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Author: Martin Kloeckner <mjkloeckner@gmail.com>
Date: Sun, 23 Nov 2025 01:56:49 -0300
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fontupper={\ttfamily\mystrut}}
-% \title{Síntesis de Filtro} % Titulo del trabajo.
-\title{Síntesis de Filtro} % Titulo del trabajo.
+\title{Síntesis de filtro} % Titulo del trabajo.
\author{Klöckner, Martin Javier}
\date{\today} % Fecha (automática)
@@ -187,8 +186,9 @@ transferencia dada.
Por definición, la transferencia $H(s)$ de un sistema, es el cociente entre la
entrada $X(s)$ y la salida $Y(s)$ del sistema, suponiendo que todas las
condiciones iniciales son nulas, específicamente en el dominio de
-Laplace\footnote{Sección 16.4 ``Funciones de transferencia'',
-\cite{sadiku2015}}.
+Laplace.\footnotemark[1]
+
+\footnotetext[1]{Sección 16.4 ``Funciones de transferencia'', \cite{sadiku2015}}
\begin{align}
H(s) = \dfrac{Y(s)}{X(s)}
@@ -197,9 +197,10 @@ Laplace\footnote{Sección 16.4 ``Funciones de transferencia'',
La transferencia sirve para determinar como reacciona el sistema a una
determinada entrada $X(s)$, es decir, permite obtener la salida $Y(s)$ para
-cualquier entrada\footnote{Sección 2.2 ``Sistemas LTI continuos: la integral
-de convolución'', \cite{oppenheim2009}}, esto porque se trabaja con sistemas
-lineales invariantes en el tiempo.
+cualquier entrada,\footnotemark[2] esto porque se trabaja con sistemas lineales invariantes en
+el tiempo.
+
+\footnotetext[2]{Sección 2.2 ``Sistemas LTI continuos: la integral de convolución'', \cite{oppenheim2009}}
\hypertarget{analisis-de-transferencia}{%
\section{Análisis de transferencia}\label{analisis-de-transferencia}}
@@ -281,46 +282,110 @@ Para el polinomio del numerador $N(s)$ se tiene un único cero real en $z_{1} =
real simple en $p_{1} = -500$ y un par de polos complejos conjugados $p_{2,3} =
-8000/9 \pm j3900$. Se puede observar que todos los polos y ceros tienen parte
real negativa, esto implica que el sistema asociado a la transferencia es
-estable\footnote{Este resultado se obtiene de la sección
-16.6.1 ``Estabilidad de una red'', \cite{sadiku2015}}.
+estable.\footnotemark[3]
+
+\footnotetext[3]{Este resultado se obtiene de la sección 16.6.1 ``Estabilidad de
+una red'', \cite{sadiku2015}}
\hypertarget{producto-de-transferencias-simples}{%
\subsection{Producto de transferencias más simples}\label{producto-de-transferencias-simples}}
La expresión de la transferencia de la ecuación \ref{eq-tran} se puede
reescribir como producto de transferencias más simples, además simplificando el
-termino que acompaña a los coeficientes de mayor grado resulta como se muestra
-en \ref{eq-tran-producto}.
+termino que acompaña a los coeficientes de mayor grado en los polinomios del
+numerador y denominador resulta como se muestra
+en la ecuación \ref{eq-tran-producto}.
\begin{align}
- H(s) = 6\cdot \dfrac{500}{\left(s + 500\right)} \cdot \dfrac{64000\cdot \left(s + 250\right)}
- {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
+ H(s) = 12\cdot \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)} \cdot
+ \dfrac{4000^{2}}{\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
\label{eq-tran-producto}
\end{align}
+% En la ecuación \ref{eq-tran-producto} se observa un producto de dos
+% transferencias más simples, las cuales corresponden a filtros pasa-bajos, en el
+% caso de la primer transferencia (de izquierda a derecha) a un pasa-bajos de
+% primer orden, mientras que la segunda a un pasa-bajos de segundo orden, esto
+% resulta de analizar el valor de las transferencias para frecuencias muy bajas y
+% muy altas, análogo a lo realizado previamente para la expresión completa de la
+% transferencia.
+
En la ecuación \ref{eq-tran-producto} se observa un producto de dos
-transferencias más simples, las cuales corresponden a filtros pasa-bajos, en el
-caso de la primer transferencia (de izquierda a derecha) a un pasa-bajos de
-primer orden, mientras que la segunda a un pasa-bajos de segundo orden, esto
-resulta de analizar el valor de las transferencias para frecuencias muy bajas y
-muy altas, análogo a lo realizado previamente para la expresión completa de la
-transferencia.
+transferencias más simples, las cuales Resulta conveniente llamar $H_{1}$ a la
+transferencia de primer orden y $H_{2}$ a la de segundo, de manera que $H(s)$
+sea el producto de $H_{1}$, $H_{2}$ y un factor de ganancia 12 como se muestra
+en la ecuación \ref{eq-tran-simp-producto}.
+
+\vspace{-1em}
+\begin{gather}
+H_{1}(s) = \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)} \qquad
+H_{2}(s) = \dfrac{4000^{2}}{\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
+\nonumber\\ \nonumber\\
+H(s) = 12\cdot H_{1}(s) \cdot H_{2}(s)
+\label{eq-tran-simp-producto}
+\end{gather}
+
+Analizando cada transferencia por separado y realizando un analisis análogo al
+realizado para la expresion de la transferencia completa, se observa que la
+transferencia $H_{1}(s)$ corresponde a un filtro pasa-altos de primer orden (el
+cual no atenúa por completo las frecuencias bajas) ya que evaluando $H_{1}(s)$
+para frecuencias muy bajas ($\omega\to 0$) la transferencia resulta 0.5 (o -6dB
+aproximadamente), es decir, atenua a la mitad las frecuencias muy bajas y no por
+completo como un pasa-altos convencional. Para frecuencias muy altas ($\omega\to
+\infty$) la transferencia resulta 1, no modifica las frecuencias altas. La
+frecuencia de corte se obtiene cuando el modulo de la transferencia resulta
+aproximadamente 0.707 o -3dB, igualando el modulo de la respuesta en frecuencia
+con $1/\sqrt{2}$, como se muestra en \ref{eq-tran-h1-frec-corte}, se obtiene una
+frecuencia de corte $\omega_{c}$ aproximada de 353.5 rad/s, esto es
+aproximadamente 56.3 Hz.
\begin{align}
- H_{1}(s) &= \dfrac{6\cdot 500}{\left(s + 500\right)} \label{eq-tran1-name}\\
- \nonumber\\
- H_{2}(s) &= \dfrac{64000\cdot \left(s + 250\right)}{\left(s^{2} +
- \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
- \label{eq-tran2-name}
+ \left|H_{1}(j\omega_{c})\right| &= \left|\dfrac{j\omega_{c} +
+ 250}{j\omega_{c} + 500}\right| = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Longrightarrow\boxed{\omega_{c} \approx 353.5\ rad/s}
+ \label{eq-tran-h1-frec-corte}
+\end{align}
+
+Para la transferencia $H_{2}(s)$ se tiene un filtro pasa-bajos de segundo orden,
+en este caso se tiene una expresión generalizada de las transferencia, la cual
+se encuentra en la ecuación \ref{eq-lpf-2-general}.\footnotemark[4]
+
+\footnotetext[4]{Se utiliza la Tabla 5.1 ``Standard Forms of Second-Order
+Responses'', \cite{schaumann2001}}
+
+
+\begin{align}
+ H(s) &= \dfrac{K\omega_{0}^{2}}{s^{2}+\dfrac{\omega_{0}}{Q}s + \omega_{0}^{2}}
+ \label{eq-lpf-2-general}
\end{align}
-Para analizar por separado las transferencias mas simples resulta conveniente
-llamar $H_{1}$ a la transferencia de primer orden y $H_{2}$ a la de segundo
-orden, como se muestra en \ref{eq-tran1-name} y \ref{eq-tran2-name}. Las
-expresiones generalizadas para la transferencia de un filtro pasa-bajos de
-primer y segundo orden son las que se muestran en \ref{eq-lpf-1-general} y
-\ref{eq-lpf-2-general}, respectivamente\footnote{Tomado de la sección 9.6
-``Filtro Pasa-bajas'', \cite{rashid2000}}.
+% esta caracterización se obtiene de analizar el valor de las transferencias
+% aisladas para frecuencias muy bajas y muy altas, análogo a lo realizado
+% previamente para la expresión completa de la transferencia, también sale de
+% comparar las expresiones de las transferencias con algunas transferencias
+% genéricas tabuladas para filtros de primer y segunda orden.\footnotemark[4]
+
+
+% \begin{align}
+% H(s) = 12\cdot H_{1}(s) \cdot H_{2}(s)
+% \label{eq-tran-producto}
+% \end{align}
+
+% \ref{eq-tran1-name} y \ref{eq-tran2-name}.
+
+% \begin{align}
+% H_{1}(s) = \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)} &
+% & H_{2}(s) = \dfrac{4000^{2}}{\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}\\
+% & H(s) = 12\cdot H_{1}(s) \cdot H_{2}(s) &
+% \label{eq-tran-simp-producto}
+% \end{align}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\iffalse
+Las expresiones generalizadas para la transferencia de un filtro de primer y
+segundo orden son las que se muestran en \ref{eq-lpf-1-general} y
+\ref{eq-lpf-2-general}, respectivamente.\footnotemark[5]
+
+\footnotetext[5]{Tomado de la sección 9.6 ``Filtro Pasa-bajas'', \cite{rashid2000}}
\begin{align}
H(s) &= \dfrac{K\omega_{0}}{s+\omega_{0}}
@@ -330,12 +395,17 @@ primer y segundo orden son las que se muestran en \ref{eq-lpf-1-general} y
\label{eq-lpf-2-general}
\end{align}
-Tomando la expresión de $H_{1}(s)$ de \ref{eq-tran1-name} y comparando con la
-expresión general del filtro pasa-bajos de primer orden de
-\ref{eq-lpf-1-general}, se tiene una ganancia $K=6$ y una frecuencia de corte
-$\omega_{0}=500$. De manera análoga tomando la expresión de $H_{2}(s)$ de
-\ref{eq-tran2-name} y comparando con \ref{eq-lpf-2-general}, en particular el
-polinomio en el denominador, resulta como se muestra en \ref{eq-termino-cuad}.
+Tomando la expresión de $H_{1}(s)$ y comparando con la expresión general del
+filtro pasa-bajos de primer orden de \ref{eq-lpf-1-general}, se tiene una
+ganancia $K=6$ y una frecuencia de corte $\omega_{0}=500$.
+\fi
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+% \footnotetext[5]{Tomado de la sección 9.6 ``Filtro Pasa-bajas'', \cite{rashid2000}}
+
+Tomando la expresión de $H_{2}(s)$ e igualando con la expresión general de
+\ref{eq-lpf-2-general}, en particular el polinomio en el denominador, resulta
+como se muestra en \ref{eq-termino-cuad}.
\begin{align}
s^{2}+\dfrac{\omega_{0}}{Q}s + \omega_{0}^{2} = s^{2} +
@@ -343,11 +413,10 @@ polinomio en el denominador, resulta como se muestra en \ref{eq-termino-cuad}.
\label{eq-termino-cuad}
\end{align}
-De \ref{eq-termino-cuad} igualando termino a termino resulta en una ganancia de
-$K=1$, una frecuencia natural $\omega_{0} = 4000$ y un factor de calidad
-$Q=9/4$. Este resultado del factor de calidad $Q$ era esperable ya que se sabe
-que tiene raíces complejas conjugadas, por lo que debía que ser mayor a $1/2$
-para que esto se cumpla.
+De \ref{eq-termino-cuad} igualando termino a termino resulta en una frecuencia
+natural $\omega_{0} = 4000$ y un factor de calidad $Q=9/4$. Este resultado del
+factor de calidad $Q$ era esperable ya que se sabe que tiene raíces complejas
+conjugadas, por lo que debía que ser mayor a 0.5 para que esto se cumpla.
\iffalse
el análisis es similar al realizado para la trasnfeya que es directo que a
@@ -386,10 +455,12 @@ Teniendo presente la forma cuadrática de un polinomio como se muestra en
Como se mencionó previamente, la transferencia de un sistema (LTI) permite
obtener la salida del sistema ante cualquier entrada, esto por la ecuación
\ref{eq-h-y-x}, despejando la salida $Y(s)$ resulta como en \ref{eq-y-h-x}, en
-la cual con $X(s)$ la transformada de Laplace de la delta
-$\mathcal{L}\{\delta\}$ que por tabla\footnote{Tabla 15.2, \cite{sadiku2015}}
-resulta $\mathcal{L}\{\delta\} = 1$, termina en la misma expresion en el dominio
-de laplace que la transferencia, como se muestra en \ref{eq-y-h-d}.
+la cual siendo $X(s)$ la transformada de Laplace de la delta
+$\mathcal{L}\{\delta\}$, que por tabla resulta $\mathcal{L}\{\delta\} =
+1$,\footnotemark[6] termina en la misma expresion en el dominio de Laplace que
+la transferencia, como se muestra en \ref{eq-y-h-d}.
+
+\footnotetext[6]{Tabla 15.2, \cite{sadiku2015}}
\begin{align}
Y(s) = H(s)\cdot X(s)
@@ -413,9 +484,9 @@ como se muestra en \ref{eq-l-1-h}.
\begin{align}
h(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{H(s)\right\}
= \mathcal{L}^{-1}\left\{
- \dfrac{60\cdot 500}{\left(s + 500\right)}
+ 12\cdot \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
\cdot
- \dfrac{6400\cdot \left(s + 250\right)}
+ \dfrac{4000^{2}}
{\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
\right\}
\label{eq-l-1-h}
@@ -428,7 +499,7 @@ de la transferencia en términos de las raíces, resulta como se muestra en
\ref{eq-l-1-h-den-fac}.
\begin{align}
- h(t) = 192\cdot 10^{6}\mathcal{L}^{-1}\left\{
+ h(t) = 12\cdot 4000^{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{
\dfrac{\left(s + 250\right)}
{\left(s - p_{1}\right)\cdot \left(s - p_{2} \right)
\cdot
@@ -438,7 +509,7 @@ de la transferencia en términos de las raíces, resulta como se muestra en
\iffalse
\begin{align}
- h(t) = 192\cdot 10^{6}\mathcal{L}^{-1}\left\{
+ h(t) = 12\cdot 4000^{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{
\dfrac{1}{\left(s + 500\right)}
\dfrac{\left(s + 250\right)}
{\left(s-\left(\dfrac{-8000}{9} + j3900\right)\right)\cdot
@@ -450,16 +521,18 @@ de la transferencia en términos de las raíces, resulta como se muestra en
Teniendo la transferencia como producto, resulta conveniente factorizar en
fracciones simples, de manera que se pueda aplicar termino a termino el operador
-inverso de Laplace, por la propiedad de linealidad\footnote{Esto se conoce como
-teorema de Heaviside, sección 15.4, \cite{sadiku2015}}. La expansión en
-fracciones simples de la expresión a anti-transformar, resulta como se muestra
-en \ref{eq-l-f-simp}, con $k_{1, 2, 3}$ números complejos constantes y
+inverso de Laplace, por la propiedad de linealidad.\footnotemark[7] La expansión
+en fracciones simples de la expresión a anti-transformar, resulta como se
+muestra en \ref{eq-l-f-simp}, con $k_{1, 2, 3}$ números complejos constantes y
$p_{1,2,3}$ los polos de la transferencia hallados previamente. Como $p_{2}$ y
$p_{3}$ son complejos conjugados, entonces se cumple que el coeficiente $k_{3}$
es el conjugado de $k_{2}$, esto es, $k_{3} = k_{2}^{*}$.
+\footnotetext[7]{Esto se conoce como teorema de Heaviside, sección 15.4,
+\cite{sadiku2015}}
+
\begin{align}
- h(t) = 192\cdot10^{6}\cdot \mathcal{L}^{-1}\left\{
+ h(t) = 12\cdot 4000^{2}\cdot \mathcal{L}^{-1}\left\{
\dfrac{k_{1}}{\left(s - p_{1}\right)} +
\dfrac{k_{2}}{\left(s - p_{2}\right)} +
\dfrac{k_{3}}{\left(s - p_{3}\right)}
@@ -512,9 +585,9 @@ $k_{2}$, por lo que el resultado es directo como se muestra en
\begin{align}
k_{1} &= \lim_{s\to -500}\ (s + 500)
\cdot
- \dfrac{1}{\left(s + 500\right)}
+ \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
\cdot
- \dfrac{\left(s + 250\right)}
+ \dfrac{1}
{\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}\nonumber\\
\nonumber\\
&\boxed{k_{1} \approx 16.3\cdot 10 ^{-6}}
@@ -535,17 +608,19 @@ $k_{2}$, por lo que el resultado es directo como se muestra en
\begin{align}
- k_{3} = k_{2}^{*} \Rightarrow \boxed{k_{3}\approx -495 - j7849}
+ k_{3} = k_{2}^{*} \Longrightarrow \boxed{k_{3}\approx -495 - j7849}
\label{eq-calculo-k3}
\end{align}
Teniendo los valores de $k_{1, 2, 3}$, en la ecuación \ref{eq-l-f-simp} se puede
aplicar el operador inverso de Laplace termino a termino, cada termino responde
-a expresiones tabuladas\footnote{Tabla 15.2, \cite{sadiku2015}}, lo que resulta
-como se ve en \ref{eq-l-t-f-simp}.
+a expresiones tabuladas,\footnotemark[8] lo que resulta como se ve en
+\ref{eq-l-t-f-simp}.
+
+\footnotetext[8]{Tabla 15.2, \cite{sadiku2015}}
\begin{align}
- h(t) = 192\cdot10^{6}\cdot \left(
+ h(t) = 12\cdot4000^{2}\cdot \left(
k_{1} e^{-p_{1}t} +
k_{2} e^{-p_{2}t} +
k_{3} e^{-p_{3}t}
@@ -553,20 +628,86 @@ como se ve en \ref{eq-l-t-f-simp}.
\label{eq-l-t-f-simp}
\end{align}
-En particular el segundo y tercer termino de \ref{eq-l-t-f-simp} se tienen
-coeficientes $k_{2,3}$ y polos $p_{2,3}$ complejos conjugados, por lo que estos
-dos terminos se pueden reespcribir como en \ref{eq-termino-comp-conj}.
+En particular en el segundo y tercer termino de \ref{eq-l-t-f-simp} los
+coeficientes $k_{2,3}$ y sus polos $p_{2,3}$ son complejos conjugados, aplicando
+la identidad de Euler y operando se llega al resultado siguiente que se muestra
+en \ref{eq-comp-conj-comb}.
\begin{align}
- k_{2} e^{-p_{2}t} + k_{2}^{*} e^{-p_{2}^{*}t}
- \label{eq-termino-comp-conj}
+ \text{Sea} \; \alpha = \left|\text{Re}\left\{ p_{2} \right\}\right|
+ ,& \, \;
+ \beta = \left|\text{Im}\left\{ p_{2} \right\}\right|
+ , \, \;
+ \lambda = \left|\text{Im}\left\{ k_{2} \right\}\right|
+ , \, \;
+ \gamma = \left|\text{Im}\left\{ k_{2} \right\}\right|\nonumber\\[8pt]
+ k_{2} e^{-p_{2}t} + k_{2}^{*}& e^{-p_{2}^{*}t} =
+ 2e^{-\alpha t}\cdot \left[
+ \lambda\ cos\left( \beta t\right) +
+ \gamma\ sin\left( \beta t\right)
+ \right]
+ \label{eq-comp-conj-comb}
\end{align}
+Y aplicando propiedades trignometricas en \ref{eq-comp-conj-comb}, en particular
+la igualdad entre la suma de las funciones seno y coseno con fase nula, con una
+función coseno con fase no nula, resulta como se muestra en
+\ref{eq-comp-conj-comb}, luego reemplazando con los valores de $k_{2}$ y
+$p_{2}$ resulta como en \ref{eq-comp-conj-comb-valores}.
+
+\vspace{-1em}
+\begin{align}
+ \text{Sien}&\text{do} \; \alpha = \left|\text{Re}\left\{ p_{2} \right\}\right|
+ , \, \;
+ \beta = \left|\text{Im}\left\{ p_{2} \right\}\right|
+ , \, \;
+ \lambda = \left|\text{Im}\left\{ k_{2} \right\}\right|
+ , \, \;
+ \gamma = \left|\text{Im}\left\{ k_{2} \right\}\right|\nonumber\\[8pt]
+ &k_{2} e^{-p_{2}t} + k_{2}^{*} e^{-p_{2}^{*}t} =
+ 2\left|k_{2}\right| e^{-\alpha t}\cdot \left[
+ \lambda\ cos\left(\beta t + arg\left\{k_{2}\right\}\right)
+ \right]
+ \label{eq-comp-conj-comb}\\[8pt]
+ \Longrightarrow\ &\boxed{k_{2} e^{-p_{2}t} + k_{2}^{*} e^{-p_{2}^{*}t} =
+ 15730\ e^{-889 t}\cdot \left[
+ 7849\ cos\left(3900 t + 1.63\right)
+ \right]}
+ \label{eq-comp-conj-comb-valores}
+\end{align}
+
+Combinando los resultados de \ref{eq-calculo-k1} y
+\ref{eq-comp-conj-comb-valores} en \ref{eq-l-t-f-simp} se obtiene finalmente la
+respuesta al impulso en el dominio de tiempo $h(t)$ como se muestra en
+\ref{eq-h-impulso-final}.
+
+\begin{align}
+ h&(t) \approx 12\cdot4000^{2}\cdot
+ \nonumber\\
+ &\left(16.3\cdot10^{-6} e^{-500\cdot t} +
+ 123\cdot10^{6}\ e^{-889 t}\cdot \left[cos\left(3900 t + 1.63\right)\right]
+ \right)\cdot u(t)
+ \label{eq-h-impulso-final}
+\end{align}
+
+
\iffalse
+2\cdot e^{-\text{Re} \left\{ k_{2} \right\} t }\cdot
+\left[ \left|Re\left\{k_{2}\right\}\right|
+cos\left(\left|Im\left\{k_{2}\right\}\right|\right)\right] +
+\left[ \left|Im\left\{k_{2}\right\}\right|
+cos\left(\left|Im\left\{k_{2}\right\}\right|\right)\right]
+\label{eq-termino-comp-conj}
+
+\begin{align}
+ \left|k_{2}\right|e^{\left(-p_{2} t\right)} + k_{2}^{*} e^{-p_{2}^{*}t}
+ \label{eq-termino-comp-conj}
+\end{align}
+
en particular para el
primer termino es directo ya que responde a una expresion
-tabulada\footnote{Tabla 15.2, \cite{sadiku2015}}, lo que resulta como se ve en
-\ref{eq-l-t-f-simp}.
+tabulada.\footnote{Tabla 15.2, \cite{sadiku2015}}, lo que resulta como se ve en
+\ref{eq-l-t-f-simp}
\begin{align}
\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{k_{1}}{s p_{1}} \right\}
@@ -575,9 +716,39 @@ tabulada\footnote{Tabla 15.2, \cite{sadiku2015}}, lo que resulta como se ve en
\end{align}
\fi
+\pagebreak
\hypertarget{respuestas-al-escalon}{%
\subsection{Respuestas al escalón}\label{respuestas-al-escalon}}
+El procedimiento para calcular la respuesta al escalon es analogo al realizado
+para calcular la respuesta al impulso, utilizando la ecuación \ref{eq-y-h-x} con
+$X(s)$ la transformada de Laplace de la entrada, en este caso, la tranformada de
+Laplace de la funcion de Heaviside o escalón, esto es
+$X(s) = \mathcal{L}\left\{u(t)\right\}$, que por tabla\footnotemark[8]
+resulta $\mathcal{L}\left\{u(t)\right\} = 1/s$. La expresion de la transforma
+inversa de Laplace de la respuesta al escalón resulta como se muestra en
+\ref{eq-l-1-U}.
+
+\begin{align}
+ h(t) &= \mathcal{L}^{-1}\left\{H(s)\cdot\dfrac{1}{s}\right\}
+ = \mathcal{L}^{-1}\left\{
+ 12\cdot \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
+ \cdot
+ \dfrac{4000^{2}}
+ {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
+ \cdot\dfrac{1}{s}
+ \right\}\\[8pt]
+ &= 12\cdot 4000^{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{
+ \dfrac{\left(s + 250\right)}{\left(s + 500\right)}
+ \cdot
+ \dfrac{1}
+ {\left(s^{2} + \dfrac{4000^{2}}{9000}s + 4000^{2}\right)}
+ \cdot\dfrac{1}{s}
+ \right\}
+ \label{eq-l-1-U}
+\end{align}
+
+
\hypertarget{respuestas-a-señal-senoidal}{%
\subsection{Respuestas a señal senoidal}\label{respuestas-a-señal-senoidal}}
