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Author: Martin Kloeckner <mjkloeckner@gmail.com>
Date: Wed, 19 Nov 2025 17:27:35 -0300
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@@ -284,6 +284,9 @@ real negativa, esto implica que el sistema asociado a la transferencia es
estable\footnote{Este resultado se obtiene de la sección
16.6.1 ``Estabilidad de una red'', \cite{sadiku2015}}.
+\hypertarget{producto-de-transferencias-simples}{%
+\subsection{Producto de transferencias más simples}\label{producto-de-transferencias-simples}}
+
La expresión de la transferencia de la ecuación \ref{eq-tran} se puede
reescribir como producto de transferencias más simples, además simplificando el
termino que acompaña a los coeficientes de mayor grado resulta como se muestra
@@ -426,10 +429,8 @@ de la transferencia en términos de las raíces, resulta como se muestra en
\begin{align}
h(t) = 192\cdot 10^{6}\mathcal{L}^{-1}\left\{
- \dfrac{1}{\left(s - p_{1}\right)}
- \cdot
\dfrac{\left(s + 250\right)}
- {\left(s - p_{2} \right)
+ {\left(s - p_{1}\right)\cdot \left(s - p_{2} \right)
\cdot
\left(s - p_{3}\right)}\right\}
\label{eq-l-1-h-den-fac}
@@ -439,7 +440,6 @@ de la transferencia en términos de las raíces, resulta como se muestra en
\begin{align}
h(t) = 192\cdot 10^{6}\mathcal{L}^{-1}\left\{
\dfrac{1}{\left(s + 500\right)}
- \cdot
\dfrac{\left(s + 250\right)}
{\left(s-\left(\dfrac{-8000}{9} + j3900\right)\right)\cdot
\left(s-\left(\dfrac{-8000}{9} - j3900\right)\right)}
@@ -448,21 +448,21 @@ de la transferencia en términos de las raíces, resulta como se muestra en
\end{align}
\fi
-Teniendo la transferencia como producto, resulta conveniente factorizar en en
-fracciones simples, de manera que se pueda aplicar el operador de Laplace a cada
-termino\footnote{Esto se conoce como teorema de Heaviside, sección 15.4,
-\cite{sadiku2015}}. La expansión en fracciones simples de la expresión a
-anti-transformar, resulta como se muestra en \ref{eq-l-f-simp}, con $k_{1, 2,
-3}$ números complejos constantes y $p_{1,2,3}$ los polos de la transferencia
-hallados previamente. Como $p_{2}$ y $p_{3}$ son complejos conjugados, entonces
-se cumple que el coeficiente $k_{3}$ es el conjugado de $k_{2}$, esto es, $k_{3}
-= k_{2}^{*}$.
+Teniendo la transferencia como producto, resulta conveniente factorizar en
+fracciones simples, de manera que se pueda aplicar termino a termino el operador
+inverso de Laplace, por la propiedad de linealidad\footnote{Esto se conoce como
+teorema de Heaviside, sección 15.4, \cite{sadiku2015}}. La expansión en
+fracciones simples de la expresión a anti-transformar, resulta como se muestra
+en \ref{eq-l-f-simp}, con $k_{1, 2, 3}$ números complejos constantes y
+$p_{1,2,3}$ los polos de la transferencia hallados previamente. Como $p_{2}$ y
+$p_{3}$ son complejos conjugados, entonces se cumple que el coeficiente $k_{3}$
+es el conjugado de $k_{2}$, esto es, $k_{3} = k_{2}^{*}$.
\begin{align}
h(t) = 192\cdot10^{6}\cdot \mathcal{L}^{-1}\left\{
- \dfrac{k_{1}}{\left(s + p_{1}\right)} +
- \dfrac{k_{2}}{\left(s + p_{2}\right)} +
- \dfrac{k_{3}}{\left(s + p_{3}\right)}
+ \dfrac{k_{1}}{\left(s - p_{1}\right)} +
+ \dfrac{k_{2}}{\left(s - p_{2}\right)} +
+ \dfrac{k_{3}}{\left(s - p_{3}\right)}
\right\}
\label{eq-l-f-simp}
\end{align}
@@ -472,9 +472,9 @@ Resulta conveniente denotar $F(s)$ a la funcion a antitransformar
\begin{align}
F(s) =
- \dfrac{k_{1}}{\left(s + p_{1}\right)} +
- \dfrac{k_{2}}{\left(s + p_{2}\right)} +
- \dfrac{k_{2}^{*}}{\left(s + p_{2}^{*}\right)}
+ \dfrac{k_{1}}{\left(s - p_{1}\right)} +
+ \dfrac{k_{2}}{\left(s - p_{2}\right)} +
+ \dfrac{k_{2}^{*}}{\left(s - p_{2}^{*}\right)}
\label{eq-f-f-simp}
\end{align}
@@ -494,9 +494,9 @@ polino
Para hallar los coeficientes $k_{1, 2}$ se utiliza el método de los residuos
teniendo en cuenta que son polos simples, para esto se toma el limite tendiendo
-al polo $p_{i}$ correspondiente al coeficiente $k_{i}$ de la función previamente
-expandida en fracciones simples, multiplicada por el termino que anula el
-denominador en ese polo, $(s-p_{i})$, como se muestra en \ref{eq-calculo-ki}
+al polo $p_{i}$ correspondiente al coeficiente $k_{i}$ de la función previa a
+expandirla en fracciones simples, multiplicada por el termino que anula el
+denominador en ese polo $(s-p_{i})$, como se muestra en \ref{eq-calculo-ki}
\begin{align}
k_{i} = \lim_{s\ \to\ p_{i}}\ (s-p_i)\cdot H(s)
@@ -506,7 +506,7 @@ denominador en ese polo, $(s-p_{i})$, como se muestra en \ref{eq-calculo-ki}
Para el primer coeficiente $k_{1}$ resulta como se muestra en
\ref{eq-calculo-k1}, y realizando el mismo procedimiento se obtiene $k_{2}$ como
se muestra en \ref{eq-calculo-k3}. Como sabíamos $k_{3}$ era el conjugado de
-$k_{2}$, por lo que resulta como se muestra en \ref{eq-calculo-k3}.
+$k_{2}$, por lo que es directo como se muestra en \ref{eq-calculo-k3}.
\begin{align}
k_{1} &= \lim_{s\to -500}\ (s + 500)
@@ -538,10 +538,10 @@ $k_{2}$, por lo que resulta como se muestra en \ref{eq-calculo-k3}.
\label{eq-calculo-k3}
\end{align}
-Teniendo los valores de $k_{1, 2, 3}$, en la ecuación \ref{eq-l-f-simp}
-aplicando el operador inverso de Laplace termino a termino, cada termino
-responde a expresiones tabuladas\footnote{Tabla 15.2, \cite{sadiku2015}}, lo
-que resulta como se ve en \ref{eq-l-t-f-simp}.
+Teniendo los valores de $k_{1, 2, 3}$, en la ecuación \ref{eq-l-f-simp} se puede
+aplicar el operador inverso de Laplace termino a termino, cada termino responde
+a expresiones tabuladas\footnote{Tabla 15.2, \cite{sadiku2015}}, lo que resulta
+como se ve en \ref{eq-l-t-f-simp}.
\begin{align}
h(t) = 192\cdot10^{6}\cdot \left(
@@ -552,6 +552,27 @@ que resulta como se ve en \ref{eq-l-t-f-simp}.
\label{eq-l-t-f-simp}
\end{align}
+En particular el segundo y tercer termino de \ref{eq-l-t-f-simp} se tienen
+coeficientes $k_{2,3}$ y polos $p_{2,3}$ complejos conjugados, por lo que estos
+dos terminos se pueden reespcribir como en \ref{eq-termino-comp-conj}.
+
+\begin{align}
+ k_{2} e^{-p_{2}t} + k_{2}^{*} e^{-p_{2}^{*}t}
+ \label{eq-termino-comp-conj}
+\end{align}
+
+\iffalse
+en particular para el
+primer termino es directo ya que responde a una expresion
+tabulada\footnote{Tabla 15.2, \cite{sadiku2015}}, lo que resulta como se ve en
+\ref{eq-l-t-f-simp}.
+
+\begin{align}
+ \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{k_{1}}{s p_{1}} \right\}
+ = \left( k_{1} e^{-p_{1}t} \right)\cdot u(t)
+ \label{eq-l-t-f-simp}
+\end{align}
+\fi
\hypertarget{respuestas-al-escalon}{%
\subsection{Respuestas al escalón}\label{respuestas-al-escalon}}
