
    \label{eq-comp-conj-comb-res}\\[8pt]
    &\Rightarrow\ \boxed{k_{2} e^{-p_{2}t} + k_{2}^{*} e^{-p_{2}^{*}t} =
        258.5\cdot10^{-6}\ e^{-889 t}            
            cos\left(3900 t + 1.51\right)}&
    \label{eq-comp-conj-comb-valores}
\end{align}

Combinando los resultados de \eref{eq-calculo-k1} y
\eref{eq-comp-conj-comb-valores} en \eref{eq-l-t-f-simp} se obtiene finalmente
la respuesta al impulso en el dominio de tiempo $h(t)$ como se muestra en la
ecuación \eref{eq-h-impulso-final}.

\begin{align}
    h(t)& \approx 12\cdot4000^{2}
    \nonumber\\[-2pt]
    &\hspace{2em}\left[16.3\cdot10^{-6} e^{-500 t} +
        258.5\cdot10^{-6}\ e^{-889 t} cos\left(3900 t + 1.51\right)
    \right]\ u(t)\nonumber\\[10pt]
    &\boxed{\boxed{h(t) \approx \left[3130\cdot e^{-500 t} +
        49632\cdot e^{-889 t}cos\left(3900 t + 1.51\right)
    \right]\ u(t)}}
    \label{eq-h-impulso-final}
\end{align}

Para la expresión de la respuesta al impulso de la ecuación
\eref{eq-h-impulso-final}, se realiza un gráfico en función del tiempo, el cual
se muestra en la figura \ref{fig-h-impulso-final}, la forma era de esperarse ya
que una de las transferencias ($H_{2}(s)$) tiene raíces complejas conjugadas por
lo que su comportamiento es de tipo subamortiguado.

\begin{figure}[!ht]
    \centering
    \includegraphics[width=1.00\textwidth]{plot/impulse.png}
    \caption{Respuesta al impulso analítica en dominio temporal}
    \label{fig-h-impulso-final}
\end{figure}

\hypertarget{respuesta-al-escalon}{%
\subsection{Respuesta al escalón}\label{respuesta-al-escalon}}

El procedimiento para calcular la respuesta al escalón es análogo al realizado
para calcular la respuesta al impulso, utilizando la ecuación \eref{eq-y-h-x} con
$X(s)$ la transformada de Laplace de la entrada, en este caso la transformada de
Laplace de la función de Heaviside o escalón, esto es $X(s) =
\mathcal{L}\left\{u(t)\right\}$, que por tabla\footnotemark[8] resulta
$\mathcal{L}\left\{u(t)\right\} = 1/s$. La expresión de la transformada inversa
de Laplace de la respuesta al escalón resulta como se muestra en la ecuación
\eref{eq-l-1-U} y luego en \eref{eq-l-1-U-lin} extrayendo las constantes fuera
del operador, por la propiedad de linealidad.

\footnotetext[8]{Tabla 15.2, \cite{sadiku2015}}

\begin{align}
    y(t) &= \mathcal{L}^{-1}\left\{H(s)\cdot\dfrac{1}{s}\right\}
         = \mathcal{L}^{-1}\left\{
            12\cdot \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
            \cdot
            \dfrac{4000^{2}}
                  {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
                  \cdot\dfrac{1}{s}
            \right\}
    \label{eq-l-1-U}\\[8pt]
         &= 12\cdot 4000^{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{
            \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
            \cdot
            \dfrac{1}
                  {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
                  \cdot\dfrac{1}{s}
            \right\}
    \label{eq-l-1-U-lin}
\end{align}

Nuevamente se expande en fracciones simples la expresión a anti-transformar para
aprovechar la propiedad de linealidad, en este caso al multiplicar la
transferencia por la transformada de la función escalón ($1/s$), se agrega un
polo en cero, $p_{4} = 0$, es por esto que habrá un termino más en la expresión
expandida en fracciones simples, a diferencia de la expansion para la respuesta
al impulso de la ecuación \eref{eq-l-f-simp}, como se muestra en
\eref{eq-l-f-U-simp}.

\begin{align}
    y(t) = 12\cdot 4000^{2}\cdot \mathcal{L}^{-1}\left\{
        \dfrac{k_{1}}{\left(s - p_{1}\right)} +
        \dfrac{k_{2}}{\left(s - p_{2}\right)} +
        \dfrac{k_{3}}{\left(s - p_{3}\right)} +
        \dfrac{k_{4}}{\left(s - p_{4}\right)}
    \right\}
    \label{eq-l-f-U-simp}
\end{align}

Para calcular los coeficientes $k_{1,2,3,4}$ se utiliza la ecuación
\eref{eq-calculo-ki}, resultando como se muestra en \eref{eq-calculo-u-k1},
\eref{eq-calculo-u-k2}, \eref{eq-calculo-u-k3} y \eref{eq-calculo-u-k4},
respectivamente.

\begin{align}
    k_{1} &= \lim_{s\to -500}
    \dfrac{\left(s + 250\right)}
          {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
    \cdot
    \dfrac{1}{s}\; \Rightarrow \boxed{k_{1}\approx 32.5\cdot 10 ^{-9}}
    \label{eq-calculo-u-k1}
\end{align}

\begin{align}
    k_{2} &= \lim_{s\to \frac{-8000}{9}+j3900}
    \dfrac{\left(s + 250\right)}
          {\left(s + 500\right)
            \cdot\left(s - \left(\dfrac{-8000}{9}-j3900\right)\right)}
            \cdot\dfrac{1}{s}\nonumber\\[6pt]
     %&\hspace{2em} \boxed{k_{2}\approx \left(8.14 - j129\right)\cdot10^{-6}}
     &\hspace{2em} \boxed{k_{2}\approx \left(-31.9 + j5.18\right)\cdot10^{-9}}
    \label{eq-calculo-u-k2}
\end{align}

\begin{align}
    k_{3} = k_{2}^{*} \Rightarrow \boxed{k_{3} \approx \left(-31.9 - j5.18\right)\cdot10^{-9}}
    \label{eq-calculo-u-k3}
\end{align}

\begin{align}
    k_{4} &= \lim_{s\to 0}\ s
    \cdot
    \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
    \cdot
    \dfrac{1}
          {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
    \cdot
    \dfrac{1}{s}\Rightarrow \boxed{k_{4} \approx 31.3\cdot 10 ^{-9}}
    \label{eq-calculo-u-k4}
\end{align}

Teniendo el valor de los coeficientes $k_{i}$ y aplicando la antitransformada
termino a termino resulta como en la ecuacion \eref{eq-y-t-u}.

\vspace{-0.5em}
\begin{align}
    y(t) = 12\cdot4000^{2}\cdot \left(
        k_{1} e^{-p_{1}t} +
        k_{2} e^{-p_{2}t} +
        k_{3} e^{-p_{3}t} +
        k_{4} e^{-p_{4}t}
    \right)\cdot u(t)
    \label{eq-y-t-u}
\end{align}

Reutilizando el resultado de la ecuación \eref{eq-comp-conj-comb-res} para
términos provenientes de polos complejos conjugados, y sabiendo que $p_{4} = 0$,
entonces la expresión de la respuesta al escalón del sistema en dominio
temporal $y(t)$, resulta como se muestra en la ecuación \eref{eq-y-U-final}.

\begin{align}
    &y(t) \approx 12\cdot4000^{2} \cdot10^{-9}
    \nonumber\\[-2pt]
    &\hspace{4.5em}\left[32.5\cdot e^{-500 t} +
        64.6\cdot e^{-889 t}
        cos\left(3900 t + 2.98\right) +31.3\right]
        \ u(t)\nonumber\\[6pt]
    &\boxed{\boxed{y(t) \approx \left[6.24\cdot e^{-500 t}
        +12.41\cdot e^{-889 t} cos\left(3900 t + 2.98\right)
        +6.01\right]\ u(t)}}
    \label{eq-y-U-final}
\end{align}

Para el resultado de la respuesta al escalón en dominio temporal $y(t)$ de la
ecuación \eref{eq-y-U-final}, se realizó un gráfico en función del tiempo, el
cual se muestra en la figura \ref{fig-y-U-final}.

\begin{figure}[!ht]
    \centering
    \includegraphics[width=1.00\textwidth]{plot/Heaviside.png}
    \caption{Respuesta al escalón analítica en dominio temporal}
    \label{fig-y-U-final}
\end{figure}

En la figura 2 se observa que para frecuencias altas, esto es en la transición
en el origen de la función escalón, se comporta similar a la respuesta al
impulso, presentando oscilaciones hasta que el sistema se estabiliza. De la
ecuación \eref{eq-y-U-final} se observa que el transitorio mas lento es el de la
exponencial $e^{-889\cdot t}$ el cual tiene un tiempo característico $\tau =
2$ms; por convención se toma $5$ veces ese valor, resultando en $10$ms de
tiempo para que el sistema se estabilice por completo, lo cual se ve claramente
en la figura. Cuando la función escalón es continua y el sistema se estabiliza
se observa la ganancia de $6$ (o $15.56 dB$ aproximadamente) propia de la
transferencia $H(s)$ para frecuencias bajas, obtenido en la ecuación \eref{eq-tran-to-zero}.

\hypertarget{respuesta-a-señal-senoidal}{%
\subsection{Respuesta a señal senoidal}\label{respuesta-a-señal-senoidal2}}

Para la respuesta a una señal senoidal se realiza un procedimiento análogo a los
realizados previamente para obtener la respuesta al impulso y al escalón. Se
aplica el operador inverso de Laplace a la expresión de la ecuación
\eref{eq-y-h-x} con $X(s)$ la transformada de Laplace de la entrada, en este
caso una función senoidal, cuya transformada para $t\ge 0$ se obtiene de
tabla\footnotemark[8] y resulta como se muestra a continuación en
\eref{eq-l-sin}. Para este caso, se tomará la frecuencia angular $\omega_{0} =
1571\ \text{rad}/\text{s}$ (lo cual corresponde aproximadamente a una frecuencia
de $250\ Hz$).

\footnotetext[8]{Tabla 15.2, \cite{sadiku2015}}

\begin{align}
    \mathcal{L}\left\{sin(\omega_{0} t)\right\} =
    \dfrac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}
    \label{eq-l-sin}
\end{align}

La expresión de la transformada inversa de Laplace de la respuesta a la función
seno resulta como se muestra en la ecuación \eref{eq-l-1-sin} y luego en
\eref{eq-l-1-sin-lin} extrayendo las constantes fuera del operador, esto por la
propiedad de linealidad del operador.

\begin{align}
    y(t) &=
    \mathcal{L}^{-1}\left\{
            H(s)
            \cdot\dfrac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}\right\}\notag\\[8pt]
         &= \mathcal{L}^{-1}\left\{
            12\cdot \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
            \cdot
            \dfrac{4000^{2}}{\left(s^{2}+\dfrac{4000^{2}}{9000}s+4000^{2}\right)}
            \cdot
            \dfrac{\omega_{0}}{\left(s^{2}+\omega_{0}^{2}\right)}
            \right\}
    \label{eq-l-1-sin}\\[8pt]
         &= 12\cdot 4000^{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{
            \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
            \cdot
            \dfrac{1}
                  {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
                  \cdot\dfrac{\omega_{0}}{\left(s^{2}+\omega_{0}^{2}\right)}
            \right\}
    \label{eq-l-1-sin-lin}
\end{align}

Se expande en fracciones simples la expresión a antitransformar para aprovechar
la propiedad de linealidad. En este caso, al multiplicar la transferencia por la
transformada de la función seno, se agrega un par de polos complejos conjugados
$p_{4,5} = \pm j\omega_{0}$. Por lo que la expansión en fracciones simples
resulta como en \eref{eq-l-f-sin-simp}.

\begin{align}
    y(t) = 12\cdot 4000^{2}\cdot \mathcal{L}^{-1}\left\{
        \dfrac{k_{1}}{\left(s - p_{1}\right)} +
        \dfrac{k_{2}}{\left(s - p_{2}\right)} +
        \dfrac{k_{3}}{\left(s - p_{3}\right)} +
        \dfrac{k_{4}}{\left(s - p_{4}\right)} +
        \dfrac{k_{5}}{\left(s - p_{5}\right)}
    \right\}
    \label{eq-l-f-sin-simp}
\end{align}

Para calcular los coeficientes $k_{1,2,3,4,5}$ se utiliza la ecuación
\eref{eq-calculo-ki}, resultando como se muestra en \eref{eq-calculo-sin-k1},
\eref{eq-calculo-sin-k2}, \eref{eq-calculo-sin-k3}, \eref{eq-calculo-sin-k4} y
\eref{eq-calculo-sin-k5}, respectivamente.

\begin{align}
    k_{1} &= \lim_{s\to -500}
    \dfrac{\left(s + 250\right)}
          {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
    \cdot
    \dfrac{\omega_{0}}{\left(s^{2}+\omega_{0}^{2}\right)}
    \Rightarrow \boxed{k_{1}\approx -9.41\cdot 10 ^{-9}}
    \label{eq-calculo-sin-k1}
\end{align}

\begin{align}
    k_{2} &= \lim_{s\to \frac{-8000}{9}+j3900}
    \dfrac{\left(s + 250\right)}
          {\left(s + 500\right)
            \cdot\left(s - \left(\dfrac{-8000}{9}-j3900\right)\right)}
            \cdot
            \dfrac{\omega_{0}}{\left(s^{2}+\omega_{0}^{2}\right)}\notag\\[8pt]
     &\hspace{4em} \boxed{k_{2}\approx \left(6.56 + j13.2\right)\cdot10^{-9}}
    \label{eq-calculo-sin-k2}
\end{align}

\begin{align}
    k_{3} = k_{2}^{*} 
    \Rightarrow \boxed{k_{3} \approx \left(6.56 - j13.2\right)\cdot10^{-9}}
    \label{eq-calculo-sin-k3}
\end{align}

\begin{align}
    k_{4} &= \lim_{s\to j1571}
    \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
    \cdot
    \dfrac{1}
          {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
    \cdot
    \dfrac{\omega_{0}}{\left(s^{2}+\omega_{0}^{2}\right)}\notag\\[8pt]
    &\hspace{4em} \boxed{k_{4} \approx \left(-1.86 - j34.9\right)\cdot 10 ^{-9}}
    \label{eq-calculo-sin-k4}
\end{align}

\begin{align}
    k_{5} = k_{4}^{*} 
    \Rightarrow \boxed{k_{5} \approx \left(-1.86 + j34.9\right)\cdot10^{-9}}
    \label{eq-calculo-sin-k5}
\end{align}


Teniendo el valor de los coeficientes $k_{i}$ y aplicando la antitransformada
termino a termino resulta como en la ecuación \eref{eq-y-t-sin}.

\vspace{-0.5em}
\begin{align}
    y(t) &= 12\cdot4000^{2} \left(
        k_{1} e^{-p_{1}t} +
        k_{2} e^{-p_{2}t} +
        k_{3} e^{-p_{3}t} +
        k_{4} e^{-p_{4}t} +
        k_{5} e^{-p_{5}t}
    \right) u(t)\notag\\[8pt]
         &= 12\cdot4000^{2} \left(
        k_{1}     e^{-p_{1}t} +
        k_{2}     e^{-p_{2}t} +
        k_{2}^{*} e^{-p_{2}^{*}t} +
        k_{4}     e^{-p_{4}t} +
        k_{4}^{*} e^{-p_{4}^{*}t}
    \right) u(t)
    \label{eq-y-t-sin}
\end{align}

Dado que se tienen dos pares de polos complejos conjugados, se reutiliza el
resultado de la ecuación \eref{eq-comp-conj-comb-res} para reescribir las
exponenciales complejas en términos de funciones senoidales, resultando la
expresión de la respuesta a una función senoidal con frecuencia angular
$\omega_{0} = 1571\text{rad}/\text{s}$ del sistema en dominio temporal $y(t)$
como se muestra a continuación en la ecuación \eref{eq-y-sin-final}.

\begin{align}
    &y(t) \approx 12\cdot4000^{2} \cdot10^{-9}
    \notag\\[-2pt]
    &\hspace{40pt}\Big[
        -9.41\, e^{-500\, t}
            + 29.4\, e^{-889\, t} cos\left(3900\, t + 1.11\right) \notag\\[-6pt]
        &\hspace{200pt} + 69.9\, cos\left(1571\, t - 1.62\right)
        \Big]\ u(t)
\end{align}

% \begin{empheq}[box=\fbox]{align}
%     &y(t) \approx
%     \Big(-0.49\cdot e^{-500 t}
%          + 12.4\cdot e^{-889 t} \left[cos\left(3900 t - 1.24\right)\right] \notag\\[-4pt]
%          &\hspace{200pt}+ 7.37\cdot \left[cos\left(6283 t + 2.05\right)\right]
%         \Big)\ u(t)
%     \label{eq-y-sin-final}
% \end{empheq}

\vspace{-2em}

\begin{empheq}[box=\doublefbox]{equation}
    \begin{split}
        y(t) \approx
        \Big[
            & -1.81\, e^{-500\,t}
              +5.64\, e^{-889\,t}\cos(3900\,t-1.24) \\[-4pt]
            &\hspace{180pt} + 13.4\, \cos(1571\,t+2.05)
        \Big]\,u(t)
    \end{split}
\label{eq-y-sin-final}
\end{empheq}

\pagebreak

Para el resultado obtenido anteriormente en la ecuación \eref{eq-y-sin-final} de
la respuesta a la señal seno de frecuencia angular $\omega_{0} = 1571\
\text{rad}/\text{s}$ (aproximadamente $250\ Hz$) en dominio temporal se realizó
un gráfico en función del tiempo, el cual se muestra en la figura
\ref{fig-y-sin-final}.

\begin{figure}[!ht]
    \centering
    \includegraphics[width=1.00\textwidth]{plot/sine_response_omega1.png}
    \caption{Respuesta a señal senoidal de $250Hz$ analítica en dominio temporal}
    \label{fig-y-sin-final}
\end{figure}

En la figura \ref{fig-y-sin-final} se observa que para la señal senoidal de
frecuencia dada se amplifica la amplitud en aproximadamente 14 veces (o
$22.9dB$) y la fase no cambia.

\iffalse
En la figura 2 se observa que para frecuencias altas, esto es en la transición
en el origen de la función escalón, se comporta similar a la respuesta al
impulso, presentando oscilaciones hasta que el sistema se estabiliza. De la
ecuación \eref{eq-y-U-final} se observa que el transitorio más lento es el de la
exponencial $e^{-889\cdot t}$ el cual tiene un tiempo característico $\tau =
2$ms; por convención se toma $5$ veces ese valor, resultando en $10$ms de
tiempo para que el sistema se estabilice por completo, lo cual se ve claramente
en la figura. Cuando la función escalón es continua y el sistema se estabiliza
se observa la ganancia de $6$ (o $15.56 dB$ aproximadamente) propia de la
transferencia $H(s)$ para frecuencias bajas, obtenido en la ecuación \eref{eq-tran-to-zero}.


, es por esto que habrá un termino más en la expresión
expandida en fracciones simples, a diferencia de la expansion para la respuesta
al impulso de la ecuación \eref{eq-l-f-simp}, como se muestra en
\eref{eq-l-f-U-simp}.
\fi

\clearpage

\hypertarget{circuitos-teoricos}{%
\section{Circuitos teóricos}\label{circuitos-teoricos}}

Para la elección del circuito se tiene en cuenta la descomposición en
transferencias más simples que se muestra en la ecuación \eref{eq-tran-producto}
y también todo el análisis realizado de cada una de las transferencias, en
particular se sabe que la transferencia $H_{1}$ corresponde con un filtro pasa
altos de primer orden con una diferencia de ganancia entre frecuencias altas y
bajas de $6dB$; mientras que la transferencia $H_{2}$ corresponde con un filtro
pasa bajos de segundo orden. La transferencia total, es decir el producto de
ambas transferencias, debe tener una ganancia de 12 (o $21.6dB$), este factor de
ganancia no esta fijo para la descomposición de la transferencia si no que se
reparte entre ambas transferencias de acuerdo a como sea más conveniente a la
hora de implementar el circuito.

La descomposición de la transferencia resulta muy útil ya que el circuito
resultante será la cascada de cada unos de los circuitos respectivos a cada
transferencia, es por esto que cada uno de los circuitos o ``etapas'' se diseña
por separado y luego se conecta la salida de uno a la entrada de otro.

\hypertarget{filtro-pasa-altos-de-primer-orden}{%
\subsection{Filtro pasa altos de primer orden}\label{filtro-pasa-altos-de-primer-orden}}

La transferencia $H_{1}$ es de la forma de la ecuación
\eref{eq-trans-1gr-generica}, la cual se puede implementar mediante un divisor
resistivo con impedancias $\mathbb{Z}_{1}$ y $\mathbb{Z}_{2}$.\footnotemark[9]

\begin{align}
    T(s) = K\cdot \dfrac{s+z_{1}}{s+p_{1}}
    \label{eq-trans-1gr-generica}
\end{align}

Para un divisor de impedancias no inductivas, como el que se muestra en la
figura \ref{fig-impedance-divider}, la función de transferencia resulta como se
muestra en \eref{eq-trans-res-div}. En la misma ecuación se muestra la igualdad
utilizando admitancias, que se definen como la inversa de la impedancia
$\mathbb{Y}=1/\mathbb{Z}$. Se utilizan admitancias porque simplifican las
expresiones de resistores y capacitores en paralelo.

\begin{figure}[!ht]
    \centering
    \begin{subfigure}{0.44\textwidth}
        \centering
        \includegraphics[width=\textwidth]{sch/complex_resistor_divider2.png}
        \caption{Valores genéricos}
        \label{fig-impedance-divider}
    \end{subfigure}
    \hfill
    \begin{subfigure}{0.44\textwidth}
        \centering
        \includegraphics[width=\textwidth]{sch/passive_highpass2.png}
        \caption{Valores calculados normalizados}
        \label{fig-impedance-divider-norm-values}
    \end{subfigure}

    \caption{Circuito pasa altos de primer orden con divisor de impedancias}
    \label{fig:circuito-considerado}
\end{figure}

\begin{align}
    \dfrac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = 
    T(s) =
    \dfrac{\mathbb{Z}_{2}}{\mathbb{Z}_{1}+\mathbb{Z}_{2}} =
    \dfrac{\mathbb{Y}_{1}}{\mathbb{Y}_{1}+\mathbb{Y}_{2}};
    \quad \mathbb{Y}_{1} = s\ C_{1} + \dfrac{1}{R_{1}};
    \quad \mathbb{Y}_{2} = s\ C_{2} + \dfrac{1}{R_{2}};
    \label{eq-trans-res-div}
\end{align}

\footnotetext[9]{Sección 3.2, ``Realization with Passive Elements'', \cite{schaumann2001}}

Aplicando las expresiones de las admitancias de la ecuación
\eref{eq-trans-res-div} en la ecuación \eref{eq-trans-1gr-generica}, y denotando
$G=1/R$ a la conductancia, entonces la transferencia del divisor de impedancias
resulta como se muestra en \eref{eq-trans-res-div-comp}. Luego, sacando factor
común $C_{1}$ en el numerador y $\left(C_{1} + C{2}\right)$ en el denominador,
se obtiene una expresión para la transferencia del circuito similar a la
expresión de la transferencia genérica de \eref{eq-trans-1gr-generica}.

% Dado que no se utilizarán inductores y que se tienen resistores y capacitores en
% paralelo, la expresión de la transferencia en funcion de los resistores y
% capacitores se muestra a continuación, partiendo de la expresion de admitancia y
% con $\mathbb{G}=1/R$ la conductancia.

\begin{align}
    T(s) =
    \dfrac{s\ C_{1} + G_{1}}{s\ \left(C_{1}+C_{2}\right)+G_{1}+G_{2}} =
    \dfrac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}
            \cdot\dfrac{s +
            \dfrac{G_{1}}{C_{1}}}{s+\dfrac{G_{1}+G_{2}}{C_{1}+C_{2}}}
    \label{eq-trans-res-div-comp}
\end{align}

Igualando la ecuación \eref{eq-trans-res-div-comp} con la expresión genérica de
\eref{eq-trans-1gr-generica} resulta como se muestra a continuación en
\eref{eq-trans-res-div-comp-1}.

\begin{align}
    T(s)
    = \dfrac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}
            \cdot\dfrac{s +
            \dfrac{G_{1}}{C_{1}}}{s+\dfrac{G_{1}+G_{2}}{C_{1}+C_{2}}}
    = K\cdot \dfrac{s+z_{1}}{s+p_{1}}
    \label{eq-trans-res-div-comp-1}
\end{align}

De la expresión \eref{eq-trans-res-div-comp-1} se obtiene:

\begin{align}
    z_{1} &= \dfrac{G_{1}}{C_{1}} = \dfrac{1}{R_{1}\ C_{1}}
               \label{eq-trans-res-div-z1}\\[10pt]
    p_{1} &= \dfrac{G_{1}+G_{1}}{C_{1}+C_{2}}
                    = \dfrac{1}{\left(\dfrac{R_{1}\ R_{2}}{R_{1} + R_{2}}\right)
                    \left(C_{1}+C_{2}\right)}
                    \label{eq-trans-res-div-p1}\\[8pt]
    K_{\text{LF}} &= T(0) = \dfrac{G_{1}}{G_{1}+G_{2}} = \dfrac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}
    \label{eq-trans-res-div-dc-gain} \\[8pt]
    K_{\text{HF}} &= T(\infty) = \dfrac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}} \label{eq-trans-res-div-inf-gain}
\end{align}

Para el caso de la transferencia $H_{1}$ se tiene que $z_{1} = 250$, $p_{1} =
500$; la ganancia a frecuencias muy bajas $K_{LF}=T(0)=0.5$ y a frecuencias
muy altas $K_{HF}=T(\infty)=1$.

Dadas las ganancias $K_{LF}$ y $K_{HF}$, entonces de
\eref{eq-trans-res-div-dc-gain} se obtiene $R_{1}=R_{2}$, y de
\eref{eq-trans-res-div-inf-gain} resulta que $C_{2}=0$. Imponiendo $C_{1} =
22nF$, entonces de la ecuación \eref{eq-trans-res-div-z1} resulta $R_{1} = R_{2}
\approx 181818\Omega$ y dado que $181818\Omega$ no es un valor comercial
estandarizado se toma el valor $180k\Omega$.

Reemplazando los valores en el circuito de la figura
\ref{fig-impedance-divider}, resulta en el circuito de la figura
\ref{fig-impedance-divider-norm-values}. Para el circuito con los valores
reemplazados se realizó una simulación en LTSpice de manera de comparar el
desempeño con la transferencia $H_{1}$. El resultado se muestra en el diagrama
de Bode de la figura \ref{fig-pasa-altos-primer-orden}, en la cual se observa que
la diferencia es prácticamente nula entre la respuesta en frecuencia del
circuito simulado y la transferencia teórica $H_{1}$.

\begin{figure}[!ht]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{plot/bode_passive_highpass.png}
    \caption{Diagrama de Bode de circuito pasa altos, $H_{1}$ y $H_{1}$ normalizada}
    \label{fig-pasa-altos-primer-orden}
\end{figure}

% circuito pasivo de solo con resistores y capascitores\footnotemark[9] tal como
% se muestra en la figura \eref{fig-pasa-bajos-primer-orden-inversor} del cual se
% tienen expresiones tabuladas para los componentes en funcion del polo ($p$),
% cero ($z$) y ganancia ($K$). Notese que si bien la transferencia es de primer
% orden debido a que asi lo es el polinomio del denominador $s+500$, se tiene un
% circuito con $2$ almacenadores de energía, $C_{1}$ y $C_{2}$, esto no implica
% que el circuito sea de segundo orden ya que $C_{1}$ y $C_{2}$ comparten el nodo,
% por lo que no son linealmente independientes.

La transferencia $H_{1}$ resultante con los valores considerados normalizados se
muestra a continuación en \eref{eq-trans-res-div-compl-values}.

\begin{align}
    \boxed{\boxed{H_{1}(s) \approx \dfrac{s + 252.52}{s + 505.05}}}
    \label{eq-trans-res-div-compl-values}
\end{align}

Dados los valores de $R_{1}$ y $R_{2}$ elegidos, la transferencia de la ecuación
\eref{eq-trans-res-div-compl-values} impone un error con respecto a la
transferencia $H_{1}$, en valores porcentuales se tiene para la ganancia
aproximadamente $0.002\%$, y para las singularidades de $1\%$.

\iffalse
La transferencia $H_{1}(s)$ es de la forma de la ecuación
\eref{eq-transferencia-lineal}, la cual se puede implementar mediante un
circuito amplificador inversor\footnotemark[9] como el que se muestra en la
figura \eref{fig-pasa-bajos-primer-orden-inversor} del cual se tienen expresiones
tabuladas para los componentes en función del polo ($p$), cero ($z$) y ganancia
($K$). Nótese que si bien la transferencia es de primer orden debido a que asi
lo es el polinomio del denominador $s+500$, se tiene un circuito con $2$
almacenadores de energía, $C_{1}$ y $C_{2}$, esto no implica que el circuito sea
de segundo orden ya que $C_{1}$ y $C_{2}$ comparten el nodo, por lo que no son
linealmente independientes.

\footnotetext[9]{Sección 3.4.1, ``Inverting Opamp Circuits'', \cite{schaumann2001}}

\begin{align}
    T(s) = K\cdot \dfrac{s+z_{1}}{s+p_{1}};\quad
    z_{1}=\dfrac{1}{C_{1}\cdot R_{1}};\quad
    p_{1}=\dfrac{1}{C_{2}\cdot R_{2}};\quad
    K=\dfrac{C_{1}}{C_{2}}
    \label{eq-transferencia-lineal}
\end{align}

\begin{figure}[!ht]
    \centering
    \includegraphics[width=0.65\textwidth]{sch/pasa-bajos_activo_primer_orden_cero_no_nulo_inversor.png}
    \caption{Circuito pasa altos primer orden correspondiente a transferencia $H_{1}(s)$}
    \label{fig-pasa-bajos-primer-orden-inversor}
\end{figure}

En este caso la transferencia $H_{1}(s)$ tiene constantes $z=250$, $p=500$ y
ganancia unitaria $K=1$, por lo que se pueden obtener los valores de los
componentes $C_{i}$ y $R_{i}$ de las expresiones de
\eref{eq-transferencia-lineal}. Por ganancia unitaria los capacitores deben tener
igual valor, reescribiendo las relaciones de \eref{eq-transferencia-lineal} en
función de esto, resulta como en \eref{eq-transferencia-lineal-2}.

\begin{align}
    K=1\Rightarrow C_{1}=C_{2};\quad
    R_{1}=\dfrac{1}{C_{1}\cdot 250};\quad
    R_{2}=\dfrac{1}{C_{2}\cdot 500}
    \label{eq-transferencia-lineal-2}
\end{align}

Para obtener la mejor relación normalizada de los componentes se utiliza un
script de Python que genera una lista de todas las posibles combinaciones entre
$R_{1}$, $R_{2}$ y $C$, fijando un valor de $C$ y ajustando $R_{1}$ y $R_{2}$,
luego se ordena en función del error porcentual, el mejor resultado con
resistores normalizados de tolerancia E24 (esto es $5\%$ de error) y capacitores
de tolerancia E6 ($20\%$ de error) es $C_{1} = C_{2} = 22nF$, $R_{1}=180k\Omega$
y $R_{2}=91k\Omega$, de esta forma se tiene un error respecto al valor teórico
de $1.00\%$ para $R_{1}$ y $0.10\%$ para $R_{2}$.
\fi

\pagebreak
\hypertarget{filtro-pasa-bajos-de-segundo-orden}{%
\subsection{Filtro pasa bajos de segundo orden}\label{filtro-pasa-bajos-de-segundo-orden}}

Para implementar la transferencia $H_{2}$ se elige un circuito Sallen-Key pasa
bajos de segundo orden con ganancia unitaria, tal como el que se muestra en la
figura \ref{fig-pasa-bajos-sallen-key}. Se elige este tipo de
filtro ya que es relativamente sencillo con respecto a otros filtros y los
cálculos son directos, y el hecho de que sea de ganancia unitaria permite
simplificar aun más las expresiones, en particular la expresión del factor de
calidad $Q$.

La transferencia de un filtro Sallen-Key pasa bajos con ganancia unitaria se
muestra a continuación en la ecuación
\eref{eq-sallen-key-lpf-generic}.\footnotemark[10]

% Se elige ganancia unitaria porque simplifica el calculo de los componentes y
% dado que en este caso se tiene un factor de calidad relativamente alto este
% depende mucho de la ganancia del amplificador y de la tolerancia de los
% componentes.

\footnotetext[10]{\ Esto se obtiene de la sección 4.5.1: ``Sallen-Key Circuits'',
\cite{schaumann2001}. Imponiendo $R_{A}\to\infty$, $R_{B}=0$, logrando así
ganancia unitaria $K=1$.}

\begin{align}
    T(s) &= \dfrac{\dfrac{1}{R_{1}\ R_{2}\ C_{1}\ C_{2}}}
                    {s^{2}+\left(\dfrac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}\ R_{2}\
                    C_{1}}\right)s + \left(\dfrac{1}{R_{1}\ R_{2}\ C_{1}\ C_{2}}\right)}
    \label{eq-sallen-key-lpf-generic}
\end{align}

Igualando la transferencia anterior de la ecuación
\eref{eq-sallen-key-lpf-generic} con la expresión genérica del filtro pasa bajos
de segundo orden mencionado en la ecuación \eref{eq-lpf-2-general} se obtienen
las expresiones para la frecuencia natural $\omega_{0}$ y el factor de calidad
$Q$ que se muestran en las ecuaciones \eref{eq-sallen-key-param-w0} y
\eref{eq-sallen-key-param-Q}, respectivamente.

\begin{align}
    \omega_{0} &= \sqrt{ \dfrac{1}{R_{1}\ R_{2}\ C_{1}\ C_{2}}}
    \label{eq-sallen-key-param-w0}\\[8pt]
    Q &= \dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{R_{1}\ R_{2}\ C_{1}\ C_{2}}}}
        {\dfrac{R_{1} + R_{2}}{C_{1}\ R_{1}\ R_{2}}}
    \label{eq-sallen-key-param-Q}
\end{align}

Para obtener valores de los componentes $R_{1}$, $R_{2}$, $C_{1}$ y $C_{2}$ se
sabe que $\omega_{0}$ debe ser $4000$ rad/s y $Q$ debe ser de $2.25$,
reemplazando en las ecuaciones \eref{eq-sallen-key-param-w0} y
\eref{eq-sallen-key-param-Q} se tiene un sistema de dos ecuaciones con 4
incógnitas, es por esto que se utiliza un programa de calculo numérico que dada
una lista de valores normalizados de resistencias y capacitores se calcula el
error de $\omega_{0}$ y $Q$ para cada cuarteto de valores $R_{1}$, $R_{2}$,
$C_{1}$, $C_{2}$ posible y se ordena de menor a mayor error combinado entre
$\omega_{0}$ y $Q$, resultando en una lista ordenada de valores con los
respectivos errores. 

En la tabla \ref{tab-sallen-key-componentes} se muestran algunos de los mejores
valores obtenidos mediante el programa numérico. En particular, se eligió
$20k\Omega$, $30k\Omega$, $47nF$ y $2.20nF$ para $R_{1}$, $R_{2}$, $C_{1}$ y
$C_{2}$, respectivamente, ya que si bien no es el cuarteto con menor error, se
tienen valores de resistencia mayor que otros conjunto de valores, lo cual es
deseable, ya que se incrementa la impedancia y disminuye el consumo de
corriente, y los capacitores tienen valores fácilmente disponibles
comercialmente. De cualquier forma el error de $\omega_{0}$ y $Q$ permanece por
debajo de $1\%$.

\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{table}[h]
    \centering
    \begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|r|}
        \hline
        $R_1$ [$\Omega$] & $R_2$ [$\Omega$] & $C_1$ [nF] & $C_2$ [nF] & $\omega_0$ [rad/s] & $\Delta\omega_0$ [\%] & $Q$ & $\Delta Q$ [\%] \\
        \hline
        \hline
        1300  & 15000 & $470$ & $6.80$ & 4005,71 &  0,14 & 2,252 &  0,10 \\
        \hline
        15000 & 1300  & $470$ & $6.80$ & 4005,71 &  0,14 & 2,252 &  0,10 \\
        \hline
        2700  & 4700  & $330$ &   $15$ & 3989,94 &  0,25 & 2,258 &  0,35 \\
        \hline
        30000 & 20000 &  $47$ & $2.20$ & 4014,80 &  0,37 & 2,264 &  0,64 \\
        \hline
    \end{tabular}
    \caption{Algunos valores obtenidos que minimizan el error de $\omega_{0}$ y $Q$.}
    \label{tab-sallen-key-componentes}
\end{table}

Con los valores elegidos, la transferencia $H_{2}$ resulta como se muestra
a continuación en la ecuación \eref{eq-trans-2-val}.

\begin{align}
    % H_{2}(s) = \dfrac{4014.8^{2}}{\left(s^{2} + \dfrac{4014.8^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)} \notag\\
    \boxed{\boxed{H_{2}(s) \approx \dfrac{16118619.04}{s^{2} + 1773.05s + 16118619.04}}}
    \label{eq-trans-2-val}
\end{align}

Y el circuito resultante con los valores elegidos que implementa la
transferencia $H_{2}$ se muestra en la figura
\ref{fig-pasa-bajos-sallen-key} a continuación.

\begin{figure}[!ht]
    \centering
    \includegraphics[width=0.75\textwidth]{sch/pasa-bajos_activo_segundo_orden_sallen-key_script.png}
    \caption{Circuito pasa bajos Sallen-Key}
    \label{fig-pasa-bajos-sallen-key}
\end{figure}

Se simuló el circuito de la figura \ref{fig-pasa-bajos-sallen-key} en LTSpice
obteniendo la respuesta en frecuencia y se comparó con la respuesta en
frecuencia de la transferencia $H_{2}$, el resultado se muestra en la figura
\ref{fig-bode-pasa-bajos-segundo-orden-sallen-key} en la cual se observa que la
respuesta en frecuencia del circuito elegido y la transferencia $H_{2}$ son
prácticamente idénticas.

\begin{figure}[!ht]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{plot/sallen-key_lpf_valores_teoricos_scipt_min_err.png}
    \caption{Diagrama de Bode de circuito pasa bajos Sallen-Key, $H_{2}$ y $H_{2}$ normalizada}
    \label{fig-bode-pasa-bajos-segundo-orden-sallen-key}
\end{figure}

\hypertarget{amplificador-no-inversor}{%
\subsection{Amplificador no inversor}\label{amplificador-no-inversor}}

Como bien se mencionó la transferencia $H$ se obtiene realizando el producto
entre las transferencias $H_{1}$, $H_{2}$ y un factor de ganancia 12. Dado que
los circuitos correspondientes se diseñaron acorde a las transferencias, se
necesita de una etapa adicional que implemente el factor de ganancia. Para esto
se utiliza un amplificador no inversor con un circuito como el de la figura
\ref{fig-amp-no-inversor}.

\begin{figure}[!ht]
    \centering
    \includegraphics[width=0.30\textwidth]{sch/non_invert_amp2.png}
    \caption{Circuito amplificador no inversor}
    \label{fig-amp-no-inversor}
\end{figure}

La trasferencia del circuito amplificador no inversor de la figura
\ref{fig-amp-no-inversor} resulta como se muestra a continuación en la ecuación
\eref{eq-trans-amp}.

\begin{align}
    T(s)=1+\dfrac{R_{2}}{R_{1}}
    \label{eq-trans-amp}
\end{align}

Dado que se requiere un factor de ganancia de 12, es decir, una transferencia
$T(s)$ constante e igual a $12$ para todas las frecuencias, de
\eref{eq-trans-amp} se obtiene que $R_{2}$ debe ser $11\ R_{1}$. Eligiendo
$20k\Omega$ para $R_{1}$, entonces $R_{2}$ resulta $220k\Omega$.

\hypertarget{circuito-propuesto}{%
\subsection{Circuito propuesto}\label{circuito-propuesto}}

El circuito final resulta de la ``cascada'' o conexión en serie de los
diferentes etapas: el filtro pasa altos que implementa la transferencia $H_{1}$,
el filtro pasa bajos Sallen-Key que implementa la transferencia $H_{2}$, y el
amplificador no inversor para ajustar la ganancia. La transferencia $H$
normalizada, resultante del producto de todas las etapas, se muestra en la
ecuación \eref{eq-trans-norm} a continuación.

\begin{align}
    \boxed{\boxed{H(s) \approx 12\ \left(\dfrac{s + 252.52}{s + 505.05}\right)\ \left(\dfrac{16118619.04}{s^{2} + 1773.05s + 16118619.04}\right)}}
    \label{eq-trans-norm}
\end{align}

Hay que tener en cuenta que la cascada de diferentes circuitos solo es posible
en la práctica si los circuitos no interfieren entre sí, en particular esto es
válido cuando la impedancia de salida del primer circuito es mucho menor que la
impedancia de entrada del segundo circuito,\footnotemark[11] teniendo esto en
cuanta se ubica en primer lugar (más cerca de la señal de entrada) el filtro
pasa altos de primer nivel, ya que este tiene impedancia de entrada y salida
relativamente baja, luego el amplificador no inversor ya que este tiene una
impedancia de entrada muy alta debido al amplificador operacional, por ultimo se
ubica el filtro Sallen-Key de segundo orden tal como se muestra en la figura
\ref{fig-circuito-final-ideal}.

\footnotetext[11]{Esto se obtiene de la sección 3.6: ``Cascade Design'',
\cite{schaumann2001}}

\begin{figure}[!ht]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{sch/trans_comp_valores2.png}
    \caption{Circuito propuesto con valores normalizados}
    \label{fig-circuito-final-ideal}
\end{figure}

Para el circuito final de la figura \ref{fig-circuito-final-ideal} se realiza
una simulación en LTSpice de la respuesta en frecuencia y se compara con la
respuesta en frecuencia de la transferencia $H$, el resultado se muestra a
continuación en la figura \ref{fig-bode-circuito-completo-ideal} en la cual se
observa que la respuesta en frecuencia es prácticamente la misma. 

\begin{figure}[!ht]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{plot/trans_comp_norm.png}
    \caption{Diagrama de Bode de circuito propuesto ideal, $H$ y $H$ normalizada}
    \label{fig-bode-circuito-completo-ideal}
\end{figure}

En la tabla \ref{tab-err} se muestra el error porcentual entre la transferencia
normalizada de la ecuación \ref{eq-trans-norm} con respecto a la transferencia
ideal de la ecuación \ref{eq-tran}. Se puede ver que todos los parámetros se
ubican en valores menores o iguales a $1\%$.

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{table}[h]
\centering
\footnotesize
\setlength{\tabcolsep}{4pt}
\begin{tabular}{|l|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|}
    \hline
        \cellcolor{gray!20} &
        $A_{v}$                 & $\Delta$$A_{v}$                &
        $\omega_0$              & $\Delta\omega_0$               &
        $Q$                     & $\Delta Q$                     &
        $ \left|z_{1}\right|$   & $\left|\Delta z_{1}\right|$    &
        $ \left|p_{1}\right|$   & $\left|\Delta p_{1}\right|$    &
        $ \left|p_{2,3}\right|$ & $\left|\Delta p_{2,3}\right|$  \\
    \hline
    \hline
    $H$        & 6,00 & 0,00 & 4000,0 & 0,00 & 2,25 & 0,00 & 250,0 & 0,00 & 500,0 & 0,00 & 4000,0 & 0.00 \\
    \hline
    $H_{norm}$ & 5,99 & 0,17 & 4014,8 & 0,37 & 2,26 & 0,44 & 252,5 & 1,00 & 505,1 & 1,00 & 4014,8 & 0.37 \\
    \hline
\end{tabular}
\caption{Errores porcentuales entre la transferencia ideal y normalizada}
\label{tab-err}
\end{table}


\pagebreak
\hypertarget{simulaciones}{%
\section{Simulaciones}\label{simulaciónes}}

A continuación se realizan simulaciones para comparar la transferencia $H$ ideal
y con valores normalizados, con la respuesta del circuito propuesto. Para el
circuito propuesto se utiliza el modelo de amplificador operacional a
utilizar en la placa final, el TL081.

Se compara la expresión de la transferencia con valores ideales de la ecuación
\eref{eq-tran}, y la expresión con valores normalizados de la ecuación
\eref{eq-trans-norm}. El circuito a simular en LTSpice se muestra en la figura
\ref{fig-circuito-final-model} y es similar al circuito propuesto ideal de la
figura \ref{fig-circuito-final-ideal} pero con la adición del modelo de
amplificador operacional TL081 y la fuente de alimentación simétrica de $\pm24\
V$. Además en el circuito a simular se incluyen algunas directivas de LTSpice,
pero estas se irán cambiando conforme se hagan las diferentes simulaciones, así
como también la fuente en tensión la entrada $V_{in}$.

% Las expresiones de las transferencias a comparar son la que posee valores
% ideales, que se muestra en la ecuación \eref{eq-tran} y la que tiene valores
% normalizada y es la que implementa el circuito,  la ecuación
% \eref{eq-trans-norm}. El circuito a simular se muestra en la figura
% \ref{fig-circuito-final-model} y es similar al circuito completo ideal de la
% figura \ref{fig-circuito-final-ideal} pero con la adición del modelo de
% amplificador operacional TL081 y la fuente de alimentación simétrica de $\pm24\
% V$.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{sch/trans_comp_model_24V.png}
    \caption{Circuito final a simular en LTSpice}
    \label{fig-circuito-final-model}
\end{figure}

% \begin{figure}[!ht]
%     \centering
%     \begin{subfigure}{0.44\textwidth}
%         \centering
%         \includegraphics[width=\textwidth]{sch/complex_resistor_divider2.png}
%         \caption{Valores genéricos}
%         \label{fig-impedance-divider}
%     \end{subfigure}
%     \hfill
%     \begin{subfigure}{0.44\textwidth}
%         \centering
%         \includegraphics[width=\textwidth]{sch/passive_highpass2.png}
%         \caption{Valores calculados normalizados}
%         \label{fig-impedance-divider-norm-values}
%     \end{subfigure}
% 
%     \caption{Circuito pasa altos de primer orden con divisor de impedancias}
%     \label{fig:circuito-considerado}
% \end{figure}


% en primer lugar, la
% expresión de la transferencia $H$ con valores normalizados e ideal, y luego
% el circuito 

% la transferencia ideal $H$. Obtenidas con las expresiones ideales. En primer
% lugar se compara la respuesta de la transferencia $H$ ideal y normalizada, y
% luego la respuesta del circuito implementado 

% de la ecuación \eref{eq-trans-norm},
% , en
% primer lugar, las transferencia $H$ con los valores ideales y normalizados de la
% ecuación \eref{eq-trans-norm} y la transferencia 

% A continuación se evaluará la respuesta del circuito propuesto en varios
% aspectos, para esto se utilizará el programa LTSpice y el modelo de amplificador
% operacional a utilizar en la placa final, el TL081, a diferencia de simulaciones
% anteriores que se utilizaban modelos ideales de amplificadores operacionales.

% \hypertarget{transferencia-normalizada}{%
% \subsection{Transferencia normalizada}\label{transferencia-normalizada}}

\hypertarget{respuesta-en-frecuencia}{%
\subsection{Respuesta en frecuencia}\label{respuesta-en-frecuencia}}

Para obtener la respuesta en frecuencia del circuito se utiliza la misma fuente
y directivas de LTSpice que se muestran en la figura
\ref{fig-circuito-final-model}, variando la frecuencia de la fuente de 0,1 Hz a
250 Hz, aunque luego se gráfica utilizando la frecuencia angular en rad/s. El
resultado se muestra en la figura \ref{fig-sim-bode} y se compara en la misma
figura con el diagrama de Bode de la transferencia $H$ con valores teóricos y
normalizados.

% Se puede observa que prácticamente se compartan de la misma forma.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{plot/sim/sim_bode.png}
    \caption{Diagrama de Bode de transferencias y circuito}
    \label{fig-sim-bode}
\end{figure}

\vspace{-1.5em}

\hypertarget{respuesta-al-impulso}{%
\subsection{Respuesta al impulso}\label{respuesta-al-impulso2}}

En la figura \ref{fig-resp-impulso-tf-ideal-norm} a continuación se muestra la
respuesta al impulso de la transferencia ideal y normalizada. Se puede observar
que prácticamente responden de igual forma. En esta parte no se incluye la
respuesta al impulso del circuito ya que no es realizable ne la practica, ya que
no exista una fuente que cumpla con tener tensión infinitamente grande y tiempo
de subida infinitamente pequeño, aunque se podría obtener una aproximación, pero
de todas formas no se incluye.

% No se tiene en cuenta la respuesta del circuito ya que requeriría de una fuente
% con tensión infinita capaz de cambiar el estado de su salida en un tiempo
% infinitamente pequeño, lo cual no existe en la práctica.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{plot/sim/impulse.png}
    \caption{Respuesta al impulso transferencia ideal y normalizada}
    \label{fig-resp-impulso-tf-ideal-norm}
\end{figure}

Ambas transferencias responden de igual forma, en cualquier instante, con
ligeras variaciones producto de la normalización de los valores. También se
observa que ambas transferencias resultan similares a la respuesta al impulso
obtenida de manera analítica mostrada en la figura \ref{fig-h-impulso-final}.

\hypertarget{respuesta-al-escalón}{%
\subsection{Respuesta al escalón}\label{respuesta-al-escalón}}

Para simular la respuesta al escalón en LTSpice se cambia la fuente de tensión
del circuito de la figura \ref{fig-circuito-final-model} por una fuente
inicialmente con tensión nula pero que cambia a $1\ V$ en un tiempo de $1\ ns$,
como se muestra en la figura \ref{fig-fuente-resp-escalon}.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.42\textwidth]{sch/fuente_resp_step.png}
    \caption{Fuente utilizada en LTSpice para simular respuesta al escalón}
    \label{fig-fuente-resp-escalon}
\end{figure}

\vspace{-1em}

En la figura \ref{fig-resp-escalon} se muestra la respuesta al escalón de la
transferencia ideal y normalizada, y también la respuesta del circuito propuesto
simulado en LTSpice con la señal de entrada mencionada previamente. Se puede ver
que ambas transferencias se comportan prácticamente iguales, pero la respuesta
del circuito presenta un sobrepico (u overshoot) mayor durante el régimen
transitorio, luego durante el régimen permanente tanto las transferencias como
el circuito convergen al mismo valor.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{plot/sim/step.png}
    \caption{Respuesta al escalón transferencias y circuito.}
    \label{fig-resp-escalon}
\end{figure}

\hypertarget{respuesta-a-señal-senoidal}{%
\subsection{Respuesta a señal senoidal}\label{respuesta-a-señal-senoidal1}}

Para simular la respuesta a señales senoidales en LTSpice se cambia la fuente de
tensión del circuito de la figura \ref{fig-circuito-final-model} por una fuente
que genera una señal senoidal de frecuencia arbitraria, en este caso se
parametrizó la frecuencia de la fuente de manera de generar con la misma fuente
3 señales senoidales de diferentes frecuencias, tal como se muestra en la figura
\ref{fig-fuente_resp_sin}. La señales senoidales generadas tienen amplitud $0.1\
V$ y son de frecuencias $250\ Hz$, $\omega_{0}/2\pi \approx 636.6\ Hz$ y $10\
kHz$.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.80\textwidth]{sch/fuente_resp_sin.png}
    \caption{Fuente y directivas de LTSpice para generar señales senoidales}
    \label{fig-fuente_resp_sin}
\end{figure}

En la figura \ref{fig-resp-sin-250} se observa que tanto la transferencia con
valores ideales como la que posee valores normalizados se comportan de manera
similar en cualquier instante. La respuesta del circuito en una primera
instancia presenta un sobrepico más elevado que el de las transferencias pero
luego pasados $5\ ms$ converge a un comportamiento similares al de las
transferencias. Se observa que se amplifica la amplitud y no hay cambio de fase,
lo cual es congruente con el diagrama de Bode de la figura \ref{fig-sim-bode} para la
frecuencia $250\ Hz$ (aproximadamente $1571\ rad/s$)

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{plot/sim/sim_sine_resp_250.png}
    \caption{Respuesta a señal senoidal de $250\ Hz$ transferencias y circuito.}
    \label{fig-resp-sin-250}
\end{figure}

En la figura \ref{fig-resp-sin-637} se tiene las respuestas para la señal
senoidal de aproximadamente $636.6\ Hz$ (o $\omega_{0}\ rad/s$), según el
diagrama de Bode de la figura \ref{fig-sim-bode} para esta frecuencia se tiene un máximo en
ganancia y un desfase de $-90^{\circ}$, lo cual se aprecia en la figura. También
se aprecia el comportamiento del circuito con un sobrepico elevado con respecto
a las transferencias.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{plot/sim/sim_sine_resp_637.png}
    \caption{Respuesta a señal senoidal de $636.6\ Hz$ transferencias y circuito}
    \label{fig-resp-sin-637}
\end{figure}

\vspace{-1em}

La figura \ref{fig-resp-sin-10k} muestra las respuestas para una señal senoidal
de frecuencia $10k$. Se ve que las transferencias se comportan de igual forma,
atenuando drásticamente la señal. Para el circuito, en un principio se tiene un
sobrepico elevado y luego de aproximadamente $5\ ms$ converge a valores
similares al de las transferencias.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{plot/sim/sim_sine_resp_10k.png}
    \caption{Respuesta a señal senoidal de $10\ kHz$ transferencias y circuito}
    \label{fig-resp-sin-10k}
\end{figure}

\hypertarget{respuesta-a-señal-cuadrada}{%
\subsection{Respuesta a señal cuadrada}\label{respuesta-a-señal-cuadrada}}

Para simular la respuesta a señales cuadradas, se realiza un procedimiento
análoga al realizado para generar señales senoidales, cambiando la fuente de
tensión del circuito de la figura \ref{fig-circuito-final-model} por una fuente
que genere una señal cuadrada de frecuencia arbitraria, y parametrizando la
frecuencia de la fuente de manera de generar con la misma fuente 3 señales
de diferentes frecuencias, tal como se muestra en la figura
\ref{fig-fuente_resp_squ}. La señales cuadradas generadas tienen componente
continua nula, amplitud $0.1\ V$ y son de frecuencias $10\ Hz$, $250\ Hz$ y $2,5\
kHz$.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.70\textwidth]{sch/fuente_resp_squ.png}
    \caption{Fuente y directivas de LTSpice para generar señales cuadradas}
    \label{fig-fuente_resp_squ}
\end{figure}

\vspace{-0.5em}

Para la señal cuadrada de $10\ Hz$, se tiene la respuesta de las transferencias
y el circuito en la figura \ref{fig-resp-squ-10}. Se puede ver que las
transferencias siguen la forma de onda de la señal cuadrada, a diferencia del
circuito que presenta un sobrepico elevados en las transiciones, aunque pasados
aproximadamente $10\ ms$ de la transición y hasta antes de la siguiente
transición, la respuesta de las transferencias y el circuito se comportan de
manera muy similar.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{plot/sim/sim_square_resp_10.png}
    \caption{Respuesta a señal cuadrada de $10\ Hz$ transferencias y circuito}
    \label{fig-resp-squ-10}
\end{figure}

Para las dos señales cuadradas de mayor frecuencia, 250 Hz y 2,5 kHz, se
tiene la respuesta de las transferencias y el circuito en las figuras
\ref{fig-resp-squ-250} y \ref{fig-resp-squ-2k5}. Para estos casos tanto las
transferencias como el circuito no tienen una coherencia con respecto a la señal
cuadrada de referencia, lo que se puede decir es que ambas transferencias se
comportan de manera similar entre si, y en el caso de la señal de 250 Hz con
el circuito, pero esto no ocurre para el caso de la señal de 2,5 Hz, en la
cual las transferencias se comportan de una forma y el circuito de otra.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{plot/sim/sim_square_resp_250.png}
    \caption{Respuesta a señal cuadrada de 250 Hz transferencias y circuito}
    \label{fig-resp-squ-250}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{plot/sim/sim_square_resp_2k5.png}
    \caption{Respuesta a señal cuadrada de 2,5 kHz transferencias y circuito}
    \label{fig-resp-squ-2k5}
\end{figure}

\iffalse
A continuación se evaluará la respuesta del circuito propuesto en varios
aspectos, para esto se utilizará el programa LTSpice y el modelo de amplificador
operacional a utilizar en la placa final, el TL081, a diferencia de simulaciones
anteriores que se utilizaban modelos ideales de amplificadores operacionales.

El circuito final a simular se muestra en la figura
\ref{fig-circuito-final-model} y es similar al circuito final ideal de la figura
\ref{fig-circuito-final-ideal} pero con la adición del modelo de amplificador
operacional TL081 y la fuente de alimentación simétrica de $\pm$12 V.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{sch/trans_comp_model.png}
    \caption{Circuito propuesto a simular en LTSpice}
    \label{fig-circuito-final-model}
\end{figure}
\fi

\pagebreak
\hypertarget{implementacion-del-circuito}{%
\section{Implementación del circuito}\label{implementacion-del-circuito}}

A continuación se diseña e implementa en una placa el circuito propuesto que
responde acorde a la transferencia asignada. Luego se tomarán mediciones para
comparar la respuesta del circuito con las respuestas halladas analíticamente y
por métodos numéricos.

\hypertarget{diseño}{%
\subsection{Diseño}\label{diseño}}

Para la implementación física se siguió el circuito propuesto, el cual se puede
ver en la figura \ref{fig-circuito-final-ideal}, y se optó por implementar el
circuito en una placa de cobre FR-4 mecanizada con CNC. Dado el costo de la
placa mecanizada se tomó la decisión de agregar un amplificador operacional
adicional en la entrada en configuración de seguidor de tensión (o buffer) de
manera tal que la impedancia de entrada del filtro sea muy grande, esto para
evitar que dispositivos de medición afecten los parámetros del filtro y en caso
de no necesitarse, saltar esa etapa mediante un puente. A continuación en la
figura \ref{fig-board-sch} se muestra el circuito implementado en la placa.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{img/board/board_sch.png}
    \caption{Circuito implementado en la placa}
    \label{fig-board-sch}
\end{figure}

Para la entrada y salida de las señales a la placa se utilizaron conectores
coaxiales BNC (Bayonet Neill–Concelman) ya que son el estándar en los equipos de
medición utilizados (generador de señales, osciloscopio, etc), de esta forma
resulta sencillo y directo conectar y desconectar los equipos de medición a la
placa. En la figura \ref{fig-board-views} se muestran vistas de la placa
modelada.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
        \centering
        \includegraphics[width=1.00\textwidth]{img/board/board_top_rear_left.png}
        \caption{Vista trasera superior izquierda}
        \label{fig-board-top-rear-left}
    \end{subfigure}
    \hfill
    \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
        \centering
        \includegraphics[width=0.65\textwidth]{img/board/board_top.png}
        \caption{Vista superior}
        \label{fig-board-top}
    \end{subfigure}
    \caption{Vistas de la placa modelada}
    \label{fig-board-views}
\end{figure}

\hypertarget{armado}{%
\subsection{Armado}\label{armado}}

A continuación en la figura \ref{fig-board-real} se muestran capturas de la
placa mecanizada con los componentes soldados. Se han identificado los
conectores de entrada y salida de la placa para evitar confusiones: ``IN'' es
la entrada de la señal, ``OUT'' indica el conector de salida de señal, ``T'' es
la tierra ó 0 V de la alimentación, ``V+'' es la entrada de alimentación
positiva y ``V-'' indica la entrada de alimentación negativa.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
        \centering
        \includegraphics[width=1.00\textwidth]{img/board/board_real_top.jpg}
        \caption{Vista superior}
        \label{fig-board-real-top}
    \end{subfigure}
    \hfill
    \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
        \centering
        \includegraphics[width=1.00\textwidth]{img/board/board_real_bot.jpg}
        \caption{Vista inferior}
        \label{fig-board-real-bot}
    \end{subfigure}
    \caption{Vistas de la placa armada}
    \label{fig-board-real}
\end{figure}
 
\hypertarget{mediciones}{%
\subsection{Mediciones}\label{mediciones}}

Para las mediciones se utilizó el dispositivo OWON HDS25S el cual dispone de un
osciloscopio y un generador de señales integrado. El diagrama de conexiones para
realizar las mediciones se muestra a continuación en la figura
\ref{fig-osc-gen-wiring}. Para la alimentación de la placa se utilizó $\pm$12 V,
ya que mediante simulación se comprobó que no afecta significativamente la
respuesta en frecuencia del filtro si se utilizan señales de prueba de menor
amplitud, con respecto a los $\pm$24 V del circuito propuesto.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{img/test_bench.png}
    \caption{Diagrama de conexiones para realizar las mediciones sobre la placa}
    \label{fig-osc-gen-wiring}
\end{figure}

Mediante el generador de funciones se generaron las mismas señales que las
analizadas mediante métodos analíticos y numéricos. En primer lugar se analizó
la respuesta a señales senoidales de amplitud 100 mV y frecuencias 250 Hz, 637
Hz y 10 kHz, como se muestra en la figura \ref{fig-osc-sine}. Para la señal
senoidal de 250 Hz, se puede ver que la respuesta medida de la placa de la
figura \ref{fig-osc-sine-250} es similar a las respuestas de la figura
\ref{fig-resp-sin-250}, dado que no se tiene cambio de fase y hay una ganancia
de entre 12 y 14 veces. Lo mismo ocurre con la senoidal de 637 Hz de la figura
\ref{fig-osc-sine-637} la cual es similar a la vista previamente en la figura
\ref{fig-resp-sin-637}, en ambas se ve un ligero cambio de fase y una ganancia
de entre 20 y 25 veces. Para la senoidal de 10 kHz, también se tiene una
similitud con las respuesta de la figura \ref{fig-resp-sin-10k} obtenida
mediante métodos numéricos, ya que como se puede ver en la figura
\ref{fig-osc-sine-10k}, la respuesta de la placa es similar, dado que se tiene
una atenuación casi por completo de la señal de entrada.

\begin{figure}[!ht]
    \centering
    \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
        \centering
        \includegraphics[width=1.00\textwidth]{osc/png/sine_250.png}
        \caption{Salida para señal senoidal de 250 Hz}
        \label{fig-osc-sine-250}
    \end{subfigure}
    \hfill
    \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
        \centering
        \includegraphics[width=1.00\textwidth]{osc/png/sine_637.png}
        \caption{Salida para señal senoidal de 637 Hz}
        \label{fig-osc-sine-637}
    \end{subfigure}

    \vspace{0.5em}

    \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
        \centering
        \includegraphics[width=1.00\textwidth]{osc/png/sine_10k.png}
        \caption{Salida para señal senoidal de 10 kHz}
        \label{fig-osc-sine-10k}
    \end{subfigure}
    \caption{Respuesta a señales senoidales de la placa}
    \label{fig-osc-sine}
\end{figure}

De manera similar a lo realizado para señales senoidales, se verificó la
respuesta del circuito a señales cuadradas utilizando el generador de señales
para generar las mismas señales que las analizadas con los métodos numéricos.
Las 3 señales cuadradas generadas son de amplitud pico 100 mV y frecuencias 10
Hz, 250 Hz y 2500 Hz

En la figura \ref{fig-osc-square} se muestran las señales cuadradas generadas y
las respuestas medidas de la placa ante esas señales. En primer lugar en la
figura \ref{fig-osc-square-10} se tiene la respuesta de la placa ante una señal
cuadrada de 10 Hz, se puede ver que es comparable a la respuesta obtenida de
manera numérica de la figura \ref{fig-resp-squ-10} dado que se tiene un
sobrepico con una duración de aproximadamente 6 ms y luego una ganancia de
aproximadamente 6 veces. Para la señal cuadrada de 250 Hz la respuesta de la
placa se muestra en la figura \ref{fig-osc-square-250} y tiene una forma similar
a la respuesta obtenida mediante métodos numéricos de la figura
\ref{fig-resp-squ-250}, en particular, la forma es más parecida a la forma de la
respuesta del circuito simulado que a la respuesta de la transferencia en si,
con el pico mayor en aproximadamente 2 V y el pico menor cercano a 1 V. Para la
respuesta del circuito a la señal cuadrada de 2500 Hz de la figura
\ref{fig-osc-square-2k5}, se tiene que no hoy una relación entre la respuesta
obtenida de la placa y la obtenida mediante métodos numéricos que se muestra en
la figura \ref{fig-resp-squ-2k5}.

\begin{figure}[!ht]
    \centering

    \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
        \centering
        \includegraphics[width=1.00\textwidth]{osc/png/square_10.png}
        \caption{Salida para señal cuadrada de 10 Hz}
        \label{fig-osc-square-10}
    \end{subfigure}
    \hfill
    \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
        \centering
        \includegraphics[width=1.00\textwidth]{osc/png/square_250.png}
        \caption{Salida para señal cuadrada de 250 Hz}
        \label{fig-osc-square-250}
    \end{subfigure}

    \vspace{0.5em}

    \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
        \centering
        \includegraphics[width=1.00\textwidth]{osc/png/square_2k5.png}
        \caption{Salida para señal cuadrada de 2500 Hz}
        \label{fig-osc-square-2k5}
    \end{subfigure}

    \caption{Respuesta a señales cuadradas de la placa}
    \label{fig-osc-square}
\end{figure}

Por ultimo se analiza la respuesta al escalón del circuito, para esto se genera
una señal cuadrada con amplitud 50 mV y componente continua de 50 mV, con un
período muy grande. El resultado, junto con la respuesta del circuito ante esta
entrada, se muestra en la figura \ref{fig-osc-impulse-no-cursors}. En la
figura, se observa el comportamiento subamortiguado del circuito, y se puede
ver que la amplitud del primer pico es aproximadamente 16 veces la amplitud del
escalón, este valor es el mismo que el valor de la amplitud de la respuesta al
escalón de la transferencia normalizada que se puede ver en la figura
\ref{fig-resp-escalon}, pero no es igual a la amplitud del primer pico del
circuito simulado que se puede ver en la misma figura, el cual resulta de
aproximadamente 18,5 veces. Haciendo uso de los cursores del osciloscopio se
mide el tiempo característico tal como se muestra en la figura
\ref{fig-osc-impulse-cursors}, con lo cual se obtiene aproximadamente 6 ms, lo
que se condice con las respuestas obtenidas de manera analítica y numérica.

\begin{figure}[!ht]
    \centering
    \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
        \centering
        \includegraphics[width=1.00\textwidth]{osc/png/impulse.png}
        \caption{Respuesta al impulso}
        \label{fig-osc-impulse-no-cursors}
    \end{subfigure}
    \hfill
    \begin{subfigure}{0.495\textwidth}
        \centering
        \includegraphics[width=1.00\textwidth]{osc/png/impulse_cursor_time.png}
        \caption{Respuesta al impulso con cursores}
        \label{fig-osc-impulse-cursors}
    \end{subfigure}

    \caption{Respuesta al escalón de la placa}
    \label{fig-osc-impulse}
\end{figure}

Para obtener la respuesta en frecuencia de la placa y comparar así con la
respuesta en frecuencia de la transferencia asignada y normalizada, se utilizó
el estándar de comandos SCPI (Standard Commands for Programmable Instruments)
del osciloscopio y generador utilizado.\footnotemark[12] Sabiendo los comandos,
se creó un script de Python el cual itera sobre una lista de frecuencias de
longitud arbitraria distribuidas logaritmicamente. Para cada frecuencia de la
lista, se genera una señal senoidal con amplitud pico de 100 mV; si la
frecuencia es menor a 1 kHz, o 1 V, si la frecuencia es mayor a 1 kHz, y para
cada frecuencia se mide la amplitud de la señal de salida de la placa mediante
el canal 1 del osciloscopio, dividiendo por la amplitud pico de la señal de
entrada para normalizar el valor entre -1 y 1. El resultado del script es una
lista de valores separados por coma, los cuales son utilizados como entrada de
un script de Octave que genera una gráfica de la magnitud en escala de decibeles
en función de la frecuencia, con la frecuencia en escala logarítmica. 

\footnotetext[12]{El estándar se encuentra disponible en la pagina web del
fabricante. \cite{owon_hds}}

La respuesta en frecuencia de la placa obtenida, con una lista de 300
frecuencias diferentes ordenadas logaritmicamente y realizando un promedio móvil
de 2 muestras de las magnitudes medidas, se puede ver en la figura
\ref{fig-bode-placa-comp}, en la cual se aprecia la símil respuesta entre la
placa y las transferencias original y normalizada. Se puede ver que para
frecuencias menores a 5 kHz (aproximadamente 31000 rad/s), ambas transferencias
y la placa se corresponden muy bien, y para frecuencias mayores a dicha
frecuencia comienza a haber una diferencia, esto ultimo se atribuye
principalemente a errores en las mediciones producto de una señal de salida muy
débil (dada la atenuación).

% en particular se aprecia
% que para frecuencias menores a 1 kHz la placa responde de manera casi similar a
% la transferencia original y a la normalizada.

% por lo menos cuando la
% frecuencia se encuentra por debajo de 1 kHz. Para frecuencias mayores a 1 kHz se
% puede ver una diferencia entre las transferencias y la placa, esto puede deberse
% a que la señal generada tiene una amplitud baja (0.1 V) con lo cual se dificulta
% la medición de la señal atenuada, la cual es aun más baja. Una solución a esto
% último puede ser aumentar la amplitud de la señal de prueba cuando la frecuencia
% es mayor a 1 kHz, pero el resultado debería ser el mismo, que se atenúe casi por
% completo la señal.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{plot/bode_board_rad.png}
    \caption{Diagrama de Bode de transferencias y placa}
    \label{fig-bode-placa-comp}
\end{figure}

En la tabla \ref{tab-err-board} se comparan los valores de ganancia en decibeles
de la transferencia original y los valores medidos de la placa, además se
calcula el error porcentual, el cual para frecuencias menores a 25 krad/s
(aproximadamente 4 kHz) se encuentra por debajo de 5\%.

\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{table}[h]
\centering
\small
\setlength{\tabcolsep}{8pt}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
    \hline
        Frecuencia [rad/s] & H [dB] & Placa [dB] & Error [\%] \\
    \hline
    \hline
             20 & 15,6 & 15,5 & 0,64 \\
    \hline
            253 & 17,7 & 17,6 & 0,56 \\
    \hline
            639 & 20,3 & 20,0 & 1,48 \\
    \hline
           1015 & 21,4 & 21,2 & 0,93 \\
    \hline
           2915 & 26,4 & 25,4 & 3,79 \\
    \hline
          10722 &  5,6 & 5,8  & 3,57 \\
    \hline
          24770 & -9,9 & -9,3 & 6,06 \\
    \hline
\end{tabular}
\caption{Error porcentual entre la ganancia de la transferencia original y la placa}
\label{tab-err-board}
\end{table}


% 
% \hypertarget{resultados}{%
% \section{Resultados}\label{resultados}}

\pagebreak
\hypertarget{conclusion}{%
\section{Conclusión}\label{conclusion}}

% En el presente trabajo se partió de una función de transferencia desconocida y
% se analizó el comportamiento desde todos los puntos de vista. En una primera
% instancia se realizó un análisis de manera analítica en dominio temporal y
% frecuencial, y luego, mediante métodos numéricos y simulaciones. A partir del
% análisis realizado se propuso un circuito con respuesta similar a la de la
% transferencia desconocida. El circuito propuesto se simuló y posteriormente se
% implementó físicamente en una placa de cobre mecanizada, lo que permitió
% realizar mediciones experimentales y comparar el comportamiento con la
% transferencia original.

% La comparación de los resultados obtenidos mediante el análisis analítico, los
% métodos numéricos, la simulación y las mediciones experimentales permitió
% evaluar el grado de correspondencia entre los distintos enfoques. En general, se
% obtuvo un resultado muy bueno, verificándose que el circuito implementado
% reproduce adecuadamente el comportamiento de la transferencia propuesta con un
% error en la respuesta en frecuencia menor a 5\% para frecuencias menores a 30
% kHz. Las diferencias observadas pueden atribuirse a tolerancias de los
% componentes, limitaciones de los instrumentos de medición, características no
% ideales de los amplificadores operacionales, o ruido en las mediciones.

% En general el presente trabajo permitió validar los modelos utilizados,
% verificando que el circuito propuesto responde acorde a la transferencia
% asignada dentro de un margen de error.

% El presente trabajo permitió validar los diferentes métodos utilizados,
% partiendo de una transferencia desconocida y aplicando métodos analíticos,
% numéricos y experimentales para su caracterización. De este modo, se verificó
% que los resultados obtenidos mediante los distintos métodos son consistentes
% entre sí, dentro de un margen de error aceptable.

El presente trabajo permitió validar los diferentes métodos de analisis y
sintesis utilizados, partiendo de una transferencia desconocida y aplicando
métodos analíticos, numéricos y experimentales para su caracterización. De este
modo, se verificó que los resultados obtenidos mediante los distintos métodos
son consistentes entre sí, dentro de un margen de error aceptable.

En general, se obtuvo un resultado muy bueno, verificándose que el circuito
implementado reproduce adecuadamente el comportamiento de la función de
transferencia asignada, con un error en la respuesta en frecuencia menor a 5\%
para frecuencias inferiores a 25 krad/s (aproximadamente 4 kHz). Para
frecuencias superiores a ese valor, el incremento del error se atribuye
principalmente a errores de medicion, dado que se tiene una señal muy debil a
medir (producto de la fuerte atenuacion del circuito). Sin embargo, se puede
concluir que el comportamiento observado coincide con el esperado, ya que en
ambos casos se verifica una fuerte atenuación de la señal.

% deberse a las tolerancias de los
% componentes de la placa, limitaciones de los instrumentos de medición,
% características no ideales de los amplificadores operacionales, ruido en las
% mediciones, entre otras cosas.

% mencionada, el incremento en el error se atribuye a errores en las mediciones
% producto de una señal muy debil, pero en general se concluye que la se

% con programs como Octave y LTSpice, por ultimo se ha propuesto un circuito 
% en  finalizando con la implementación de un circuito con respuesta en frecuencia
% similar a la respuesta en frecuencia de la transferencia asignada.

\pagebreak
\phantomsection
\nocite{owon_hds_scpi}
\addcontentsline{toc}{section}{Referencias}
\printbibliography

\end{document}