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Author: Martin Kloeckner <mjkloeckner@gmail.com>
Date: Sat, 11 Jul 2026 14:16:25 -0300
Completar sección de respuesta a señal senoidal
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@@ -133,6 +133,8 @@ fontupper={\ttfamily\mystrut}}
\cfoot{\thepage}
\renewcommand{\to}{\mathrel{\scriptstyle\rightarrow}}
+\newcommand{\eref}[1]{(\ref{#1})}
+\newcommand{\doublefbox}[1]{\fbox{\fbox{#1}}}
\begin{document}
\begin{titlepage}
@@ -178,6 +180,8 @@ fontupper={\ttfamily\mystrut}}
\setcounter{tocdepth}{2}
\hypersetup{linkcolor=black} % colorlinks=true option is used
+\phantomsection
+\pdfbookmark[1]{\contentsname}{toc}
\tableofcontents
\listoffigures
\pagebreak
@@ -298,23 +302,38 @@ en la ecuación \ref{eq-tran-producto}.
En la ecuación \ref{eq-tran-producto} se observa un producto de dos
transferencias más simples, las cuales resulta conveniente llamar $H_{1}(s)$ a
la transferencia de primer orden y $H_{2}(s)$ a la de segundo, de manera que
-$H(s)$ sea el producto de $H_{1}(s)$, $H_{2}(s)$ y un factor de ganancia 12 como
-se muestra en la ecuación \ref{eq-tran-simp-producto}.
+$H(s)$ sea el producto de $H_{1}(s)$, $H_{2}(s)$ y un factor de ganancia 12 (o
+$21.6dB$ aproximadamente) repartido entre ambas transferencias, tal como se
+muestra en la ecuación \ref{eq-tran-simp-producto}.
\vspace{-1em}
\begin{gather}
-H_{1}(s) = \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)} \qquad
-H_{2}(s) = \dfrac{4000^{2}}{\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
+ H_{1}(s) = K_{1}\cdot \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)} \qquad
+ H_{2}(s) = K_{2}\cdot \dfrac{4000^{2}}{\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
\nonumber\\ \nonumber\\
-H(s) = 12\cdot H_{1}(s) \cdot H_{2}(s)
+% H(s) = 12\cdot H_{1}(s) \cdot H_{2}(s)
+ H(s) = H_{1}(s) \cdot H_{2}(s);\qquad K_{1}\cdot K_{2} = 12
\label{eq-tran-simp-producto}
\end{gather}
Analizando cada transferencia por separado y realizando un análisis análogo al
realizado para la expresión de la transferencia completa, se observa que
-$H_{1}(s)$ corresponde a un filtro pasa-altos de primer orden (el cual no atenúa
-por completo las frecuencias bajas) ya que evaluando $H_{1}(s)$ para frecuencias
-muy bajas ($\omega\to 0$) resulta $0,5$ (o $-6dB$ aproximadamente), es decir,
+$H_{1}$ corresponde a un filtro pasa-altos de primer orden, el cual tiene una
+diferencia de ganancia entre frecuencias altas y bajas de $6dB$, ya que
+evaluando $H_{1}$ para frecuencias muy bajas ($\omega\to 0$) resulta $0,5K_{1}$
+(atenuacion en $6dB$ aproximadamente) y para frecuencias altas ($\omega\to
+\infty$) $H_{1}(s)$ resulta $K_{1}$. La frecuencia de corte se obtiene cuando el
+modulo de la transferencia resulta aproximadamente $0.707$ o $-3dB$ con respecto
+a la banda pasante, por lo que tomando $K_{1} = 1$ e igualando el modulo de la
+respuesta en frecuencia con $1/\sqrt{2}$, como se muestra en la ec.
+\ref{eq-tran-h1-frec-corte}, se obtiene una frecuencia de corte $\omega_{c}$
+aproximada de $353.5 rad/s$, esto es aproximadamente $56.3 Hz$.
+
+\iffalse
+, y una frecuencia de corte aproximadamente en los $56,3 Hz$
+
+por completo las frecuencias bajas) ya que evaluando $H_{1}$ para frecuencias
+muy bajas ($\omega\to 0$) resulta $K_{1}\cdot 0,5$ (o $-6dB$ aproximadamente), es decir,
atenúa a la mitad las frecuencias muy bajas y no por completo como un pasa-altos
típico. Para frecuencias muy altas ($\omega\to \infty$) $H_{1}(s)$ resulta 1, no
modifica las frecuencias altas. La frecuencia de corte se obtiene cuando el
@@ -323,6 +342,23 @@ el modulo de la respuesta en frecuencia con $1/\sqrt{2}$, como se muestra en la
ec. \ref{eq-tran-h1-frec-corte}, se obtiene una frecuencia de corte $\omega_{c}$
aproximada de $353.5 rad/s$, esto es aproximadamente $56.3 Hz$.
+Analizando cada transferencia por separado y realizando un análisis análogo al
+realizado para la expresión de la transferencia completa, se observa que
+$H_{1}$, para $K_{1} = 1$, corresponde a un filtro pasa-altos el cual no atenúa
+por completo las frecuencias bajas, ya que evaluando para frecuencias
+muy bajas ($\omega\to 0$) resulta $0,5$ (o $-6dB$ aproximadamente), es decir,
+atenúa a la mitad las frecuencias muy bajas y no por completo como un pasa-altos
+típico. Tomando otro valor de $K_{1}$, por ejemplo $2$, resulta que $H_{1}$ se
+comporta como un filtro pasa
+
+Para frecuencias muy altas ($\omega\to \infty$) $H_{1}$ resulta 1, no
+modifica las frecuencias altas. La frecuencia de corte se obtiene cuando el
+modulo de la transferencia resulta aproximadamente $0.707$ o $-3dB$, igualando
+el modulo de la respuesta en frecuencia con $1/\sqrt{2}$, como se muestra en la
+ec. \ref{eq-tran-h1-frec-corte}, se obtiene una frecuencia de corte $\omega_{c}$
+aproximada de $353.5 rad/s$, esto es aproximadamente $56.3 Hz$.
+\fi
+
\begin{align}
\left|H_{1}(j\omega_{c})\right| &= \left|\dfrac{j\omega_{c} +
250}{j\omega_{c} + 500}\right| = \dfrac{1}{\sqrt{2}}
@@ -356,21 +392,23 @@ como se muestra en la ec. \ref{eq-termino-cuad}.
\label{eq-termino-cuad}
\end{align}
-De \ref{eq-termino-cuad} igualando termino a termino resulta en una frecuencia
-natural $\omega_{0} = 4000$ y un factor de calidad $Q=9/4$. Este resultado del
+De \eref{eq-termino-cuad} igualando termino a termino resulta en una frecuencia
+natural $\omega_{0} = 4000$ y un factor de calidad $Q=9/4=2.25$. Este resultado del
factor de calidad $Q$ era esperable ya que se sabe que tiene raíces complejas
conjugadas, por lo que debía que ser mayor a 0,5 para que esto se cumpla.
\hypertarget{respuesta-al-impulso}{%
\subsection{Respuesta al impulso}\label{respuesta-al-impulso}}
-Como se mencionó previamente, la transferencia de un sistema (LTI) permite
-obtener la salida del sistema ante cualquier entrada, esto por la ecuación
-\ref{eq-h-y-x}, despejando la salida $Y(s)$ resulta como en \ref{eq-y-h-x}, en
-la cual siendo $X(s)$ la transformada de Laplace de la delta
-$\mathcal{L}\{\delta\}$, que por tabla resulta $\mathcal{L}\{\delta\} =
-1$,\footnotemark[6] termina en la misma expresion en el dominio de Laplace que
-la transferencia, como se muestra en la ecuación \ref{eq-y-h-d}.
+Como se mencionó previamente, la transferencia de un sistema LTI permite obtener
+la salida de ese sistema ante cualquier entrada. Despejando la salida $Y(s)$ de
+la ecuación \ref{eq-h-y-x} resulta como en la ec. \ref{eq-y-h-x}, siendo $X(s)$
+la transformada de Laplace de la entrada. Para la respuesta al impulso se tiene
+como entrada la delta de Dirac, por lo tanto $X(s)$ en este caso es la
+transformada de Laplace de la delta $\mathcal{L}\{\delta\}$, que por tabla
+resulta $\mathcal{L}\{\delta\} = 1$,\footnotemark[6] resultando en la misma
+expresion en el dominio de Laplace que la transferencia, como se muestra en la
+ecuación \ref{eq-y-h-d}.
\footnotetext[6]{Tabla 15.2, \cite{sadiku2015}}
@@ -454,8 +492,8 @@ denominador en ese polo $(s-p_{i})$, como se muestra en la ecuación
Para el primer coeficiente $k_{1}$ resulta como se muestra en la ecuación
\ref{eq-calculo-k1}, y realizando el mismo procedimiento se obtiene $k_{2}$ como
-se muestra en \ref{eq-calculo-k2}. El coeficiente $k_{3}$ es el conjugado de
-$k_{2}$, por lo que el resultado es directo como se muestra en la ecuacion
+se muestra en la ecuación \ref{eq-calculo-k2}. El coeficiente $k_{3}$ es el conjugado
+de $k_{2}$, por lo que el resultado es directo como se muestra en la ecuación
\ref{eq-calculo-k3}.
\begin{align}
@@ -465,7 +503,7 @@ $k_{2}$, por lo que el resultado es directo como se muestra en la ecuacion
\cdot
\dfrac{1}
{\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}\nonumber\\[6pt]
- &\Longrightarrow \boxed{k_{1} \approx -16.3\cdot 10 ^{-6}}
+ &\hspace{50pt}\boxed{k_{1} \approx -16.3\cdot 10 ^{-6}}
\label{eq-calculo-k1}
\end{align}
@@ -477,21 +515,21 @@ $k_{2}$, por lo que el resultado es directo como se muestra en la ecuacion
\cdot\left(s - \left(\dfrac{-8000}{9}+j3900\right)\right)
\cdot\left(s - \left(\dfrac{-8000}{9}-j3900\right)\right)}
\nonumber\\[12pt]
- &\hspace{10em} \Longrightarrow \boxed{k_{2}\approx \left(8.37 - j129\right)\cdot 10^{-6}}
+ &\hspace{100pt} \boxed{k_{2}\approx \left(8.37 - j129\right)\cdot 10^{-6}}
\label{eq-calculo-k2}
\end{align}
\vspace{-0.5em}
\begin{align}
% k_{3} = k_{2}^{*} \Longrightarrow \boxed{k_{3}\approx -495 - j7849}
- k_{3} = k_{2}^{*} \Longrightarrow \boxed{k_{3} \approx \left(8.37 + j129\right)\cdot 10^{-6}}
+ k_{3} = k_{2}^{*} \Rightarrow \boxed{k_{3} \approx \left(8.37 + j129\right)\cdot 10^{-6}}
\label{eq-calculo-k3}
\end{align}
Teniendo los valores de $k_{1, 2, 3}$, en la ecuación \ref{eq-l-f-simp} se puede
aplicar el operador inverso de Laplace termino a termino, cada termino responde
-a expresiones tabuladas,\footnotemark[8] lo que resulta como se ve en
-\ref{eq-l-t-f-simp}.
+a expresiones tabuladas,\footnotemark[8] lo que resulta como se ve en la
+ecuación \ref{eq-l-t-f-simp}.
\begin{align}
h(t) = 12\cdot4000^{2}\cdot \left(
@@ -502,10 +540,10 @@ a expresiones tabuladas,\footnotemark[8] lo que resulta como se ve en
\label{eq-l-t-f-simp}
\end{align}
-En particular en el segundo y tercer termino de \ref{eq-l-t-f-simp} los
+En particular en el segundo y tercer termino de \eref{eq-l-t-f-simp} los
coeficientes $k_{2,3}$ y sus polos $p_{2,3}$ son complejos conjugados, aplicando
la identidad de Euler y operando se llega al resultado siguiente que se muestra
-en \ref{eq-comp-conj-comb}.
+en \eref{eq-comp-conj-comb}.
\begin{align}
\text{Denotando} \; p_{2} = \alpha + j\beta\; \text{y} \;
@@ -518,45 +556,44 @@ en \ref{eq-comp-conj-comb}.
\label{eq-comp-conj-comb}
\end{align}
-Y aplicando propiedades trignometricas en \ref{eq-comp-conj-comb}, en particular
+Y aplicando propiedades trignometricas en \eref{eq-comp-conj-comb}, en particular
la igualdad entre la suma de las funciones seno y coseno con fase nula, con una
función coseno con fase no nula, resulta como se muestra en le ecuación
\ref{eq-comp-conj-comb-res}, luego reemplazando con los valores de $k_{2}$ y
-$p_{2}$ resulta como en \ref{eq-comp-conj-comb-valores}.
+$p_{2}$ resulta como en \eref{eq-comp-conj-comb-valores}.
\begin{align}
&\text{Siendo} \; p_{2} = \alpha + j\beta\; \text{y} \;
k_{2} = \lambda + j\gamma\;\quad \nonumber\\[8pt]
&\qquad\qquad k_{2} e^{-p_{2}t} + k_{2}^{*} e^{-p_{2}^{*}t} =
- 2\left|k_{2}\right| e^{\alpha t}\cdot \left[
- cos\left(\beta t + arg\left\{k_{2}^{*}\right\}\right)\right]
+ 2\left|k_{2}\right| e^{\alpha t}
+ cos\left(\beta t + arg\left\{k_{2}^{*}\right\}\right)
\label{eq-comp-conj-comb-res}\\[8pt]
&\Rightarrow\ \boxed{k_{2} e^{-p_{2}t} + k_{2}^{*} e^{-p_{2}^{*}t} =
- 258.5\cdot10^{-6}\ e^{-889 t}\cdot \left[
- cos\left(3900 t + 1.51\right)
- \right]}&
+ 258.5\cdot10^{-6}\ e^{-889 t}
+ cos\left(3900 t + 1.51\right)}&
\label{eq-comp-conj-comb-valores}
\end{align}
-Combinando los resultados de \ref{eq-calculo-k1} y
-\ref{eq-comp-conj-comb-valores} en \ref{eq-l-t-f-simp} se obtiene finalmente la
-respuesta al impulso en el dominio de tiempo $h(t)$ como se muestra en la ec.
-\ref{eq-h-impulso-final}.
+Combinando los resultados de \eref{eq-calculo-k1} y
+\eref{eq-comp-conj-comb-valores} en \eref{eq-l-t-f-simp} se obtiene finalmente
+la respuesta al impulso en el dominio de tiempo $h(t)$ como se muestra en la
+ecuación \eref{eq-h-impulso-final}.
\begin{align}
h(t)& \approx 12\cdot4000^{2}
\nonumber\\[-2pt]
- &\hspace{2em}\cdot\left(16.3\cdot10^{-6} e^{-500 t} +
- 123\cdot10^{6}\ e^{-889 t}\cdot \left[cos\left(3900 t + 1.51\right)\right]
- \right)\cdot u(t)\nonumber\\[10pt]
- &\boxed{\boxed{h(t) \approx \left(3130\cdot e^{-500 t} +
- 49632\cdot e^{-889 t}\cdot \left[cos\left(3900 t + 1.51\right)\right]
- \right)\cdot u(t)}}
+ &\hspace{2em}\left[16.3\cdot10^{-6} e^{-500 t} +
+ 258.5\cdot10^{-6}\ e^{-889 t} cos\left(3900 t + 1.51\right)
+ \right]\ u(t)\nonumber\\[10pt]
+ &\boxed{\boxed{h(t) \approx \left[3130\cdot e^{-500 t} +
+ 49632\cdot e^{-889 t}cos\left(3900 t + 1.51\right)
+ \right]\ u(t)}}
\label{eq-h-impulso-final}
\end{align}
Para la expresión de la respuesta al impulso de la ecuacion
-\ref{eq-h-impulso-final}, se realiza un gráfico en funcion del tiempo, el cual
+\eref{eq-h-impulso-final}, se realiza un gráfico en funcion del tiempo, el cual
se muestra en la figura \ref{fig-h-impulso-final}, la forma era de esperarse ya
que una de las transferencias ($H_{2}(s)$) tiene raices complejas conjugadas por
lo que su comportamiento es de tipo subamortiguado.
@@ -564,23 +601,22 @@ lo que su comportamiento es de tipo subamortiguado.
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=1.00\textwidth]{plot/impulse.png}
- \caption{Respuesta al impulso $h(t)$ en dominio temporal con transferencia $H(s)$}
+ \caption{Respuesta al impulso en dominio temporal}
\label{fig-h-impulso-final}
\end{figure}
-
\hypertarget{respuesta-al-escalon}{%
\subsection{Respuesta al escalón}\label{respuesta-al-escalon}}
-El procedimiento para calcular la respuesta al escalon es analogo al realizado
-para calcular la respuesta al impulso, utilizando la ecuación \ref{eq-y-h-x} con
+El procedimiento para calcular la respuesta al escalón es análogo al realizado
+para calcular la respuesta al impulso, utilizando la ecuación \eref{eq-y-h-x} con
$X(s)$ la transformada de Laplace de la entrada, en este caso la tranformada de
Laplace de la funcion de Heaviside o escalón, esto es $X(s) =
\mathcal{L}\left\{u(t)\right\}$, que por tabla\footnotemark[8] resulta
$\mathcal{L}\left\{u(t)\right\} = 1/s$. La expresion de la transformada inversa
-de Laplace de la respuesta al escalón resulta como se muestra en la ec.
-\ref{eq-l-1-U} y luego en la ec. \ref{eq-l-1-U-lin} extrayendo las constantes
-fuera del operador, por la propiedad de linealidad.
+de Laplace de la respuesta al escalón resulta como se muestra en la ecuación
+\eref{eq-l-1-U} y luego en \eref{eq-l-1-U-lin} extrayendo las constantes fuera
+del operador, por la propiedad de linealidad.
\footnotetext[8]{Tabla 15.2, \cite{sadiku2015}}
@@ -609,8 +645,8 @@ aprovechar la propiedad de linealidad, en este caso al multiplicar la
transferencia por la transformada de la función escalón ($1/s$), se agrega un
polo en cero, $p_{4} = 0$, es por esto que habrá un termino más en la expresion
expandida en fracciones simples, a diferencia de la expansion para la respuesta
-al impulso de la ecuación \ref{eq-l-f-simp}, como se muestra en la ec.
-\ref{eq-l-f-U-simp}.
+al impulso de la ecuación \eref{eq-l-f-simp}, como se muestra en
+\eref{eq-l-f-U-simp}.
\begin{align}
y(t) = 12\cdot 4000^{2}\cdot \mathcal{L}^{-1}\left\{
@@ -623,8 +659,8 @@ al impulso de la ecuación \ref{eq-l-f-simp}, como se muestra en la ec.
\end{align}
Para calcular los coeficientes $k_{1,2,3,4}$ se utiliza la ecuación
-\ref{eq-calculo-ki} resultando como se muestra en la ec. \ref{eq-calculo-u-k1},
-\ref{eq-calculo-u-k2}, \ref{eq-calculo-u-k3} y \ref{eq-calculo-u-k4}
+\eref{eq-calculo-ki}, resultando como se muestra en \eref{eq-calculo-u-k1},
+\eref{eq-calculo-u-k2}, \eref{eq-calculo-u-k3} y \eref{eq-calculo-u-k4},
respectivamente.
\begin{align}
@@ -664,64 +700,275 @@ respectivamente.
\label{eq-calculo-u-k4}
\end{align}
-Teniendo el valor de los coeficientes $K_{i}$ y aplicando la antitransformada
-termino a termino resulta como en la ecuacion \ref{eq-y-t-u}.
+Teniendo el valor de los coeficientes $k_{i}$ y aplicando la antitransformada
+termino a termino resulta como en la ecuacion \eref{eq-y-t-u}.
\vspace{-0.5em}
\begin{align}
y(t) = 12\cdot4000^{2}\cdot \left(
k_{1} e^{-p_{1}t} +
k_{2} e^{-p_{2}t} +
- k_{3} e^{-p_{3}t}
+ k_{3} e^{-p_{3}t} +
k_{4} e^{-p_{4}t}
\right)\cdot u(t)
\label{eq-y-t-u}
\end{align}
-Reutilizando el resultado de la ecuación \ref{eq-comp-conj-comb-res} para
+Reutilizando el resultado de la ecuación \eref{eq-comp-conj-comb-res} para
terminos provenientes de polos complejos conjugados, y sabiendo que $p_{4} = 0$,
-entonces la expresion de la respuesta al escalon del sistema en dominio
-temporal $y(t)$, resulta como se muestra en la ecuación \ref{eq-y-U-final}.
+entonces la expresión de la respuesta al escalón del sistema en dominio
+temporal $y(t)$, resulta como se muestra en la ecuación \eref{eq-y-U-final}.
\begin{align}
&y(t) \approx 12\cdot4000^{2} \cdot10^{-9}
\nonumber\\[-2pt]
- &\hspace{4.5em}\cdot\left(32.5\cdot e^{-500 t} +
+ &\hspace{4.5em}\left[32.5\cdot e^{-500 t} +
64.6\cdot e^{-889 t}
- \left[cos\left(3900 t + 2.98\right)\right] +31.3\right)
- \cdot u(t)\nonumber\\[6pt]
- &\boxed{\boxed{y(t) \approx \left(6.24\cdot e^{-500 t}
- +12.41\cdot e^{-889 t}\cdot \left[cos\left(3900 t + 2.98\right)\right]
- +6.01\right)\cdot u(t)}}
+ cos\left(3900 t + 2.98\right) +31.3\right]
+ \ u(t)\nonumber\\[6pt]
+ &\boxed{\boxed{y(t) \approx \left[6.24\cdot e^{-500 t}
+ +12.41\cdot e^{-889 t} cos\left(3900 t + 2.98\right)
+ +6.01\right]\ u(t)}}
\label{eq-y-U-final}
\end{align}
Para el resultado de la respuesta al escalón en dominio temporal $y(t)$ de la
-ecuación \ref{eq-y-U-final} se realiza un grafico en funcion del tiempo el cual
-se muestra en la figura \ref{fig-y-U-final}.
+ecuación \eref{eq-y-U-final}, se realizó un gráfico en función del tiempo, el
+cual se muestra en la figura \ref{fig-y-U-final}.
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=1.00\textwidth]{plot/Heaviside.png}
- \caption{Respuesta al escalón $y(t)$ en dominio temporal con transferencia $H(s)$}
+ \caption{Respuesta al escalón en dominio temporal}
\label{fig-y-U-final}
\end{figure}
En la figura 2 se observa que para frecuencias altas, esto es en la transición
en el origen de la función escalón, se comporta similar a la respuesta al
impulso, presentando oscilaciones hasta que el sistema se estabiliza. De la
-ecuacion \ref{eq-y-U-final} se observa que el transitorio mas lento es el de la
+ecuacion \eref{eq-y-U-final} se observa que el transitorio mas lento es el de la
exponencial $e^{-889\cdot t}$ el cual tiene un tiempo caracteristico $\tau =
-2$ms, por convencion se toma $5$ veces ese valor, resultando en $10$ms de
-tiempo para que el sistema se estabilice por completo que se ve claramente en la
-figura. Cuando la funcion escalon es continua y el sistema se estabiliza se
-observa la ganancia de $6$ (o $15.56 dB$ aproximadamente) propia de la
-transferencia $H_{1}(s)$ para frecuencias muy bajas.
+2$ms; por convencion se toma $5$ veces ese valor, resultando en $10$ms de
+tiempo para que el sistema se estabilice por completo, lo cual se ve claramente
+en la figura. Cuando la funcion escalon es continua y el sistema se estabiliza
+se observa la ganancia de $6$ (o $15.56 dB$ aproximadamente) propia de la
+transferencia $H(s)$ para frecuencias bajas, obtenido en la ecuación \eref{eq-tran-to-zero}.
\hypertarget{respuesta-a-señal-senoidal}{%
\subsection{Respuesta a señal senoidal}\label{respuesta-a-señal-senoidal}}
+Para la respuesta a una señal senoidal se realiza un procedimiento análogo a los
+realizados previamente para obtener la respuesta al impulso y al escalón. Se
+aplica el operador inverso de Laplace a la expresión de la ecuación
+\eref{eq-y-h-x} con $X(s)$ la transformada de Laplace de la entrada, en este
+caso una funcion senoidal, cuya trasnformada para $t\ge 0$ se obtiene de
+tabla\footnotemark[8] y resulta como se muestra a continuación en
+\eref{eq-l-sin}. Para este caso, se tomará la frecuencia angular $\omega_{0} =
+6283\ \text{rad}/\text{s}$ (lo cual corresponde aproximadamente a una frecuencia
+de $1000\ Hz$).
+
+\begin{align}
+ \mathcal{L}\left\{sin(\omega_{0} t)\right\} =
+ \dfrac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}
+ \label{eq-l-sin}
+\end{align}
+
+La expresión de la transformada inversa de Laplace de la respuesta a la función
+seno resulta como se muestra en la ecuación \eref{eq-l-1-sin} y luego en
+\eref{eq-l-1-sin-lin} extrayendo las constantes fuera del operador, esto por la
+propiedad de linealidad del operador.
+
+\footnotetext[8]{Tabla 15.2, \cite{sadiku2015}}
+
+\begin{align}
+ y(t) &=
+ \mathcal{L}^{-1}\left\{
+ H(s)
+ \cdot\dfrac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}\right\}\notag\\[8pt]
+ &= \mathcal{L}^{-1}\left\{
+ 12\cdot \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
+ \cdot
+ \dfrac{4000^{2}}{\left(s^{2}+\dfrac{4000^{2}}{9000}s+4000^{2}\right)}
+ \cdot
+ \dfrac{\omega_{0}}{\left(s^{2}+\omega_{0}^{2}\right)}
+ \right\}
+ \label{eq-l-1-sin}\\[8pt]
+ &= 12\cdot 4000^{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{
+ \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
+ \cdot
+ \dfrac{1}
+ {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
+ \cdot\dfrac{\omega_{0}}{\left(s^{2}+\omega_{0}^{2}\right)}
+ \right\}
+ \label{eq-l-1-sin-lin}
+\end{align}
+
+Se expande en fracciones simples la expresión a antitransformar para aprovechar
+la propiedad de linealidad. En este caso, al multiplicar la transferencia por la
+transformada de la función seno, se agrega un par de polos complejos conjugados
+$p_{4,5} = \pm j\omega_{0}$. Por lo que la expansión en fracciones simples
+resulta como en \eref{eq-l-f-sin-simp}.
+
+\begin{align}
+ y(t) = 12\cdot 4000^{2}\cdot \mathcal{L}^{-1}\left\{
+ \dfrac{k_{1}}{\left(s - p_{1}\right)} +
+ \dfrac{k_{2}}{\left(s - p_{2}\right)} +
+ \dfrac{k_{3}}{\left(s - p_{3}\right)} +
+ \dfrac{k_{4}}{\left(s - p_{4}\right)} +
+ \dfrac{k_{5}}{\left(s - p_{5}\right)}
+ \right\}
+ \label{eq-l-f-sin-simp}
+\end{align}
+
+Para calcular los coeficientes $k_{1,2,3,4,5}$ se utiliza la ecuación
+\eref{eq-calculo-ki}, resultando como se muestra en \eref{eq-calculo-sin-k1},
+\eref{eq-calculo-sin-k2}, \eref{eq-calculo-sin-k3}, \eref{eq-calculo-sin-k4} y
+\eref{eq-calculo-sin-k5}, respectivamente.
+
+\begin{align}
+ k_{1} &= \lim_{s\to -500}
+ \dfrac{\left(s + 250\right)}
+ {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
+ \cdot
+ \dfrac{\omega_{0}}{\left(s^{2}+\omega_{0}^{2}\right)}
+ \Rightarrow \boxed{k_{1}\approx -2.57\cdot 10 ^{-9}}
+ \label{eq-calculo-sin-k1}
+\end{align}
+
+\begin{align}
+ k_{2} &= \lim_{s\to \frac{-8000}{9}+j3900}
+ \dfrac{\left(s + 250\right)}
+ {\left(s + 500\right)
+ \cdot\left(s - \left(\dfrac{-8000}{9}-j3900\right)\right)}
+ \cdot
+ \dfrac{\omega_{0}}{\left(s^{2}+\omega_{0}^{2}\right)}\notag\\[8pt]
+ &\hspace{4em} \boxed{k_{2}\approx \left(10.2 - j29.5\right)\cdot10^{-9}}
+ \label{eq-calculo-sin-k2}
+\end{align}
+
+\begin{align}
+ k_{3} = k_{2}^{*}
+ \Rightarrow \boxed{k_{3} \approx \left(10.2 + j29.5\right)\cdot10^{-9}}
+ \label{eq-calculo-sin-k3}
+\end{align}
+
+\begin{align}
+ k_{4} &= \lim_{s\to j6283}
+ \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
+ \cdot
+ \dfrac{1}
+ {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
+ \cdot
+ \dfrac{\omega_{0}}{\left(s^{2}+\omega_{0}^{2}\right)}\notag\\[8pt]
+ &\hspace{4em} \boxed{k_{4} \approx \left(-8.92 + j17.0\right)\cdot 10 ^{-9}}
+ \label{eq-calculo-sin-k4}
+\end{align}
+
+\begin{align}
+ k_{5} = k_{4}^{*}
+ \Rightarrow \boxed{k_{5} \approx \left(-8.92 - j17.0\right)\cdot10^{-9}}
+ \label{eq-calculo-sin-k5}
+\end{align}
+
+
+Teniendo el valor de los coeficientes $k_{i}$ y aplicando la antitransformada
+termino a termino resulta como en la ecuacion \eref{eq-y-t-sin}.
+
+\vspace{-0.5em}
+\begin{align}
+ y(t) &= 12\cdot4000^{2} \left(
+ k_{1} e^{-p_{1}t} +
+ k_{2} e^{-p_{2}t} +
+ k_{3} e^{-p_{3}t} +
+ k_{4} e^{-p_{4}t} +
+ k_{5} e^{-p_{5}t}
+ \right) u(t)\notag\\[8pt]
+ &= 12\cdot4000^{2} \left(
+ k_{1} e^{-p_{1}t} +
+ k_{2} e^{-p_{2}t} +
+ k_{2}^{*} e^{-p_{2}^{*}t} +
+ k_{4} e^{-p_{4}t} +
+ k_{4}^{*} e^{-p_{4}^{*}t}
+ \right) u(t)
+ \label{eq-y-t-sin}
+\end{align}
+
+Dado que se tienen dos pares de polos complejos conjugados, se resutiliza el
+resultado de la ecuación \eref{eq-comp-conj-comb-res} para reescribir las
+exponenciales complejas en terminos de funciones senoidales, resultando la
+expresión de la respuesta a una funcion senoidal con frecuencia angular
+$\omega_{0} = 6283\text{rad}/\text{s}$ del sistema en dominio temporal $y(t)$
+como se muestra a continuación en la ecuación \eref{eq-y-sin-final}.
+
+\begin{align}
+ &y(t) \approx 12\cdot4000^{2} \cdot10^{-9}
+ \notag\\[-2pt]
+ &\hspace{40pt}\Big[
+ -2.57\, e^{-500\, t}
+ + 64.5\, e^{-889\, t} cos\left(3900\, t - 1.24\right) \notag\\[-2pt]
+ &\hspace{200pt} + 38.4\, cos\left(6283\, t + 2.05\right)
+ \Big]\ u(t)
+\end{align}
+
+% \begin{empheq}[box=\fbox]{align}
+% &y(t) \approx
+% \Big(-0.49\cdot e^{-500 t}
+% + 12.4\cdot e^{-889 t} \left[cos\left(3900 t - 1.24\right)\right] \notag\\[-4pt]
+% &\hspace{200pt}+ 7.37\cdot \left[cos\left(6283 t + 2.05\right)\right]
+% \Big)\ u(t)
+% \label{eq-y-sin-final}
+% \end{empheq}
+
+\vspace{-2em}
+
+\begin{empheq}[box=\doublefbox]{equation}
+ \begin{split}
+ y(t) \approx
+ \Big[
+ &-0.49\, e^{-500\,t}
+ +12.4\, e^{-889\,t}\cos(3900\,t-1.24) \\
+ &\hspace{180pt} + 7.37\, \cos(6283\,t+2.05)
+ \Big]\,u(t)
+ \end{split}
+\label{eq-y-sin-final}
+\end{empheq}
+
\pagebreak
+
+Para el resultado obtenido anteriormente en la ecuación \eref{eq-y-sin-final} de
+la respuesta a la señal seno de frecuencia angular $\omega_{0} = 6283\
+\text{rad}/\text{s}$ (aproximadamente $1000\ Hz$) en dominio temporal se realizó
+un gráfico en función del tiempo, el cual se muestra en la figura
+\ref{fig-y-sin-final}.
+
+\begin{figure}[!ht]
+ \centering
+ \includegraphics[width=1.00\textwidth]{plot/sine_response3.png}
+ \caption{Respuesta a señal senoidal de $1kHz$ en dominio temporal}
+ \label{fig-y-sin-final}
+\end{figure}
+
+\iffalse
+En la figura 2 se observa que para frecuencias altas, esto es en la transición
+en el origen de la función escalón, se comporta similar a la respuesta al
+impulso, presentando oscilaciones hasta que el sistema se estabiliza. De la
+ecuacion \eref{eq-y-U-final} se observa que el transitorio mas lento es el de la
+exponencial $e^{-889\cdot t}$ el cual tiene un tiempo caracteristico $\tau =
+2$ms; por convencion se toma $5$ veces ese valor, resultando en $10$ms de
+tiempo para que el sistema se estabilice por completo, lo cual se ve claramente
+en la figura. Cuando la funcion escalon es continua y el sistema se estabiliza
+se observa la ganancia de $6$ (o $15.56 dB$ aproximadamente) propia de la
+transferencia $H(s)$ para frecuencias bajas, obtenido en la ecuación \eref{eq-tran-to-zero}.
+
+
+, es por esto que habrá un termino más en la expresion
+expandida en fracciones simples, a diferencia de la expansion para la respuesta
+al impulso de la ecuación \eref{eq-l-f-simp}, como se muestra en
+\eref{eq-l-f-U-simp}.
+\fi
+
+\clearpage
+
\hypertarget{circuitos-teoricos}{%
\section{Circuitos teóricos}\label{circuitos-teoricos}}
@@ -847,5 +1094,8 @@ muestra en la figura \ref{osc1}.
\section{Conclusión}\label{conclusion}}
\pagebreak
+\phantomsection
+\addcontentsline{toc}{section}{Referencias}
\printbibliography
+
\end{document}
diff --git a/tp/informe/plot/impulse.png b/tp/informe/plot/impulse.png
Binary files differ.
diff --git a/tp/informe/plot/script.m b/tp/informe/plot/script.m
@@ -1,5 +1,47 @@
pkg load control
+%% Figure light theme
+
+set(0, "defaultAxesColorOrder", [
+ 1.0000 0.0000 0.0000; # red
+ 0.0000 0.0000 1.0000; # blue
+ 1.0000 0.4980 0.0549; # orange
+ 0.1725 0.6275 0.1725; # green
+ 0.5804 0.4039 0.7412; # purple
+ 0.5490 0.3373 0.2941; # brown
+ 0.8902 0.4667 0.7608; # pink
+ 0.4980 0.4980 0.4980; # gray
+]);
+
+set(0, "DefaultFigureColor", [1 1 1]);
+set(0, "DefaultAxesColor", [1 1 1]);
+set(0, "DefaultAxesXColor", [0 0 0]);
+set(0, "DefaultAxesYColor", [0 0 0]);
+set(0, "DefaultTextColor", [0 0 0]);
+
+set(0, "DefaultAxesGridColor", [0 0 0]);
+set(0, 'DefaultAxesGridAlpha', 1.00);
+
+set(0, "DefaultAxesMinorGridColor", [0 0 0]);
+set(0, 'DefaultAxesMinorGridAlpha', 1.00);
+
+set(0, "DefaultLineLinewidth", 3.00);
+set(0, "DefaultAxesFontSize", 16);
+set(0, "DefaultTextFontSize", 16);
+set(0, "DefaultAxesLineWidth", 1.00);
+
+set(0, "DefaultAxesXGrid", "on");
+set(0, "DefaultAxesYGrid", "on");
+set(0, "DefaultAxesZGrid", "on");
+set(0, "DefaultAxesXMinorGrid", "on");
+set(0, "DefaultAxesYMinorGrid", "on");
+set(0, "DefaultAxesXMinorTick", "on");
+set(0, "DefaultAxesYMinorTick", "on");
+
+set(0, 'DefaultAxesGridAlpha', 0.50);
+set(0, 'DefaultAxesMinorGridAlpha', 0.25);
+
+
% num = [6/250 6];
% den = conv([1/500 1], [1/power(1/4000, 2) 1/9000 1]);
@@ -60,7 +102,7 @@ xlim([0 10])
xticks(0:1:10);
ylim([-35000 35000])
-ylabel("VALOR h(t)");
+ylabel("AMPLITUD h(t)");
xlabel("TIEMPO t [ms]");
legend("Respuesta al impulso h(t)");
@@ -79,7 +121,7 @@ xlim([0 10])
xticks(0:1:10);
ylim([0 20])
-ylabel("VALOR y(t)");
+ylabel("AMPLITUD y(t)");
xlabel("TIEMPO t [ms]");
legend("Respuesta al escalón y(t)");
diff --git a/tp/informe/plot/sine_response3.png b/tp/informe/plot/sine_response3.png
Binary files differ.
diff --git a/tp/scripts/partial_fractions_expansion.m b/tp/scripts/partial_fractions_expansion.m
@@ -0,0 +1,94 @@
+clc; clear all; close all;
+
+format shorteng
+
+function s = eng(x, prec)
+
+ if nargin < 2
+ prec = 3;
+ end
+
+ if x == 0
+ s = sprintf(sprintf("%%.%df", prec), 0);
+ return;
+ end
+
+ e = 3*floor(log10(abs(x))/3);
+ m = x/10^e;
+
+ fmt = sprintf("%%.%dfe%%+03d", prec);
+ s = sprintf(fmt, m, e);
+
+end
+
+function print_cosine_form(pole, residue_value)
+
+ sigma = real(pole);
+ omega = imag(pole);
+
+ amplitude = 2*abs(residue_value);
+ phase = angle(residue_value);
+
+ fprintf("\nComplex pair\n");
+ fprintf("------------\n");
+ fprintf("p = %s + %sj\n", ...
+ eng(sigma), eng(omega));
+
+ fprintf("k = %s + %sj\n", ...
+ eng(real(residue_value)), ...
+ eng(imag(residue_value)));
+
+ fprintf("\nTime domain\n");
+ fprintf("-----------\n");
+ fprintf("%s * exp(%st) * cos(%st %+0.3f)\n\n", ...
+ eng(amplitude), ...
+ eng(sigma), ...
+ eng(omega), ...
+ phase);
+end
+
+% Respuesta al escalón
+
+fprintf("------------------\n");
+fprintf("Heaviside response\n");
+fprintf("------------------\n");
+
+num = [1 250];
+den1 = [1 500];
+den2 = [1 4000^2/9000 4000^2];
+den3 = [1 0];
+den = conv(conv(den1, den2), den3);
+
+[r, p] = residue(num, den)
+
+k1 = r(3); p1 = p(3);
+k2 = r(1); p2 = p(1);
+k3 = r(2); p3 = p(2);
+k4 = r(4); p4 = p(4);
+
+print_cosine_form(p2, k2)
+
+% Respuesta a seno
+
+w0 = 6283; % Aproximadamente 1kHz
+fprintf("\n---------------------------------------\n");
+fprintf("Sine function response with f=%.1f Hz\n", w0/(2*pi));
+fprintf("---------------------------------------\n");
+
+num = w0*[1 250];
+den1 = [1 500];
+den2 = [1 4000^2/9000 4000^2];
+den3 = [1 0 w0^2];
+den = conv(conv(den1, den2), den3);
+
+[r, p] = residue(num, den)
+
+k1 = r(5); p1 = p(5);
+k2 = r(3); p2 = p(3);
+k3 = r(4); p3 = p(4);
+k4 = r(1); p4 = p(1);
+k5 = r(2); p5 = p(2);
+
+print_cosine_form(p2, k2)
+print_cosine_form(p4, k4)
+
diff --git a/tp/scripts/plot_responses.m b/tp/scripts/plot_responses.m
@@ -0,0 +1,89 @@
+clc; clear all; close all;
+
+%% Figure light theme
+
+set(0, "defaultAxesColorOrder", [
+ 1.0000 0.0000 0.0000; # red
+ 0.0000 0.0000 1.0000; # blue
+ 1.0000 0.4980 0.0549; # orange
+ 0.1725 0.6275 0.1725; # green
+ 0.5804 0.4039 0.7412; # purple
+ 0.5490 0.3373 0.2941; # brown
+ 0.8902 0.4667 0.7608; # pink
+ 0.4980 0.4980 0.4980; # gray
+]);
+
+set(0, "DefaultFigureColor", [1 1 1]);
+set(0, "DefaultAxesColor", [1 1 1]);
+set(0, "DefaultAxesXColor", [0 0 0]);
+set(0, "DefaultAxesYColor", [0 0 0]);
+set(0, "DefaultTextColor", [0 0 0]);
+
+set(0, "DefaultAxesGridColor", [0 0 0]);
+set(0, 'DefaultAxesGridAlpha', 1.00);
+
+set(0, "DefaultAxesMinorGridColor", [0 0 0]);
+set(0, 'DefaultAxesMinorGridAlpha', 1.00);
+
+set(0, "DefaultLineLinewidth", 3.00);
+set(0, "DefaultAxesFontSize", 16);
+set(0, "DefaultTextFontSize", 16);
+set(0, "DefaultAxesLineWidth", 1.00);
+
+set(0, "DefaultAxesXGrid", "on");
+set(0, "DefaultAxesYGrid", "on");
+set(0, "DefaultAxesZGrid", "on");
+set(0, "DefaultAxesXMinorGrid", "on");
+set(0, "DefaultAxesYMinorGrid", "on");
+set(0, "DefaultAxesXMinorTick", "on");
+set(0, "DefaultAxesYMinorTick", "on");
+
+set(0, 'DefaultAxesGridAlpha', 0.50);
+set(0, 'DefaultAxesMinorGridAlpha', 0.25);
+
+
+t = linspace(0.00, 0.10, 4000);
+
+y = (-0.49 .* exp(-500 .* t) + ...
+ 12.4 .* exp(-889 .* t) .* cos(3900 .* t - 1.24) + ...
+ 7.37 .* cos(6283 .* t + 2.05)) .* (t >= 0);
+
+omega = 6283;
+y_sine = sin(omega * t);
+
+figure(1);
+grid on;
+set(gcf, "paperunits", "inches");
+set(gcf, "papersize", [10 4]);
+set(gcf, "paperposition", [0 0 10 4]);
+
+% bode(H);
+% grid on;
+
+% Cambiar tamaño de las fuentes
+% set(gca, "fontsize", 12); % ejes actuales
+% set(findall(gcf,"type","text"), "fontsize", 10); % todos los textos
+% set(findall(gcf,"type","line"), "linewidth", 1.25);
+
+% diagrama de bode transferencia original
+% print("bode_plot.png", "-dpng", "-r1000");
+
+set (gca, "minorgridlinestyle", "--"); % grilla mayor con línea de guiones
+
+plot(t*1e3, y_sine, "b", "LineWidth", 3);
+hold on;
+plot(t*1e3, y, "r", "LineWidth", 3);
+
+% title("Time Response");
+xlim([0 8])
+xticks(0:1:8);
+ylim([-13 13])
+
+xlabel("TIEMPO t [ms]");
+ylabel("AMPLITUD y(t)");
+legend("Señal senoidal f=1kHz", "Respuesta a señal senoidal");
+
+graphics_toolkit("qt");
+% set(gcf, "renderer", "painters");
+set(gcf, "renderer", "opengl");
+print("sine_response.png", "-dpng", "-r500");
diff --git a/tp/scripts/sine_response3.png b/tp/scripts/sine_response3.png
Binary files differ.
