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Author: Martin Kloeckner <mjkloeckner@gmail.com>
Date: Wed, 26 Nov 2025 17:46:20 -0300
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Diffstat:
| M | tp/main.tex | | | 975 | +++++++------------------------------------------------------------------------ |
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| A | tp/segunda_parte.tex | | | 482 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ |
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5 files changed, 995 insertions(+), 891 deletions(-)
diff --git a/tp/main.tex b/tp/main.tex
@@ -1,929 +1,122 @@
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-\title{Análisis de Señales} % Titulo del trabajo.
-\author{Klöckner, Lema Roveta, Dei Castelli}
-\newcommand{\padron}{123456, 123456} % Padrón
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-\begin{document}
-\begin{titlepage}
- \vspace*{-2.5cm}
- {\centering
- \includegraphics[width=1.00\textwidth]{img/logofiuba.png}\\[2.25 cm]}
- \centering
- \textsc{\Large TB065}\\[0.2 cm]
- \textsc{\large Señales y Sistemas}\\[4 cm]
- \textcolor{cyan}{{\fontsize{40}{60}\selectfont \bfseries \thetitle}}\\[0.5cm]
- {\Large \bfseries Trabajo Práctico Especial}\\[5cm]
-
- \vfill
- \noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\textwidth}{0.4pt}}\\[0.5cm]
- \begin{minipage}{.50\textwidth}
- \textbf{Integrante}\\
- Martin Klöckner \\ Mateo Lema Roveta \\ Ernesto Dei Castelli
- \end{minipage}%
- \begin{minipage}{.25\textwidth}
- \textbf{Legajo}\\
- 123456 \\
- 123456 \\
- 123456
- \end{minipage}%
- \begin{minipage}{.25\textwidth}
- \begin{flushright}
- \textbf{Correo electrónico}\\
- \href{mailto:mklockner@fi.uba.ar}{mklockner@fi.uba.ar} \\
- \href{mailto:mlema@fi.uba.ar}{mlema@fi.uba.ar} \\
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-\end{titlepage}
-
-\setcounter{tocdepth}{2}
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-\tableofcontents
-\listoffigures
-\pagebreak
-
-\section{Introducción}
-
-En el presente trabajo se realiza un análisis en el dominio temporal de en
-principio dos señales musicales de muestra, en las cuales se buscan porciones
-cuasi-periódicas y no periódicas, y luego se filtran utilizando dos filtros
-diferentes. Por último, se generan mediante simulación de tres instrumentos
-musicales diferentes, tres señales, las cuales se analizan y comparan las formas
-de onda generadas.
-
-\hypertarget{dominio-temporal}{%
-\section{Dominio temporal}\label{dominio-temporal}}
-
-\hypertarget{primer-muestra}{%
-\subsection{Primer muestra}\label{primer-muestra}}
-
-Para la primer muestra (archivo cancion1.wav) se realiza el
-gráfico de la misma en el dominio temporal, el resultado se muestra en
-la figura 1.
-
-La frecuencia de muestreo de la misma es 44100 Hz, esto se obtiene del
-mismo script utilizado para graficar el archivo, en el cual se divide la
-cantidad de muestras por la duración del archivo.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion1.png}
-\caption{Gráfico de archivo `cancion1.wav'}
-\label{cancion1}
-\end{figure}
-
-\hypertarget{secciones-cuasi-periuxf3dicas}{%
-\subsubsection{Secciones
-cuasi-periódicas}\label{secciones-cuasi-periodicas}}
-
-Cuando la señal tiene una estructura repetitiva, pero con variaciones en
-amplitud, fase o frecuencia se dice que la señal es cuasi-periódica.
-
-Realizando un análisis visual en detalle de la muestra se buscan partes
-donde se comporte como tal, dos ejemplos se dan en las figuras 2 y 3. En
-la primera se gráfica el intervalo \(0.248\) s a \(0.256\) s, mientras
-que en la segunda se gráfica el intervalo \(0.520\) s a \(0.528\) s.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion1_0_248s_a_0_256s.png}
-\caption{Sección cuasi-periódica archivo `cancion1.wav'}
-\label{cancion1_seccion_cuasi_periodica}
-\end{figure}
-
-Dentro de los intervalos cuasi-periódicos graficados, se pueden detectar
-visualmente los períodos fundamentales, los cuales se ven resaltados en
-color celeste claro.
-
-Curiosamente en ambos casos el período es igual y resulta \(T=0.003\) s,
-lo cual corresponde con una frecuencia de aproximadamente \(333\) Hz.
-Comparando con notas musicales de tabla esto se asemeja a una nota
-\emph{E4}, la cual tiene una frecuencia de \(329.228\) Hz. Siendo que el
-período se relaciona de manera inversa con la frecuencia y esta de
-manera directa con la nota musical, se puede asegurar que al disminuir
-este período la frecuencia aumentará y la nota musical será mas aguda,
-mientras que en el caso contrario si aumenta el período la frecuencia
-disminuye y también la nota musical.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion1_0_520s_a_0_528s.png}
-\caption{Otra sección cuasi-periódica archivo `cancion1.wav'}
-\label{cancion1_seccion_cuasi_periodica2}
-\end{figure}
-
-\hypertarget{segunda-muestra}{%
-\subsection{Segunda muestra}\label{segunda-muestra}}
-
-Utilizando el mismo script de python utilizado para la primer muestra
-(archivo cancion1.wav) se gráfica la señal de la segunda
-muestra (correspondiente al archivo cancion2.wav) en el dominio
-temporal, en este caso se gráfica a partir del segundo 6 ya que antes de
-esto la señal tiene amplitud nula, con lo cual no aporta información
-significativa, el gráfico resultante se muestra en la figura 4.
-
-La frecuencia fundamental de esta segunda muestra resulta \(48000\) Hz,
-esto también se obtiene del script de python.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion2.png}
-\caption{Gráfico de archivo `cancion2.wav'}
-\label{cancion2}
-\end{figure}
-
-\hypertarget{secciones-no-periodicas}{%
-\subsubsection{Secciones no-periódicas}\label{secciones-no-periodicas}}
-
-A diferencia del análisis realizado sobre la primer muestra en busca de
-secciones cuasi-periódicas, para esta segunda muestra se buscan
-secciones no periódicas, esto es, secciones donde la señal no tiene un
-patron repetitivo marcado. Se toman dos intervalos en los cuales la
-señal de muestra se comporta como tal, el intervalo de \(14.72\) s a
-\(14.73\) s y el intervalo \(26.57\) s a \(26.58\) s, ambos intervalos
-se muestran graficados en las figura 5 y 6 respectivamente.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion2_14_72s_a_14_73s.png}
-\caption{Sección no periódica archivo `cancion2.wav'}
-\label{cancion2_seccion_no_periodica}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion2_26_57s_a_26_58s.png}
-\caption{Otra sección no periódica archivo `cancion2.wav'}
-\label{cancion2_seccion_no_periodica2}
-\end{figure}
-
-Dado que las secciones son no periódicas, no se puede hablar de una
-frecuencia fundamental como si se podía en las secciones
-cuasi-periódicas en la primer muestra.
-
-
-
-
-
-\hypertarget{filtrado}{%
-\subsection{Filtrado}\label{filtrado}}
-
-Para obtener la salida de la señal luego de pasarla por un filtro
-(respuesta al impulso del primer filtro correspondiente al archivo
-respuesta\_impulso\_1.txt y del segundo filtro correspondiente
-al archivo respuesta\_impulso\_2.txt) es necesario realizar una
-convolución entre la señal de entrada y la respuesta al impulso del
-filtro, esto suponiendo que el filtro es un sistema LTI (si no lo fuera
-no se podría calcular la salida solo teniendo la respuesta al impulso).
-
-La salida del filtro 1 al aplicar la primer muestra se puede ver en la
-figura \ref{cancion1_filter1_output_compare}, en este gráfico de la señal completa se observa que atenúa partes de la señal y
-amplifica otras, en particular amplifica principalmente antes del
-segundo \(6\) y atenúa drásticamente luego. En mayor detalle como se observa en la figura \ref{cancion1_filter1_output_compare_0_248_a_0_256} para el intervalo entre 0.248 y 0.256 segundos, se ve como actúa sobre la señal amplificando partes de la misma.
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion1_filter1_output_compare.png}
-\caption{Primer muestra salida de filtro 1}
-\label{cancion1_filter1_output_compare}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion1_filter1_output_compare_0_248_a_0_256.png}
-\caption{Primer muestra salida de filtro 1 intervalo 0.248 a 0.256s}
-\label{cancion1_filter1_output_compare_0_248_a_0_256}
-\end{figure}
-
-Aplicando el segundo filtro a la primer muestra resulta como se muestra
-en el gráfico de figura \ref{cancion1_filter2_output_compare}.
-En esta figura de la señal completa Se puede ver que esta a diferencia del filtro 1, no atenúa o amplifica significativamente partes de la señal, si no
-que realiza una leve atenuación de toda la señal. Analizando en detalle como se ve en la figura \ref{cancion1_filter2_output_compare_0_248_a_0_256} se puede ver el suavizado que realiza este filtro sobre la señal, esto sugiere que el filtro 2 es del tipo pasa bajos, ya que atenúa la frecuencias altas componentes en la señal original, haciendo que la señal resultante no tenga cambios abruptos.
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion1_filter2_output_compare.png}
-\caption{Primer muestra salida de filtro 2}
-\label{cancion1_filter2_output_compare}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion1_filter2_output_compare_0_248_a_0_256.png}
-\caption{Primer muestra salida de filtro 2 intervalo 0.248 a 0.256s}
-\label{cancion1_filter2_output_compare_0_248_a_0_256}
-\end{figure}
-
-De manera análoga para la segunda muestra se aplican los filtros mediante la
-convolución entre la señal y la respuesta al impulso del respectivo filtro.
-
-La salida de la segunda muestra al aplicar el primer filtro se puede ver en la
-figura \ref{cancion2_filter1_output_compare} en la cual se gráfica la señal
-completa y se aprecia como se atenúa la mayor parte, principalmente en la
-primera mitad (antes del segundo 18.5 aproximadamente) y en menor medida en
-la mitad restante, aunque en partes de la segunda mitad se atenúa drásticamente
-de todas formas, como por ejemplo en el segundo 29 en el que se atenúa
-aproximadamente un 70\% de la señal.
-
-En la figura \ref{cancion2_6s_filter1_output_compare_26_57_a_26_58} se analiza
-en mayor detalle la señal, en este caso el intervalo entre 26.57 y 26.58
-segundos, en esta figura se observa como amplifica partes de la señal, en
-particular, se observa que amplifica los picos en donde la señal tiene cambios
-abruptos, es decir, donde la señal se compone de frecuencias altas, esto sugiere
-que el primer filtro es del tipo pasa altos, es decir atenúa las frecuencias
-bajas.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion2_6s_filter1_output_compare.png}
-\caption{Segunda muestra salida de filtro 1}
-\label{cancion2_filter1_output_compare}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion2_6s_filter1_output_compare_26_57_a_26_58.png}
-\caption{Segunda muestra salida de filtro 1 intervalo 26.57 a 26.58s}
-\label{cancion2_6s_filter1_output_compare_26_57_a_26_58}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion2_6s_filter2_output_compare.png}
-\caption{Segunda muestra salida de filtro 2}
-\label{cancion2_filter2_output_compare}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion2_6s_filter2_output_compare_26_57_a_26_58.png}
-\caption{Seguida muestra salida de filtro 2 intervalo 26.57 a 26.58s}
-\label{cancion2_6s_filter2_output_compare_26_57_a_26_58}
-\end{figure}
-
-
-En las figura \ref{cancion2_filter2_output_compare} se muestra la señal completa
-de la salida luego de aplicar el segundo filtro a la segunda muestra, de esta
-figura no se pueden sacar grandes conclusiones mas que una leve atenuación de
-toda la señal. Analizando en mayor detalle, por ejemplo el intervalo de 26.57 a
-26.58 segundos, como se muestra en la figura
-\ref{cancion2_6s_filter2_output_compare_26_57_a_26_58} se observa algo similar a
-lo observado para la primer muestra luego de aplicar este filtro y es el
-suavizado que realiza.
-
-En todos los casos, tanto para la primer muestra como para la segunda y
-tanto para el primer filtro como el segundo, escuchando la respectiva
-salida se confirma lo analizado desde el punto de vista del gráfico de
-la señal, pero ademas se aprecia que el primer filtro realiza una
-atenuación de las frecuencias mas altas (sonidos agudos) mientras que el
-segundo disminuye las frecuencias bajas (o sonidos graves) esto ultimo
-no se aprecia en el gráfico de la señal, ya que parece no tener efecto
-mas que une leve atenuación.
-
-\hypertarget{sonido-de-diferentes-instrumentos}{%
-\subsection{Sonido de diferentes
-instrumentos}\label{sonido-de-diferentes-instrumentos}}
-
-Se generaron tres muestras diferentes a las ya utilizadas, correspondientes con
-la nota \emph{A4} (La4, \(440\) Hz) mediante la simulación de tres instrumentos
-musicales distintos: un clarinete, una flauta y un violín. Las señales generadas
-corresponden con los archivos a4\_clarinete.wav, a4\_flauta.wav y a4\_violin.wav
-y los gráficos de cada señal se muestran en las figuras \ref{a4_clarinete_cutoff_time_comparison}, \ref{a4_clarinete_cutoff_time_comparison} y \ref{a4_violin_cutoff_time_comparison}
-respectivamente.
-
-Si bien todos los sonidos tienen la misma frecuencia, ya que es la misma
-nota musical, el sonido escuchado percibido es diferente, esto puede ser
-producto de la forma de onda generada por cada instrumento, lo cual
-queda clara la diferencia en los respectivos gráficos.
-
-Cada sonido percibido tiene características diferentes, el mas apagado o
-neutro es el producido por la flauta, mientras que el mas agudo o
-``afilado'' es el producido por el violín, el sonido del clarinete es un
-intermedio entre ambos, un sonido ni muy agudo ni muy grave o apagado, y
-con cierto carácter metálico.
-
-Para el caso del clarinete, cuya señal se puede ver en la figura \ref{a4_clarinete_cutoff_time_comparison}, se puede ver que la onda se parece a una onda cuadrada. En el dominio de frecuencia, las ondas cuadradas ideales se componen de armónicos impares.
-
-%\begin{figure}
-%\centering
-%\includegraphics{plot/a4_clarinete.png}
-%\caption{Sonido de clarinete}
-%\label{a4_clarinete}
-%\end{figure}
-
-Para la señal producida por la flauta que se puede ver en la figura \ref{a4_clarinete_cutoff_time_comparison},
-se puede ver que se asemeja a una señal senoidal pura, aunque no tan
-simétrica en los picos, las ondas sinodales en el dominio de frecuencia
-tienen un único armónico, y es el fundamental, es por esto que el sonido
-es mas neutro y no tan ``brillante'' o agudo dado que la frecuencia es
-la misma en todos los casos.
-
-%\begin{figure}
-%\centering
-%\includegraphics{plot/a4_flauta.png}
-%\caption{Sonido de flauta}
-%\label{a4_flauta}
-%\end{figure}
-
-Por ultimo para la señal producida por el violín, la cual se puede ver
-en la figura \ref{a4_violin_cutoff_time_comparison}, se asemeja a una onda triangular con pendiente
-decreciente, estas ondas triangulares en el dominio de frecuencia
-también tienen armónicos impares como la onda cuadrada, pero estos
-armónicos tienen mayor amplitud, es por esto que si bien tienen un
-sonido similar, el sonido del violín es mas agudo.
-
-%\begin{figure}[H]
-%\centering
-%\includegraphics{plot/a4_violin.png}
-%\caption{Sonido de violín}
-%\label{a4_violin}
-%\end{figure}
-
-
-
-
-
-
-
-
\pagebreak
-\hypertarget{Dominio-de-frecuencia}{%
-\section{Dominio de frecuencia}\label{dominio-de-frecuencia}}
-
-En esta sección se analizan las mismas señales de audio que en la
-sección anterior, correspondientes a los archivos cancion1.wav y cancion2.wav, pero en el dominio de la frecuencia. Para esto se calcula la
-transformada discreta de fourier (DFT) de las mismas mediante un script de
-Python (que internamente utiliza el algoritmo FFT). El resultado se muestra en
-los figuras \ref{cancion1_fft} y \ref{cancion2_fft} para la señal de audio de
-las canciones 1 y 2 respectivamente.
-
-Se puede ver en la figura \ref{cancion1_fft} correspondiente a la primer canción
-picos angostos en frecuencias determinadas, en cambio para la segunda canción en
-la figura \ref{cancion2_fft}, se puede ver que la energía se distribuye en mas
-frecuencias ya que los picos no están tan definidos. Esto puede deberse a que en
-la primer canción se hallaban porciones periódicas de la señal en el dominio
-temporal mientras que para la segunda canción había mayor presencia de señales
-no periódicas.
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion1_fft.png}
-\caption{Espectro de `cancion1.wav'}
-\label{cancion1_fft}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion2_fft.png}
-\caption{Espectro de `cancion2.wav'}
-\label{cancion2_fft}
-\end{figure}
+\hypertarget{caso-practico}{%
+\section{Caso práctico: Identificador de canción}\label{dominio-de-frecuencia}}
-\hypertarget{filtrado}{%
-\subsection{Filtrado en frecuencia}\label{filtrado}}
-
-A continuación se utilizaron las señales filtradas obtenidas en la primera parte para las muestras de los archivos `cancion1.wav' y `cancion2.wav' y se graficaron sus espectros en frecuencia, como se puede observar en las figuras \ref{cancion1_filter1_output_fft}, \ref{cancion1_filter2_output_fft}, \ref{cancion2_filter1_output_fft} y \ref{cancion2_filter2_output_fft}. Los gráficos \ref{filter1_h_fft} y \ref{filter2_h_fft} corresponden a las transformadas de Fourier de los filtros utilizados anteriormente.
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/filter1_h_fft.png}
-\caption{Transformada de Fourier del primer filtro}
-\label{filter1_h_fft}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/filter2_h_fft.png}
-\caption{Transformada de Fourier del segundo filtro}
-\label{filter2_h_fft}
-\end{figure}
-
-Como era de esperarse y como se anticipó en la primera parte, el primer filtro corresponde a un filtro pasa altos mientras que el segundo es un filtro pasa bajos. En el caso del primero deja pasar por completo las frecuencias mayores a 800Hz aproximadamente y atenúa en mayor o menor medida las frecuencias restantes, mientras que el segundo deja pasar las frecuencias menores a 4600Hz aproximadamente, atenúa por completo las frecuencias mayores a 5600Hz aproximadamente y atenúa en mayor o menor medida las que están en el medio.
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion1_filter1_output_fft.png}
-\caption{Espectro de `cancion1.wav' con filtro 1 aplicado}
-\label{cancion1_filter1_output_fft}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion1_filter2_output_fft.png}
-\caption{Espectro de `cancion1.wav' con filtro 2 aplicado}
-\label{cancion1_filter2_output_fft}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion2_filter1_output_fft.png}
-\caption{Espectro de `cancion2.wav' con filtro 1 aplicado}
-\label{cancion2_filter1_output_fft}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion2_filter2_output_fft.png}
-\caption{Espectro de `cancion2.wav' con filtro 2 aplicado}
-\label{cancion2_filter2_output_fft}
-\end{figure}
+En esta parte del trabajo se verá un caso practico de todas las herramientas analizadas en
+secciones previas. El objetivo es implementar una herramienta que analice un sonido
+musical, particularmente una canción en formato digital, e identifique la
+canción basándose en una lista de canciones analizadas previamente.
-Una de las formas de verificar si el sistema es LTI es con la siguiente relación:
+\hypertarget{reduccion-de-frecuencia}{%
+\subsection{Reducción de frecuencia}\label{reduccion-de-frecuencia}}
-\[
-y(t) = (h * x)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\, x(t - \tau)\, d\tau
-\]
+El pre-procesamiento de la señal de audio en formato digital consiste en pasarla a
+canal mono (en caso de que esté en estéreo) y luego sub-muestrearlo, debido a que la
+información útil para la extracción de características se encuentra en bajas
+frecuencias. En general, el audio está muestreado a 44100 Hz, pero para el
+algoritmo a utilizar basta con tenerlo muestreado a 1/8 de su frecuencia
+original, es decir $5512.5$Hz. Esto permite trabajar con menos muestras,
+aliviando la carga computacional.
-ya que la salida $y(t)$ está dada por la convolución entre la señal de entrada $x(t)$ y la respuesta al impulso del sistema $h(t)$, al aplicar la transformada de Fourier a ambos lados de la ecuación, y utilizando la propiedad de que la convolución en el dominio del tiempo se convierte en una multiplicación en el dominio de la frecuencia, se obtiene:
+Para reducir la frecuencia de muestreo de la señal discreta de $44100$Hz a $5512.5$Hz se utiliza un decimador que tome muestras de la señal a intervalos regulares de 8 puntos, de esta forma la señal sub-muestreada $x_{d}$ resulta como en la ecuación \ref{eq-señal-submuestreada}.
-\[
-Y(\omega) = H(\omega) \cdot X(\omega)
-\]
+\begin{align}
+ x_{d}(n) = x(n\cdot N);\quad N\in \mathbb{Z}
+ \label{eq-señal-submuestreada}
+\end{align}
-donde $X(\omega)$, $Y(\omega)$ y $H(\omega)$ son las transformadas de Fourier de $x(t)$, $y(t)$ y $h(t)$, respectivamente. Por lo tanto, si existe una función $H(\omega)$ tal que para una señal arbitraria $x(t)$ se cumple:
+El diagrama debloques del sistema a utilizar se compone de un filtro pasa-bajos y luego un muestreador o compresor de la señal en dominio temporal como se muestra en la figura \ref{fig-diagrama-de-bloques-decimador}, en la cual $x(n)$ representa la señal de entrada y $x_{d}(n)$ la señal decimada. El filtro pasa-bajos se utiliza para evitar aliasing si la señal de entrada $x_{n}$ no permite decimación en $8$ veces, es decir, tiene ancho de banda mayor a $2\pi/8$ o en frecuencia siendo $5512.5$Hz
-\[
-Y(\omega) = H(\omega)\, X(\omega),
-\]
-
-entonces el sistema puede describirse completamente mediante su respuesta al impulso $h(t)$, y se concluye que es un sistema \textbf{lineal e invariante en el tiempo (LTI)}.
-
-En cambio, si la relación entre $X(\omega)$ e $Y(\omega)$ no puede expresarse como una multiplicación por una función fija $H(\omega)$, esto indica que el sistema no es LTI, ya sea porque es no lineal o porque su comportamiento varía en el tiempo.
-
-Por lo tanto, de forma manual se tomaron valores a una determinada frecuencia para ver si cumplen con esta relación.
-
-
-\hypertarget{espectogramas}{%
-\subsection{Espectrogramas}\label{espectogramas}}
-
-Un espectrograma es una representación de la transformada de Fourier en el tiempo, esto es una representación en tres dimensiones, pero en un plano con colores, en el eje X se representa el tiempo, en el eje Y se representa la frecuencia y el que seria el eje Z, saliente de la pantalla, en este caso representado por el color del pixel, se representa la magnitud del armónico.
-
-Se tomaran diferentes longitudes de ventana, esto es la cantidad de muestras temporales que se toman de la señal para computar la DFT, un mayor numero implica mayor resolución en frecuencia pero menor resolución temporal, esto se manifiesta en el espectrograma por lineas o puntos bien definidos en el eje Y, pero difusos en las transiciones en el eje X, por el contrario un menor numero de puntos implica mayor resolución temporal pero menor resolución en frecuencia, esto es lineas o puntos cortantes en las transiciones en el eje X pero difusas en el eje Y.
-
-\hypertarget{espectograma-ventana-rectangular}{%
-\subsubsection{Espectrograma con ventana rectangular}\label{espectograma-ventana-rectangular}}
-
-En las figuras \ref{cancion1_espectograma_boxcar_0512}, \ref{cancion1_espectograma_boxcar_1024} y \ref{cancion1_espectograma_boxcar_2048} se gráfica el espectrograma de la primer canción, utilizando una ventana rectangular en todos los casos, tomando 512, 1024 y 2048 puntos respectivamente.
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion1_espectograma_boxcar_0512.png}
-\caption{Espectrograma primer muestra de ventana rectangular de 512 puntos}
-\label{cancion1_espectograma_boxcar_0512}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion1_espectograma_boxcar_1024.png}
-\caption{Espectrograma primer muestra de ventana rectangular de 1024 puntos}
-\label{cancion1_espectograma_boxcar_1024}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion1_espectograma_boxcar_2048.png}
-\caption{Espectrograma primer muestra de ventana rectangular de 2048 puntos}
-\label{cancion1_espectograma_boxcar_2048}
-\end{figure}
-
-De manera análoga, en las figuras \ref{cancion2_espectograma_boxcar_0512}, \ref{cancion2_espectograma_boxcar_1024} y \ref{cancion2_espectograma_boxcar_2048} se gráfica el espectrograma de la segunda canción, utilizando una ventana rectangular en todos los casos, tomando 512, 1024 y 2048 puntos respectivamente.
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion2_espectograma_boxcar_0512.png}
-\caption{Espectrograma segunda muestra de ventana rectangular de 512 puntos}
-\label{cancion2_espectograma_boxcar_0512}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion2_espectograma_boxcar_1024.png}
-\caption{Espectrograma segunda muestra de ventana rectangular de 1024 puntos}
-\label{cancion2_espectograma_boxcar_1024}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion2_espectograma_boxcar_2048.png}
-\caption{Espectrograma segunda muestra de ventana rectangular de 2048 puntos}
-\label{cancion2_espectograma_boxcar_2048}
-\end{figure}
-
-\hypertarget{espectograma-ventana-triangular}{%
-\subsubsection{Espectrograma con ventana triangular}\label{espectograma-ventana-triangular}}
-
-\iffalse
-A continuación se vuelve a graficar los espectrogramas de las canciones 1 y 2 tomando la misma cantidad de puntos, 512, 1024 y 2048, pero la diferencia siendo que se utiliza una ventana triangular. La diferencia entre ambas ventanas en la practica es que la ventana rectangular tiene mejor resolución en frecuencia ya que su DFT es una función sinc (con la función sinc definida como $sin(\pi\cdot x)/\pi\cdot x$) pero mayor fuga espectral, ya que los lóbulos secundarios de las sinc son mas fuertes que la DFT de la función triangular, que es una sinc pero al cuadrado, lo que hace que los lóbulos secundarios disminuyan. Para la primer muestra las figuras resultantes son \ref{cancion1_espectograma_bartlett_0512}, \ref{cancion1_espectograma_bartlett_1024} y \ref{cancion1_espectograma_bartlett_2048}, para el espectrograma utilizando ventana triangular y tomando 512, 1024 y 2048 puntos respectivamente. Para la segunda muestra, las figuras resultantes son \ref{cancion2_espectograma_bartlett_0512}, \ref{cancion2_espectograma_bartlett_1024} y \ref{cancion2_espectograma_bartlett_2048} para el espectrograma utilizando ventana triangular y tomando 512, 1024 y 2048 puntos respectivamente.
-\fi
-
-En la figura \ref{cancion1_espectograma_bartlett_2048} se muestra el espectrogramas de las canciones 1 tomando 2048 de puntos, pero utilizando una ventana triangular. La diferencia entre utilizar una ventana triangular y una rectangular en la practica es que la ventana rectangular tiene mejor resolución en frecuencia ya que su espectro es una función sinc (con la función sinc definida como $sin(\pi\cdot x)/\pi\cdot x$) pero mayor fuga espectral, ya que los lóbulos secundarios de las sinc son mas fuertes que la del espectro de la función triangular, que es una sinc pero al cuadrado, lo que hace que los lóbulos secundarios disminuyan.
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion1_espectograma_bartlett_2048.png}
-\caption{Espectrograma primer muestra de ventana triangular de 2048 puntos}
-\label{cancion1_espectograma_bartlett_2048}
-\end{figure}
-
-\iffalse
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion1_espectograma_bartlett_1024.png}
-\caption{Espectrograma primer muestra de ventana triangular de 1024 puntos}
-\label{cancion1_espectograma_bartlett_1024}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion1_espectograma_bartlett_0512.png}
-\caption{Espectrograma primer muestra de ventana triangular de 512 puntos}
-\label{cancion1_espectograma_bartlett_0512}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion2_espectograma_bartlett_0512.png}
-\caption{Espectrograma segunda muestra de ventana triangular de 512 puntos}
-\label{cancion2_espectograma_bartlett_0512}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion2_espectograma_bartlett_1024.png}
-\caption{Espectrograma segunda muestra de ventana triangular de 1024 puntos}
-\label{cancion2_espectograma_bartlett_1024}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion2_espectograma_bartlett_2048.png}
-\caption{Espectrograma segunda muestra de ventana triangular de 2048 puntos}
-\label{cancion2_espectograma_bartlett_2048}
-\end{figure}
-\fi
-
-\hypertarget{espectograma-ventana-hann}{%
-\subsubsection{Espectrograma con ventana de Hann}\label{espectograma-ventana-hann}}
-
-La ventana de Hann es una función que en el dominio temporal tiene una forma
-suave, no como la ventana rectangular o triangular que tiene puntos con derivada
-discontinua, la forma es parecida a medio ciclo de un seno. En el dominio de
-frecuencia, la ventana de Hann tiene una forma parecida a la de la ventana
-rectangular con un lóbulo principal, pero este mas ancho que el de la
-rectangular, esto implica menor resolución en frecuencia; además el espectro de
-la ventana de Hann tiene lóbulos laterales menores, lo que reduce aum mas la fuga espectral.
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion1_espectograma_hann_2048.png}
-\caption{Espectrograma primer muestra con ventana Hann de 2048 puntos}
-\label{cancion1_espectograma_hann_2048}
-\end{figure}
-
-\iffalse
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion1_espectograma_hann_0512.png}
-\caption{Espectrograma primer muestra con ventana Hann de 512 puntos}
-\label{cancion1_espectograma_hann_0512}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion1_espectograma_hann_1024.png}
-\caption{Espectrograma primer muestra con ventana Hann de 1024 puntos}
-\label{cancion1_espectograma_hann_1024}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion2_espectograma_hann_0512.png}
-\caption{Espectrograma segunda muestra con ventana Hann de 512 puntos}
-\label{cancion2_espectograma_hann_0512}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion2_espectograma_hann_1024.png}
-\caption{Espectrograma segunda muestra con ventana Hann de 1024 puntos}
-\label{cancion2_espectograma_hann_1024}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/cancion2_espectograma_hann_2048.png}
-\caption{Espectrograma segunda muestra con ventana Hann de 2048 puntos}
-\label{cancion2_espectograma_hann_2048}
-\end{figure}
-\fi
-
-Analizando el espectrograma de la primer canción, en particular el de la figura \ref{cancion1_espectograma_bartlett_2048}, en el cual se toman 2048 puntos y se utiliza una ventana triangular, se observa claramente las notas que componen la melodía, y ademas en que tiempo ocurre cada una de ellas. Ademas se observa que no es muy clara la resolución temporal pero de todas maneras se tiene una aproximación general de en que tiempo ocurre cada nota, para mayor resolución se puede analizar en detalle la figura \ref{cancion1_espectograma_boxcar_0512} en la cual se toman menos puntos de ventana (y se utiliza una ventana rectangular) por lo tanto se tiene mayor resolución temporal.
-
-
-
-
-
-
-% PUNTO 5
-\hypertarget{serie-de-fourier-tomando-uno-y-varios-periodos
-}{%
-\subsection{Serie de Fourier tomando uno y varios periodos}\label{serie-de-fourier-tomando-uno-y-varios-periodos
-}}
-
-Para señales musicales de la nota A4 generados generadas en la sección \ref{sonido-de-diferentes-instrumentos} para diferentes instrumentos, mediante un script de python, se analiza el espectro de cada una y se remueven altas frecuencias, intentando preservar el sonido generado pero utilizando menor información para obtener dicho sonido.
-
-En primer lugar, se obtiene la serie de Fourier de cada una de las notas generada por los diferentes instrumentos, utilizando uno y mas periodos, para la generada por el clarinete, se muestra la serie de Fourier utilizando 1, 4 y 8 periodos en la figura \ref{a4_clarinete_fseries_comparison}, para la nota generada por la flauta la serie de Fourier se observar en la figura \ref{a4_flauta_fseries_comparison}, finalmente en la figura \ref{a4_violin_fseries_comparison} ser observa la serie de Fourier para la nota A4 generada por el violín. Se puede ver en todos los casos que tomando mas periodos de la señal se tiene más resolución espectral, y tiene sentido ya que al tomar mas periodos se tiene mas información de la señal.
-
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/a4_clarinete_fseries_comparison.png}
-\caption{Serie de Fourier tomando 1, 4 y 8 periodos nota A4 clarinete}
-\label{a4_clarinete_fseries_comparison}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/a4_flauta_fseries_comparison.png}
-\caption{Serie de Fourier tomando 1, 4 y 8 periodos nota A4 flauta}
-\label{a4_flauta_fseries_comparison}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/a4_violin_fseries_comparison.png}
-\caption{Serie de Fourier tomando 1, 4 y 8 periodos nota A4 violín}
-\label{a4_violin_fseries_comparison}
-\end{figure}
-
-\hypertarget{filtrado-de-muestras}{%
-\subsection{Filtrado de muestras}\label{filtrado-de-muestras}}
-
-Para realizar el filtrado, se eliminan frecuencias mayores a un numero de frecuencia arbitrario, esto es análogo a aplicar un filtro pasa-bajos en la practica, pero mediante procesamiento digital. El numero arbitrario que define que frecuencias se deben eliminar queda determinado por como suena la señal luego de eliminar esas frecuencias mayores. En particular se ha detectado que para la flauta por tener un menor numero de armónicos, como se puede ver en la figura \ref{a4_flauta_fseries_comparison} de su serie de Fourier, este numero arbitrario puede ser tan bajo como 1000 Hz, sin modificar demasiado el sonido de la nota. En el otro extremo se tiene el violín, el cual se ve en su serie de Fourier (figura \ref{a4_violin_fseries_comparison}) que posee un gran numero de armónicos, esto hace que si se eliminan frecuencias bajas se modifica mucho el sonido de la nota. En todos los casos se observa que no se puede `comprimir' demasiado la señal puesto que no poseen armónicos de alta frecuencia, ya de por si son muestras `limpias' que ya poseen un procesamiento digital previo realizado por el programa generador.
-
-Una comparación entre las señal temporal resultante de las notas musicales filtradas y la señal original se muestran en las figuras \ref{a4_violin_cutoff_time_comparison}, \ref{a4_clarinete_cutoff_time_comparison} y \ref{a4_flauta_cutoff_time_comparison}, para la nota filtrada del violín, del clarinete y de la flauta, respectivamente.
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/a4_violin_cutoff_time_comparison.png}
-\caption{Comparación entre señal original y filtrada en tiempo nota A4 vioin}
-\label{a4_violin_cutoff_time_comparison}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/a4_clarinete_cutoff_time_comparison.png}
-\caption{Comparación entre señal original y filtrada en tiempo nota A4 clarinete}
-\label{a4_clarinete_cutoff_time_comparison}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[H]
-\centering
-\includegraphics{plot/a4_flauta_cutoff_time_comparison.png}
-\caption{Comparación entre señal original y filtrada en tiempo nota A4 flauta}
-\label{a4_flauta_cutoff_time_comparison}
-\end{figure}
-
-
-
-\hypertarget{Efectos-musicales-en-términos-de-sistemas}{%
-\subsection{Efectos musicales en términos de sistemas}\label{Efectos-musicales-en-términos-de-sistemas}}
-
-En esta sección se analizan distintos efectos interpretándolos como sistemas que procesan la señal de entrada $x(t)$ dando en la salida una señal $y(t)$.
-
-% Se trabaja con una señal senoidal pura de 440Hz, implementando los efectos de manera digital mediante código. En cada caso se grafican los espectros resultantes de aplicar los distintos efectos a la señal original.
-
-\subsubsection{Delay}
-
-El efecto \textit{delay} consiste en sumar a la señal original una copia de sí misma con un factor de retroalimentación que genera repeticiones. Puede modelarse como:
-
-\[
-y[n] = x[n] + \alpha\, y[n - D]
-\]
-
-donde $D$ representa el retardo en muestras y $\alpha$ es el coeficiente de retroalimentación.
-
-Analizando las propiedades de este sistema, se observa que es un sistema \textbf{lineal}, que posee \textbf{memoria} ya que depende de muestras pasadas, y es \textbf{invariante en el tiempo} debido a que el retardo no cambia a lo largo del tiempo.
-
-\iffalse
-\begin{figure}[H]
+\begin{figure}[!h]
\centering
- \includegraphics[width=0.75\linewidth]{plot/delay_original.png}
- \caption{Espectro original}
- \label{delay_original}
+ \includegraphics[width=0.75\linewidth]{img/diagrama_de_bloques-decimador.png}
+ \caption{Diagrama de bloques reducción de frecuencia}
+ \label{fig-diagrama-de-bloques-decimador}
\end{figure}
-\begin{figure}[H]
- \centering
- \includegraphics[width=0.75\linewidth]{plot/delay_efecto.png}
- \caption{Espectro con efecto delay}
- \label{delay_efecto}
-\end{figure}
-\fi
-
-\subsubsection{Distorsión}
-
-La distorsión consiste en aplicar una función no lineal sobre la amplitud de la señal, como puede ser un recorte (clipping). En este caso se utiliza la función tangente hiperbólica:
-
-\[
-y[n] = tanh(Gx[n])
-\]
-
-Este sistema no es lineal ya que su salida no es proporcional a la entrada, es invariante en el tiempo ya que no cambia en el tiempo, y es sin memoria porque cada muestra depende solo de la muestra actual.
-Se observa la aparición de armónicos múltiples de la frecuencia fundamental, dando un tono mas brillante y enriquecido.
-
-\iffalse
-\begin{figure}[H]
- \centering
- \includegraphics[width=0.75\linewidth]{plot/distorsion_original.png}
- \caption{Espectro original}
- \label{distorsion_original}
-\end{figure}
+Para el filtro pasa-bajos se utiliza un filtro con respuesta al impulso finita (FIR) y frecuencia de corte teórica de $2756.25$Hz la cual corresponde con la frecuencia de Nyquist, la elección de un filtro de tipo FIR, a diferencia de un filtro con respuesta al impulso infinita (IIR), es que es mas fácil la implementación y, si bien requiere un gran poder de computo a diferencia de los filtros IIR, en este caso el poder de computo no es un problema, a diferencia de sistemas embebidas, por dar un ejemplo.
-\begin{figure}[H]
- \centering
- \includegraphics[width=0.75\linewidth]{plot/distorsion_efecto.png}
- \caption{Espectro con efecto distorsión}
- \label{distorsion_efecto}
-\end{figure}
-\fi
+La forma general de un filtro FIR se muestra a continuación en la ecuación \ref{eq-forma-general-fir}, en la cual $M$ representa el grado del filtro, y por consiguiente la cantidad de coeficientes $b_k$, $y(n)$ la salida del filtro y $x(n)$ la entrada.
-\subsubsection{Trémolo}
+\begin{align}
+ y(n) = \sum_{k=0}^{M} b_{k}\cdot x(n-k)
+ \label{eq-forma-general-fir}
+\end{align}
-Consiste en la modulación de la amplitud de la señal, es decir, en variar su volumen en forma periódica mediante un oscilador. Se implementa mediante
+Aplicando la transformada Z a la expresión de la ecuación \ref{eq-forma-general-fir} y por propiedades de la transformada resulta como se ve en la ecuación \ref{eq-transferencia-filtro-fir}, $H(z)$ es lo que se denomina la transferencia del sistema en el dominio z.
-\[
-y[n] = \left( 1 - d \, \sin\left( \frac{2\pi f_m n}{f_s} \right) \right) x[n]
-\]
+\begin{align}
+ \dfrac{Y(z)}{X(z)} = H(z) = \sum_{k=0}^{M} b_{k}\cdot z^{-k}
+ \label{eq-transferencia-filtro-fir}
+\end{align}
-donde $d$ es la profundidad de modulación y $f_m$ la frecuencia de modulación.
+Aplicando la anti-transformada z a la expresión de de la ecuación \ref{eq-transferencia-filtro-fir} resulta en la respuesta al impulso del filtro FIR que se ve en la ecuación \ref{eq-resp-impulso-filtro-fir}. Otra forma de hallar la respuesta al impulso era tomando $x(n) = \delta(n)$ en la ecuación \ref{eq-forma-general-fir}.
-El sistema implementado es \textbf{lineal}, \textbf{invariante en el tiempo} (si la frecuencia de modulación es constante) y \textbf{tiene memoria}, ya que depende de una función periódica externa.
+\begin{align}
+ h(n) = \left\{
+ \begin{array}{rl}
+ b_{n}\;,\; & \mbox{si} \;\; 0 \leq n \leq M \\
+ 0 \;,\; & \mbox{en otro caso}
+ \end{array}
+ \right.
+ \label{eq-resp-impulso-filtro-fir}
+\end{align}
-En el espectro de la señal se pueden observar \textit{bandas laterales} que rodean la frecuencia fundamental, producidas por la modulación en amplitud.
+Para hallar los coeficientes $b_{n}$ se utiliza el método de ventana, en el cual se iguala la respuesta al impulso del filtro FIR con la multiplicación de la respuesta al impulso de un filtro ideal con una ventana con forma arbitraria, como se muestra en \ref{eq-ventaneo}.
-\iffalse
-\begin{figure}[H]
- \centering
- \includegraphics[width=0.75\linewidth]{plot/trembolo_original.png}
- \caption{Espectro nota original}
- \label{trembolo_original}
-\end{figure}
+\begin{align}
+ h(n) = h_{ideal}(n) \cdot w(n)
+ \label{eq-ventaneo}
+\end{align}
-\begin{figure}[H]
- \centering
- \includegraphics[width=0.75\linewidth]{plot/trembolo_efecto.png}
- \caption{Espectro nota con efecto tremolo}
- \label{trembolo_efecto}
-\end{figure}
-\fi
+Siendo en este caso $h_{ideal}(n)$ la respuesta al impulso del pasa bajos ideal, el cual sabiendo que es un rectángulo en frecuencia, resulta una sinc en el dominio temporal, esto se muestra en la ecuación \ref{eq-imp-pasabajo-ideal}. La multiplicación por una ventana de la ecuación \ref{eq-ventaneo} justamente se hace porque los filtros ideales tienen respuesta al impulso infinita, como es el caso de la función $sinc$.
-\subsubsection{Vibrato}
+\begin{align}
+ h_{ideal}(n) = \dfrac{sin\left(\omega_{c}\cdot n\right)}{\pi\cdot n} = \omega_{c} \cdot sinc\left(\dfrac{\omega_{c}}{\pi} \cdot n\right)
+ \label{eq-imp-pasabajo-ideal}
+\end{align}
-Produce una modulación en frecuencia, alterando la frecuencia instantánea de la señal. Se lo puede expresar como un retardo variable en el tiempo:
+Para la ventana se utiliza la ventana de Hamming, ya que es muy simple la implementación, la formula general es común con otras ventanas (como Hanning) y se muestra a continuación en la ecuación \ref{eq-ventana-formula-general-hamming}, en particular para la ventana de Hamming los coeficientes $a_{0}$ y $a_{1}$ toman los valores aproximados $0.54$ y $0.46$ respectivamente\footnotemark[1].
-\[
-y[n] = x\!\left[n + d \, \sin\!\left( \frac{2\pi f_m n}{f_s} \right)\right]
-\]
+\footnotetext[1]{Ventana (función) \citep{wiki123}}
-Se observa que este sistema \textbf{no es lineal}, ya que el desplazamiento depende de la señal moduladora.
-Es \textbf{invariante en el tiempo} (si el modulador es constante) y \textbf{tiene memoria}, ya que utiliza muestras pasadas.
+\begin{align}
+ w(n) = a_{0}-a_{1}\cdot cos\left(\dfrac{2\pi n}{N - 1}\right);\;\;
+ w_{Hamming}(n) = 0.54-0.46\cdot cos\left(\dfrac{2\pi n}{N - 1}\right)
+ \label{eq-ventana-formula-general-hamming}
+\end{align}
-En el espectro se puede apreciar un \textit{ensanchamiento} en la frecuencia fundamental con variaciones periódicas alrededor de la misma, lo que refleja la modulación del tono.
+Teniendo la expresión de la ventana $w(n)$ y la respuesta al impulso del filtro ideal $h_{ideal}(n)$ se obtiene la respuesta al impulso del filtro FIR $h(n)$ de la ecuación \ref{eq-ventaneo}, en este caso tomando 700 coeficientes, es decir, se tiene un filtro de grado 700. La respuesta al impulso se muestra graficada en la figura \ref{fig-respuesta-al-impulso-fir} en la cual se ve claramente la forma de la función sinc.
-\iffalse
-\begin{figure}[H]
+\begin{figure}[!h]
\centering
- \includegraphics[width=0.75\linewidth]{plot/vibrato_original.png}
- \caption{Espectro original}
- \label{vibrato_original}
+ \includegraphics[width=\linewidth]{plot/respuesta_al_impulso_filtro_fir.png}
+ \caption{Respuesta al impulso filtro pasa-bajos FIR de grado $700$}
+ \label{fig-respuesta-al-impulso-fir}
\end{figure}
-\begin{figure}[H]
+La respuesta en frecuencia del filtro se obtiene tomando $z=j\omega$ en la función de transferencia del sistema $H(z)$ mencionada previamente en la ecuación \ref{fig-respuesta-en-freq-fir}. En la figura \ref{fig-respuesta-en-freq-fir} se grafica la respuesta en frecuencia del filtro pasa-bajos elegido, la magnitud se muestra en color azul y la fase en color rojo. Se nota que a partir de la frecuencia de corte ($2627.1$ Hz, correspondiente al punto de $-3$dB) se atenúan drásticamente las señales y en particular para las frecuencias mayores a la de Nyquist ($2756.2$ Hz) ya se puede decir prácticamente que se atenúan por completo ya que se tiene una ganancia de $-60dB$, esto es $0.001$ veces, lo cual era el objetivo para evitar aliasing al decimar. Además se observa la fase lineal hasta la frecuencia de corte, esta es una de las principales características de los filtros FIR por sobre los IIR, que es que no distorsionan la fase.
+
+\begin{figure}[!h]
\centering
- \includegraphics[width=0.75\linewidth]{plot/vibrato_efecto.png}
- \caption{Espectro con efecto vibrato}
- \label{vibrato_efecto}
+ \includegraphics[width=\linewidth]{plot/respuesta_en_frecuencia_pasa-bajos_fir.png}
+ \caption{Respuesta en frecuencia filtro pasa-bajos FIR de grado $700$}
+ \label{fig-respuesta-en-freq-fir}
\end{figure}
-\fi
-
-\subsubsection{Chorus}
-
-Combina múltiples copias de la señal, cada una con un retardo distinto.
-Simula varios instrumentos sonando al mismo tiempo.
-Se lo puede modelar como la suma de varios vibratos:
-\[
-y[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} x\!\left[n + d_k \sin\!\left( \frac{2\pi f_{m_k} n}{f_s} \right)\right]
-\]
+Los ceros $z_{i}$ y polos $p_{i}$ se definen como aquellos puntos del plano complejo en donde la función de transferencia del sistema $H(jw)$ se anula, en el caso de los ceros y diverge a infinito, en el caso de los polos. La particularidad de los filtros FIR es que no tienen polos distintos de cero, esto sale de analizar la ecuación \ref{eq-transferencia-filtro-fir}, se tiene una sumatoria de coeficientes no nulos constantes multiplicados por la variable $z^{-1}$, la única forma de que la transferencia tienda a infinito es que la variable z tienda a $0$ de manera de que $z^{-1}$ diverja.
-Es un sistema \textbf{no lineal} debido a la interpolación variable,
-\textbf{invariante en el tiempo} (si los parámetros son constantes) y \textbf{tiene memoria} debido al retardo de cada instrumento.
+%ve factorizando la expresión de la ecuación \ref{eq-transferencia-filtro-fir} como se muestra en la ecuación \ref{eq-transferencia-filtro-fir-factorizada}.
-En el espectro se observa un \textit{ensanchamiento} alrededor de la frecuencia fundamental
-y una estructura densa debido a la suma de fuentes sonoras.
-
-\iffalse
-\begin{figure}[H]
- \centering
- \includegraphics[width=0.75\linewidth]{plot/chorus_original.png}
- \caption{Espectro original}
- \label{chorus_original}
-\end{figure}
+%\begin{align}
+% H(z) = h(0)\sum_{k=0}^{M} b_{k}\cdot z^{-k}
+% \label{eq-transferencia-filtro-fir-factorizada}
+%\end{align}
-\begin{figure}[H]
+\begin{figure}[!h]
\centering
- \includegraphics[width=0.75\linewidth]{plot/chorus_efecto.png}
- \caption{Espectro con efecto chorus}
- \label{chorus_efecto}
+ \includegraphics[width=\linewidth]{plot/polos_y_ceros_pasa-bajos_fir.png}
+ \caption{Polos y ceros filtro pasa-bajos FIR de grado $700$}
+ \label{fig-respuesta-en-freq-fir}
\end{figure}
-\fi
-
-Cada efecto puede interpretarse como un sistema que transforma una señal de entrada aplicando operaciones de retardo, modulación o no linealidad. Los efectos que se caracterizaron como lineales e invariantes en el tiempo (delay y trembolo) modifican el espectro de manera predecible. Mientras que los no lineales introducen componentes que afectan la estructura armónica que se tenía en la señal original
-
-
-\iffalse
-% commentado
-
-\hypertarget{Gráfico-temporal-y-espectrograma-de-una-melodía-musical}{%
-\subsubsection{Gráfico temporal y espectrograma de una melodía musical}\label{Gráfico-temporal-y-espectrograma-de-una-melodía-musical}}
-
-\fi
-
-
-\end{document}
diff --git a/tp/primera_parte.tex b/tp/primera_parte.tex
@@ -0,0 +1,298 @@
+
+\section{Introducción}
+
+En el presente trabajo se realiza un análisis en el dominio temporal de en
+principio dos señales musicales de muestra, en las cuales se buscan porciones
+cuasi-periódicas y no periódicas, y luego se filtran utilizando dos filtros
+diferentes. Por último, se generan mediante simulación de tres instrumentos
+musicales diferentes, tres señales, las cuales se analizan y comparan las formas
+de onda generadas.
+
+\hypertarget{dominio-temporal}{%
+\section{Dominio temporal}\label{dominio-temporal}}
+
+\hypertarget{primer-muestra}{%
+\subsection{Primer muestra}\label{primer-muestra}}
+
+Para la primer muestra (archivo cancion1.wav) se realiza el
+gráfico de la misma en el dominio temporal, el resultado se muestra en
+la figura 1.
+
+La frecuencia de muestreo de la misma es 44100 Hz, esto se obtiene del
+mismo script utilizado para graficar el archivo, en el cual se divide la
+cantidad de muestras por la duración del archivo.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion1.png}
+\caption{Gráfico de archivo `cancion1.wav'}
+\label{cancion1}
+\end{figure}
+
+\hypertarget{secciones-cuasi-periuxf3dicas}{%
+\subsubsection{Secciones
+cuasi-periódicas}\label{secciones-cuasi-periodicas}}
+
+Cuando la señal tiene una estructura repetitiva, pero con variaciones en
+amplitud, fase o frecuencia se dice que la señal es cuasi-periódica.
+
+Realizando un análisis visual en detalle de la muestra se buscan partes
+donde se comporte como tal, dos ejemplos se dan en las figuras 2 y 3. En
+la primera se gráfica el intervalo \(0.248\) s a \(0.256\) s, mientras
+que en la segunda se gráfica el intervalo \(0.520\) s a \(0.528\) s.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion1_0_248s_a_0_256s.png}
+\caption{Sección cuasi-periódica archivo `cancion1.wav'}
+\label{cancion1_seccion_cuasi_periodica}
+\end{figure}
+
+Dentro de los intervalos cuasi-periódicos graficados, se pueden detectar
+visualmente los períodos fundamentales, los cuales se ven resaltados en
+color celeste claro.
+
+Curiosamente en ambos casos el período es igual y resulta \(T=0.003\) s,
+lo cual corresponde con una frecuencia de aproximadamente \(333\) Hz.
+Comparando con notas musicales de tabla esto se asemeja a una nota
+\emph{E4}, la cual tiene una frecuencia de \(329.228\) Hz. Siendo que el
+período se relaciona de manera inversa con la frecuencia y esta de
+manera directa con la nota musical, se puede asegurar que al disminuir
+este período la frecuencia aumentará y la nota musical será mas aguda,
+mientras que en el caso contrario si aumenta el período la frecuencia
+disminuye y también la nota musical.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion1_0_520s_a_0_528s.png}
+\caption{Otra sección cuasi-periódica archivo `cancion1.wav'}
+\label{cancion1_seccion_cuasi_periodica2}
+\end{figure}
+
+\hypertarget{segunda-muestra}{%
+\subsection{Segunda muestra}\label{segunda-muestra}}
+
+Utilizando el mismo script de python utilizado para la primer muestra
+(archivo cancion1.wav) se gráfica la señal de la segunda
+muestra (correspondiente al archivo cancion2.wav) en el dominio
+temporal, en este caso se gráfica a partir del segundo 6 ya que antes de
+esto la señal tiene amplitud nula, con lo cual no aporta información
+significativa, el gráfico resultante se muestra en la figura 4.
+
+La frecuencia fundamental de esta segunda muestra resulta \(48000\) Hz,
+esto también se obtiene del script de python.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion2.png}
+\caption{Gráfico de archivo `cancion2.wav'}
+\label{cancion2}
+\end{figure}
+
+\hypertarget{secciones-no-periodicas}{%
+\subsubsection{Secciones no-periódicas}\label{secciones-no-periodicas}}
+
+A diferencia del análisis realizado sobre la primer muestra en busca de
+secciones cuasi-periódicas, para esta segunda muestra se buscan
+secciones no periódicas, esto es, secciones donde la señal no tiene un
+patron repetitivo marcado. Se toman dos intervalos en los cuales la
+señal de muestra se comporta como tal, el intervalo de \(14.72\) s a
+\(14.73\) s y el intervalo \(26.57\) s a \(26.58\) s, ambos intervalos
+se muestran graficados en las figura 5 y 6 respectivamente.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion2_14_72s_a_14_73s.png}
+\caption{Sección no periódica archivo `cancion2.wav'}
+\label{cancion2_seccion_no_periodica}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion2_26_57s_a_26_58s.png}
+\caption{Otra sección no periódica archivo `cancion2.wav'}
+\label{cancion2_seccion_no_periodica2}
+\end{figure}
+
+Dado que las secciones son no periódicas, no se puede hablar de una
+frecuencia fundamental como si se podía en las secciones
+cuasi-periódicas en la primer muestra.
+
+
+
+
+
+\hypertarget{filtrado}{%
+\subsection{Filtrado}\label{filtrado}}
+
+Para obtener la salida de la señal luego de pasarla por un filtro
+(respuesta al impulso del primer filtro correspondiente al archivo
+respuesta\_impulso\_1.txt y del segundo filtro correspondiente
+al archivo respuesta\_impulso\_2.txt) es necesario realizar una
+convolución entre la señal de entrada y la respuesta al impulso del
+filtro, esto suponiendo que el filtro es un sistema LTI (si no lo fuera
+no se podría calcular la salida solo teniendo la respuesta al impulso).
+
+La salida del filtro 1 al aplicar la primer muestra se puede ver en la
+figura \ref{cancion1_filter1_output_compare}, en este gráfico de la señal completa se observa que atenúa partes de la señal y
+amplifica otras, en particular amplifica principalmente antes del
+segundo \(6\) y atenúa drásticamente luego. En mayor detalle como se observa en la figura \ref{cancion1_filter1_output_compare_0_248_a_0_256} para el intervalo entre 0.248 y 0.256 segundos, se ve como actúa sobre la señal amplificando partes de la misma.
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion1_filter1_output_compare.png}
+\caption{Primer muestra salida de filtro 1}
+\label{cancion1_filter1_output_compare}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion1_filter1_output_compare_0_248_a_0_256.png}
+\caption{Primer muestra salida de filtro 1 intervalo 0.248 a 0.256s}
+\label{cancion1_filter1_output_compare_0_248_a_0_256}
+\end{figure}
+
+Aplicando el segundo filtro a la primer muestra resulta como se muestra
+en el gráfico de figura \ref{cancion1_filter2_output_compare}.
+En esta figura de la señal completa Se puede ver que esta a diferencia del filtro 1, no atenúa o amplifica significativamente partes de la señal, si no
+que realiza una leve atenuación de toda la señal. Analizando en detalle como se ve en la figura \ref{cancion1_filter2_output_compare_0_248_a_0_256} se puede ver el suavizado que realiza este filtro sobre la señal, esto sugiere que el filtro 2 es del tipo pasa bajos, ya que atenúa la frecuencias altas componentes en la señal original, haciendo que la señal resultante no tenga cambios abruptos.
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion1_filter2_output_compare.png}
+\caption{Primer muestra salida de filtro 2}
+\label{cancion1_filter2_output_compare}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion1_filter2_output_compare_0_248_a_0_256.png}
+\caption{Primer muestra salida de filtro 2 intervalo 0.248 a 0.256s}
+\label{cancion1_filter2_output_compare_0_248_a_0_256}
+\end{figure}
+
+De manera análoga para la segunda muestra se aplican los filtros mediante la
+convolución entre la señal y la respuesta al impulso del respectivo filtro.
+
+La salida de la segunda muestra al aplicar el primer filtro se puede ver en la
+figura \ref{cancion2_filter1_output_compare} en la cual se gráfica la señal
+completa y se aprecia como se atenúa la mayor parte, principalmente en la
+primera mitad (antes del segundo 18.5 aproximadamente) y en menor medida en
+la mitad restante, aunque en partes de la segunda mitad se atenúa drásticamente
+de todas formas, como por ejemplo en el segundo 29 en el que se atenúa
+aproximadamente un 70\% de la señal.
+
+En la figura \ref{cancion2_6s_filter1_output_compare_26_57_a_26_58} se analiza
+en mayor detalle la señal, en este caso el intervalo entre 26.57 y 26.58
+segundos, en esta figura se observa como amplifica partes de la señal, en
+particular, se observa que amplifica los picos en donde la señal tiene cambios
+abruptos, es decir, donde la señal se compone de frecuencias altas, esto sugiere
+que el primer filtro es del tipo pasa altos, es decir atenúa las frecuencias
+bajas.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion2_6s_filter1_output_compare.png}
+\caption{Segunda muestra salida de filtro 1}
+\label{cancion2_filter1_output_compare}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion2_6s_filter1_output_compare_26_57_a_26_58.png}
+\caption{Segunda muestra salida de filtro 1 intervalo 26.57 a 26.58s}
+\label{cancion2_6s_filter1_output_compare_26_57_a_26_58}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion2_6s_filter2_output_compare.png}
+\caption{Segunda muestra salida de filtro 2}
+\label{cancion2_filter2_output_compare}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion2_6s_filter2_output_compare_26_57_a_26_58.png}
+\caption{Seguida muestra salida de filtro 2 intervalo 26.57 a 26.58s}
+\label{cancion2_6s_filter2_output_compare_26_57_a_26_58}
+\end{figure}
+
+
+En las figura \ref{cancion2_filter2_output_compare} se muestra la señal completa
+de la salida luego de aplicar el segundo filtro a la segunda muestra, de esta
+figura no se pueden sacar grandes conclusiones mas que una leve atenuación de
+toda la señal. Analizando en mayor detalle, por ejemplo el intervalo de 26.57 a
+26.58 segundos, como se muestra en la figura
+\ref{cancion2_6s_filter2_output_compare_26_57_a_26_58} se observa algo similar a
+lo observado para la primer muestra luego de aplicar este filtro y es el
+suavizado que realiza.
+
+En todos los casos, tanto para la primer muestra como para la segunda y
+tanto para el primer filtro como el segundo, escuchando la respectiva
+salida se confirma lo analizado desde el punto de vista del gráfico de
+la señal, pero ademas se aprecia que el primer filtro realiza una
+atenuación de las frecuencias mas altas (sonidos agudos) mientras que el
+segundo disminuye las frecuencias bajas (o sonidos graves) esto ultimo
+no se aprecia en el gráfico de la señal, ya que parece no tener efecto
+mas que une leve atenuación.
+
+\hypertarget{sonido-de-diferentes-instrumentos}{%
+\subsection{Sonido de diferentes
+instrumentos}\label{sonido-de-diferentes-instrumentos}}
+
+Se generaron tres muestras diferentes a las ya utilizadas, correspondientes con
+la nota \emph{A4} (La4, \(440\) Hz) mediante la simulación de tres instrumentos
+musicales distintos: un clarinete, una flauta y un violín. Las señales generadas
+corresponden con los archivos a4\_clarinete.wav, a4\_flauta.wav y a4\_violin.wav
+y los gráficos de cada señal se muestran en las figuras \ref{a4_clarinete_cutoff_time_comparison}, \ref{a4_clarinete_cutoff_time_comparison} y \ref{a4_violin_cutoff_time_comparison}
+respectivamente.
+
+Si bien todos los sonidos tienen la misma frecuencia, ya que es la misma
+nota musical, el sonido escuchado percibido es diferente, esto puede ser
+producto de la forma de onda generada por cada instrumento, lo cual
+queda clara la diferencia en los respectivos gráficos.
+
+Cada sonido percibido tiene características diferentes, el mas apagado o
+neutro es el producido por la flauta, mientras que el mas agudo o
+``afilado'' es el producido por el violín, el sonido del clarinete es un
+intermedio entre ambos, un sonido ni muy agudo ni muy grave o apagado, y
+con cierto carácter metálico.
+
+Para el caso del clarinete, cuya señal se puede ver en la figura \ref{a4_clarinete_cutoff_time_comparison}, se puede ver que la onda se parece a una onda cuadrada. En el dominio de frecuencia, las ondas cuadradas ideales se componen de armónicos impares.
+
+%\begin{figure}
+%\centering
+%\includegraphics{plot/a4_clarinete.png}
+%\caption{Sonido de clarinete}
+%\label{a4_clarinete}
+%\end{figure}
+
+Para la señal producida por la flauta que se puede ver en la figura \ref{a4_clarinete_cutoff_time_comparison},
+se puede ver que se asemeja a una señal senoidal pura, aunque no tan
+simétrica en los picos, las ondas sinodales en el dominio de frecuencia
+tienen un único armónico, y es el fundamental, es por esto que el sonido
+es mas neutro y no tan ``brillante'' o agudo dado que la frecuencia es
+la misma en todos los casos.
+
+%\begin{figure}
+%\centering
+%\includegraphics{plot/a4_flauta.png}
+%\caption{Sonido de flauta}
+%\label{a4_flauta}
+%\end{figure}
+
+Por ultimo para la señal producida por el violín, la cual se puede ver
+en la figura \ref{a4_violin_cutoff_time_comparison}, se asemeja a una onda triangular con pendiente
+decreciente, estas ondas triangulares en el dominio de frecuencia
+también tienen armónicos impares como la onda cuadrada, pero estos
+armónicos tienen mayor amplitud, es por esto que si bien tienen un
+sonido similar, el sonido del violín es mas agudo.
+
+%\begin{figure}[H]
+%\centering
+%\includegraphics{plot/a4_violin.png}
+%\caption{Sonido de violín}
+%\label{a4_violin}
+%\end{figure}
+
diff --git a/tp/referencias.bib b/tp/referencias.bib
@@ -0,0 +1,7 @@
+@misc{wiki123,
+ author = "Wikipedia",
+ title = "Ventana (función) --- Wikipedia{,} La enciclopedia libre",
+ year = "2025",
+ url = "\url{https://es.wikipedia.org/w/index.php?itle=Ventana_(funci%C3%B3n)&oldid=155641350}",
+ note = "[Internet; descargado 26-noviembre-2025]"
+}
+\ No newline at end of file
diff --git a/tp/segunda_parte.tex b/tp/segunda_parte.tex
@@ -0,0 +1,482 @@
+\pagebreak
+
+\hypertarget{Dominio-de-frecuencia}{%
+\section{Dominio de frecuencia}\label{dominio-de-frecuencia}}
+
+En esta sección se analizan las mismas señales de audio que en la
+sección anterior, correspondientes a los archivos cancion1.wav y cancion2.wav, pero en el dominio de la frecuencia. Para esto se calcula la
+transformada discreta de fourier (DFT) de las mismas mediante un script de
+Python (que internamente utiliza el algoritmo FFT). El resultado se muestra en
+los figuras \ref{cancion1_fft} y \ref{cancion2_fft} para la señal de audio de
+las canciones 1 y 2 respectivamente.
+
+Se puede ver en la figura \ref{cancion1_fft} correspondiente a la primer canción
+picos angostos en frecuencias determinadas, en cambio para la segunda canción en
+la figura \ref{cancion2_fft}, se puede ver que la energía se distribuye en mas
+frecuencias ya que los picos no están tan definidos. Esto puede deberse a que en
+la primer canción se hallaban porciones periódicas de la señal en el dominio
+temporal mientras que para la segunda canción había mayor presencia de señales
+no periódicas.
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion1_fft.png}
+\caption{Espectro de `cancion1.wav'}
+\label{cancion1_fft}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion2_fft.png}
+\caption{Espectro de `cancion2.wav'}
+\label{cancion2_fft}
+\end{figure}
+
+\hypertarget{filtrado}{%
+\subsection{Filtrado en frecuencia}\label{filtrado}}
+
+A continuación se utilizaron las señales filtradas obtenidas en la primera parte para las muestras de los archivos `cancion1.wav' y `cancion2.wav' y se graficaron sus espectros en frecuencia, como se puede observar en las figuras \ref{cancion1_filter1_output_fft}, \ref{cancion1_filter2_output_fft}, \ref{cancion2_filter1_output_fft} y \ref{cancion2_filter2_output_fft}. Los gráficos \ref{filter1_h_fft} y \ref{filter2_h_fft} corresponden a las transformadas de Fourier de los filtros utilizados anteriormente.
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/filter1_h_fft.png}
+\caption{Transformada de Fourier del primer filtro}
+\label{filter1_h_fft}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/filter2_h_fft.png}
+\caption{Transformada de Fourier del segundo filtro}
+\label{filter2_h_fft}
+\end{figure}
+
+Como era de esperarse y como se anticipó en la primera parte, el primer filtro corresponde a un filtro pasa altos mientras que el segundo es un filtro pasa bajos. En el caso del primero deja pasar por completo las frecuencias mayores a 800Hz aproximadamente y atenúa en mayor o menor medida las frecuencias restantes, mientras que el segundo deja pasar las frecuencias menores a 4600Hz aproximadamente, atenúa por completo las frecuencias mayores a 5600Hz aproximadamente y atenúa en mayor o menor medida las que están en el medio.
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion1_filter1_output_fft.png}
+\caption{Espectro de `cancion1.wav' con filtro 1 aplicado}
+\label{cancion1_filter1_output_fft}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion1_filter2_output_fft.png}
+\caption{Espectro de `cancion1.wav' con filtro 2 aplicado}
+\label{cancion1_filter2_output_fft}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion2_filter1_output_fft.png}
+\caption{Espectro de `cancion2.wav' con filtro 1 aplicado}
+\label{cancion2_filter1_output_fft}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion2_filter2_output_fft.png}
+\caption{Espectro de `cancion2.wav' con filtro 2 aplicado}
+\label{cancion2_filter2_output_fft}
+\end{figure}
+
+Una de las formas de verificar si el sistema es LTI es con la siguiente relación:
+
+\[
+y(t) = (h * x)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\, x(t - \tau)\, d\tau
+\]
+
+ya que la salida $y(t)$ está dada por la convolución entre la señal de entrada $x(t)$ y la respuesta al impulso del sistema $h(t)$, al aplicar la transformada de Fourier a ambos lados de la ecuación, y utilizando la propiedad de que la convolución en el dominio del tiempo se convierte en una multiplicación en el dominio de la frecuencia, se obtiene:
+
+\[
+Y(\omega) = H(\omega) \cdot X(\omega)
+\]
+
+donde $X(\omega)$, $Y(\omega)$ y $H(\omega)$ son las transformadas de Fourier de $x(t)$, $y(t)$ y $h(t)$, respectivamente. Por lo tanto, si existe una función $H(\omega)$ tal que para una señal arbitraria $x(t)$ se cumple:
+
+\[
+Y(\omega) = H(\omega)\, X(\omega),
+\]
+
+entonces el sistema puede describirse completamente mediante su respuesta al impulso $h(t)$, y se concluye que es un sistema \textbf{lineal e invariante en el tiempo (LTI)}.
+
+En cambio, si la relación entre $X(\omega)$ e $Y(\omega)$ no puede expresarse como una multiplicación por una función fija $H(\omega)$, esto indica que el sistema no es LTI, ya sea porque es no lineal o porque su comportamiento varía en el tiempo.
+
+Por lo tanto, de forma manual se tomaron valores a una determinada frecuencia para ver si cumplen con esta relación.
+
+
+\hypertarget{espectogramas}{%
+\subsection{Espectrogramas}\label{espectogramas}}
+
+Un espectrograma es una representación de la transformada de Fourier en el tiempo, esto es una representación en tres dimensiones, pero en un plano con colores, en el eje X se representa el tiempo, en el eje Y se representa la frecuencia y el que seria el eje Z, saliente de la pantalla, en este caso representado por el color del pixel, se representa la magnitud del armónico.
+
+Se tomaran diferentes longitudes de ventana, esto es la cantidad de muestras temporales que se toman de la señal para computar la DFT, un mayor numero implica mayor resolución en frecuencia pero menor resolución temporal, esto se manifiesta en el espectrograma por lineas o puntos bien definidos en el eje Y, pero difusos en las transiciones en el eje X, por el contrario un menor numero de puntos implica mayor resolución temporal pero menor resolución en frecuencia, esto es lineas o puntos cortantes en las transiciones en el eje X pero difusas en el eje Y.
+
+\hypertarget{espectograma-ventana-rectangular}{%
+\subsubsection{Espectrograma con ventana rectangular}\label{espectograma-ventana-rectangular}}
+
+En las figuras \ref{cancion1_espectograma_boxcar_0512}, \ref{cancion1_espectograma_boxcar_1024} y \ref{cancion1_espectograma_boxcar_2048} se gráfica el espectrograma de la primer canción, utilizando una ventana rectangular en todos los casos, tomando 512, 1024 y 2048 puntos respectivamente.
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion1_espectograma_boxcar_0512.png}
+\caption{Espectrograma primer muestra de ventana rectangular de 512 puntos}
+\label{cancion1_espectograma_boxcar_0512}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion1_espectograma_boxcar_1024.png}
+\caption{Espectrograma primer muestra de ventana rectangular de 1024 puntos}
+\label{cancion1_espectograma_boxcar_1024}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion1_espectograma_boxcar_2048.png}
+\caption{Espectrograma primer muestra de ventana rectangular de 2048 puntos}
+\label{cancion1_espectograma_boxcar_2048}
+\end{figure}
+
+De manera análoga, en las figuras \ref{cancion2_espectograma_boxcar_0512}, \ref{cancion2_espectograma_boxcar_1024} y \ref{cancion2_espectograma_boxcar_2048} se gráfica el espectrograma de la segunda canción, utilizando una ventana rectangular en todos los casos, tomando 512, 1024 y 2048 puntos respectivamente.
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion2_espectograma_boxcar_0512.png}
+\caption{Espectrograma segunda muestra de ventana rectangular de 512 puntos}
+\label{cancion2_espectograma_boxcar_0512}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion2_espectograma_boxcar_1024.png}
+\caption{Espectrograma segunda muestra de ventana rectangular de 1024 puntos}
+\label{cancion2_espectograma_boxcar_1024}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion2_espectograma_boxcar_2048.png}
+\caption{Espectrograma segunda muestra de ventana rectangular de 2048 puntos}
+\label{cancion2_espectograma_boxcar_2048}
+\end{figure}
+
+\hypertarget{espectograma-ventana-triangular}{%
+\subsubsection{Espectrograma con ventana triangular}\label{espectograma-ventana-triangular}}
+
+\iffalse
+A continuación se vuelve a graficar los espectrogramas de las canciones 1 y 2 tomando la misma cantidad de puntos, 512, 1024 y 2048, pero la diferencia siendo que se utiliza una ventana triangular. La diferencia entre ambas ventanas en la practica es que la ventana rectangular tiene mejor resolución en frecuencia ya que su DFT es una función sinc (con la función sinc definida como $sin(\pi\cdot x)/\pi\cdot x$) pero mayor fuga espectral, ya que los lóbulos secundarios de las sinc son mas fuertes que la DFT de la función triangular, que es una sinc pero al cuadrado, lo que hace que los lóbulos secundarios disminuyan. Para la primer muestra las figuras resultantes son \ref{cancion1_espectograma_bartlett_0512}, \ref{cancion1_espectograma_bartlett_1024} y \ref{cancion1_espectograma_bartlett_2048}, para el espectrograma utilizando ventana triangular y tomando 512, 1024 y 2048 puntos respectivamente. Para la segunda muestra, las figuras resultantes son \ref{cancion2_espectograma_bartlett_0512}, \ref{cancion2_espectograma_bartlett_1024} y \ref{cancion2_espectograma_bartlett_2048} para el espectrograma utilizando ventana triangular y tomando 512, 1024 y 2048 puntos respectivamente.
+\fi
+
+En la figura \ref{cancion1_espectograma_bartlett_2048} se muestra el espectrogramas de las canciones 1 tomando 2048 de puntos, pero utilizando una ventana triangular. La diferencia entre utilizar una ventana triangular y una rectangular en la practica es que la ventana rectangular tiene mejor resolución en frecuencia ya que su espectro es una función sinc (con la función sinc definida como $sin(\pi\cdot x)/\pi\cdot x$) pero mayor fuga espectral, ya que los lóbulos secundarios de las sinc son mas fuertes que la del espectro de la función triangular, que es una sinc pero al cuadrado, lo que hace que los lóbulos secundarios disminuyan.
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion1_espectograma_bartlett_2048.png}
+\caption{Espectrograma primer muestra de ventana triangular de 2048 puntos}
+\label{cancion1_espectograma_bartlett_2048}
+\end{figure}
+
+\iffalse
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion1_espectograma_bartlett_1024.png}
+\caption{Espectrograma primer muestra de ventana triangular de 1024 puntos}
+\label{cancion1_espectograma_bartlett_1024}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion1_espectograma_bartlett_0512.png}
+\caption{Espectrograma primer muestra de ventana triangular de 512 puntos}
+\label{cancion1_espectograma_bartlett_0512}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion2_espectograma_bartlett_0512.png}
+\caption{Espectrograma segunda muestra de ventana triangular de 512 puntos}
+\label{cancion2_espectograma_bartlett_0512}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion2_espectograma_bartlett_1024.png}
+\caption{Espectrograma segunda muestra de ventana triangular de 1024 puntos}
+\label{cancion2_espectograma_bartlett_1024}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion2_espectograma_bartlett_2048.png}
+\caption{Espectrograma segunda muestra de ventana triangular de 2048 puntos}
+\label{cancion2_espectograma_bartlett_2048}
+\end{figure}
+\fi
+
+\hypertarget{espectograma-ventana-hann}{%
+\subsubsection{Espectrograma con ventana de Hann}\label{espectograma-ventana-hann}}
+
+La ventana de Hann es una función que en el dominio temporal tiene una forma
+suave, no como la ventana rectangular o triangular que tiene puntos con derivada
+discontinua, la forma es parecida a medio ciclo de un seno. En el dominio de
+frecuencia, la ventana de Hann tiene una forma parecida a la de la ventana
+rectangular con un lóbulo principal, pero este mas ancho que el de la
+rectangular, esto implica menor resolución en frecuencia; además el espectro de
+la ventana de Hann tiene lóbulos laterales menores, lo que reduce aum mas la fuga espectral.
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion1_espectograma_hann_2048.png}
+\caption{Espectrograma primer muestra con ventana Hann de 2048 puntos}
+\label{cancion1_espectograma_hann_2048}
+\end{figure}
+
+\iffalse
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion1_espectograma_hann_0512.png}
+\caption{Espectrograma primer muestra con ventana Hann de 512 puntos}
+\label{cancion1_espectograma_hann_0512}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion1_espectograma_hann_1024.png}
+\caption{Espectrograma primer muestra con ventana Hann de 1024 puntos}
+\label{cancion1_espectograma_hann_1024}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion2_espectograma_hann_0512.png}
+\caption{Espectrograma segunda muestra con ventana Hann de 512 puntos}
+\label{cancion2_espectograma_hann_0512}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion2_espectograma_hann_1024.png}
+\caption{Espectrograma segunda muestra con ventana Hann de 1024 puntos}
+\label{cancion2_espectograma_hann_1024}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/cancion2_espectograma_hann_2048.png}
+\caption{Espectrograma segunda muestra con ventana Hann de 2048 puntos}
+\label{cancion2_espectograma_hann_2048}
+\end{figure}
+\fi
+
+Analizando el espectrograma de la primer canción, en particular el de la figura \ref{cancion1_espectograma_bartlett_2048}, en el cual se toman 2048 puntos y se utiliza una ventana triangular, se observa claramente las notas que componen la melodía, y ademas en que tiempo ocurre cada una de ellas. Ademas se observa que no es muy clara la resolución temporal pero de todas maneras se tiene una aproximación general de en que tiempo ocurre cada nota, para mayor resolución se puede analizar en detalle la figura \ref{cancion1_espectograma_boxcar_0512} en la cual se toman menos puntos de ventana (y se utiliza una ventana rectangular) por lo tanto se tiene mayor resolución temporal.
+
+
+
+
+
+
+% PUNTO 5
+\hypertarget{serie-de-fourier-tomando-uno-y-varios-periodos
+}{%
+\subsection{Serie de Fourier tomando uno y varios periodos}\label{serie-de-fourier-tomando-uno-y-varios-periodos
+}}
+
+Para señales musicales de la nota A4 generados generadas en la sección \ref{sonido-de-diferentes-instrumentos} para diferentes instrumentos, mediante un script de python, se analiza el espectro de cada una y se remueven altas frecuencias, intentando preservar el sonido generado pero utilizando menor información para obtener dicho sonido.
+
+En primer lugar, se obtiene la serie de Fourier de cada una de las notas generada por los diferentes instrumentos, utilizando uno y mas periodos, para la generada por el clarinete, se muestra la serie de Fourier utilizando 1, 4 y 8 periodos en la figura \ref{a4_clarinete_fseries_comparison}, para la nota generada por la flauta la serie de Fourier se observar en la figura \ref{a4_flauta_fseries_comparison}, finalmente en la figura \ref{a4_violin_fseries_comparison} ser observa la serie de Fourier para la nota A4 generada por el violín. Se puede ver en todos los casos que tomando mas periodos de la señal se tiene más resolución espectral, y tiene sentido ya que al tomar mas periodos se tiene mas información de la señal.
+
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/a4_clarinete_fseries_comparison.png}
+\caption{Serie de Fourier tomando 1, 4 y 8 periodos nota A4 clarinete}
+\label{a4_clarinete_fseries_comparison}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/a4_flauta_fseries_comparison.png}
+\caption{Serie de Fourier tomando 1, 4 y 8 periodos nota A4 flauta}
+\label{a4_flauta_fseries_comparison}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/a4_violin_fseries_comparison.png}
+\caption{Serie de Fourier tomando 1, 4 y 8 periodos nota A4 violín}
+\label{a4_violin_fseries_comparison}
+\end{figure}
+
+\hypertarget{filtrado-de-muestras}{%
+\subsection{Filtrado de muestras}\label{filtrado-de-muestras}}
+
+Para realizar el filtrado, se eliminan frecuencias mayores a un numero de frecuencia arbitrario, esto es análogo a aplicar un filtro pasa-bajos en la practica, pero mediante procesamiento digital. El numero arbitrario que define que frecuencias se deben eliminar queda determinado por como suena la señal luego de eliminar esas frecuencias mayores. En particular se ha detectado que para la flauta por tener un menor numero de armónicos, como se puede ver en la figura \ref{a4_flauta_fseries_comparison} de su serie de Fourier, este numero arbitrario puede ser tan bajo como 1000 Hz, sin modificar demasiado el sonido de la nota. En el otro extremo se tiene el violín, el cual se ve en su serie de Fourier (figura \ref{a4_violin_fseries_comparison}) que posee un gran numero de armónicos, esto hace que si se eliminan frecuencias bajas se modifica mucho el sonido de la nota. En todos los casos se observa que no se puede `comprimir' demasiado la señal puesto que no poseen armónicos de alta frecuencia, ya de por si son muestras `limpias' que ya poseen un procesamiento digital previo realizado por el programa generador.
+
+Una comparación entre las señal temporal resultante de las notas musicales filtradas y la señal original se muestran en las figuras \ref{a4_violin_cutoff_time_comparison}, \ref{a4_clarinete_cutoff_time_comparison} y \ref{a4_flauta_cutoff_time_comparison}, para la nota filtrada del violín, del clarinete y de la flauta, respectivamente.
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/a4_violin_cutoff_time_comparison.png}
+\caption{Comparación entre señal original y filtrada en tiempo nota A4 vioin}
+\label{a4_violin_cutoff_time_comparison}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/a4_clarinete_cutoff_time_comparison.png}
+\caption{Comparación entre señal original y filtrada en tiempo nota A4 clarinete}
+\label{a4_clarinete_cutoff_time_comparison}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+\centering
+\includegraphics{plot/a4_flauta_cutoff_time_comparison.png}
+\caption{Comparación entre señal original y filtrada en tiempo nota A4 flauta}
+\label{a4_flauta_cutoff_time_comparison}
+\end{figure}
+
+
+
+\hypertarget{Efectos-musicales-en-términos-de-sistemas}{%
+\subsection{Efectos musicales en términos de sistemas}\label{Efectos-musicales-en-términos-de-sistemas}}
+
+En esta sección se analizan distintos efectos interpretándolos como sistemas que procesan la señal de entrada $x(t)$ dando en la salida una señal $y(t)$.
+
+% Se trabaja con una señal senoidal pura de 440Hz, implementando los efectos de manera digital mediante código. En cada caso se grafican los espectros resultantes de aplicar los distintos efectos a la señal original.
+
+\subsubsection{Delay}
+
+El efecto \textit{delay} consiste en sumar a la señal original una copia de sí misma con un factor de retroalimentación que genera repeticiones. Puede modelarse como:
+
+\[
+y[n] = x[n] + \alpha\, y[n - D]
+\]
+
+donde $D$ representa el retardo en muestras y $\alpha$ es el coeficiente de retroalimentación.
+
+Analizando las propiedades de este sistema, se observa que es un sistema \textbf{lineal}, que posee \textbf{memoria} ya que depende de muestras pasadas, y es \textbf{invariante en el tiempo} debido a que el retardo no cambia a lo largo del tiempo.
+
+\begin{figure}[H]
+ \centering
+ \includegraphics[width=1\linewidth]{plot/delay_100ms.png}
+ \caption{Delay de 100ms}
+ \label{delay}
+\end{figure}
+
+Como se puede observar en la figura \ref{delay}, se tomó un fragmento de una canción para poder ver un delay de unos 100ms. En particular se tomaron los últimos segundos de la señal para que se pueda reconocer cuando termina la original y ver como se repiten los últimos 100ms.
+
+\subsubsection{Distorsión}
+
+La distorsión consiste en aplicar una función no lineal sobre la amplitud de la señal, como puede ser un recorte (clipping). En este caso se utiliza la función tangente hiperbólica:
+
+\[
+y[n] = tanh(Gx[n])
+\]
+
+Este sistema no es lineal ya que su salida no es proporcional a la entrada, es invariante en el tiempo ya que no cambia en el tiempo, y es sin memoria porque cada muestra depende solo de la muestra actual.
+Se observa la aparición de armónicos múltiples de la frecuencia fundamental, dando un tono mas brillante y enriquecido.
+
+\begin{figure}[H]
+ \centering
+ \includegraphics[width=\linewidth]{plot/dist_tiempo.png}
+ \caption{Distorsión en el dominio del tiempo}
+ \label{dist_tiempo}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+ \centering
+ \includegraphics[width=\linewidth]{plot/dist_frec.png}
+ \caption{Distorsión en el dominio de la frecuencia}
+ \label{dist_frec}
+\end{figure}
+
+En la figura \ref{dist_tiempo} se puede observar la función de prueba utilizada, la cual corresponde a un seno de frecuencia 5Hz y en línea punteada el efecto delay en el tiempo, mientras que en la figura \ref{dist_frec} se puede ver el efecto en el dominio de la frecuencia, el cual agrega pequeñas componentes en otras frecuencias.
+
+\subsubsection{Trémolo}
+
+Consiste en la modulación de la amplitud de la señal, es decir, en variar su volumen en forma periódica mediante un oscilador. Se implementa mediante
+
+\[
+y[n] = \left( 1 - d \, \sin\left( \frac{2\pi f_m n}{f_s} \right) \right) x[n]
+\]
+
+donde $d$ es la profundidad de modulación y $f_m$ la frecuencia de modulación.
+
+El sistema implementado es \textbf{lineal}, \textbf{invariante en el tiempo} (si la frecuencia de modulación es constante) y \textbf{tiene memoria}, ya que depende de una función periódica externa.
+
+En el espectro de la señal se pueden observar \textit{bandas laterales} que rodean la frecuencia fundamental, producidas por la modulación en amplitud.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=\linewidth]{plot/tremolo.png}
+ \caption{Señal de prueba}
+ \label{tremolo}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=\linewidth]{plot/tremolo_frec.png}
+ \caption{Efecto tremolo}
+ \label{tremolo_frec}
+\end{figure}
+
+Para este caso se utilizó una señal de prueba correspondiente a un seno de frecuencia 440Hz, como se puede observar en la figura \ref{tremolo}, mientras en la figura \ref{tremolo_frec} ésta misma con el efecto aplicado. Las frecuencias correspondientes a las \textit{bandas laterales} en este caso están en 435Hz y 445Hz.
+
+\subsubsection{Vibrato}
+
+Produce una modulación en frecuencia, alterando la frecuencia instantánea de la señal. Se lo puede expresar como un retardo variable en el tiempo:
+
+\[
+y[n] = x\!\left[n + d \, \sin\!\left( \frac{2\pi f_m n}{f_s} \right)\right]
+\]
+
+Se observa que este sistema \textbf{no es lineal}, ya que el desplazamiento depende de la señal moduladora.
+Es \textbf{invariante en el tiempo} (si el modulador es constante) y \textbf{tiene memoria}, ya que utiliza muestras pasadas.
+
+En el espectro se puede apreciar un \textit{ensanchamiento} en la frecuencia fundamental con variaciones periódicas alrededor de la misma, lo que refleja la modulación del tono.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=\linewidth]{plot/vibrato_frec.png}
+ \caption{Vibrato de la señal de prueba}
+ \label{vibrato_frec}
+\end{figure}
+
+Para este caso se volvió a utilizar la señal de prueba de la figura \ref{tremolo}, y como se mencionó se puede observar en la figura \ref{vibrato_frec} que aparecen nuevas frecuencias en múltiplos de la frecuencia de las \textit{bandas laterales}.
+
+\subsubsection{Chorus}
+
+Combina múltiples copias de la señal, cada una con un retardo distinto.
+Simula varios instrumentos sonando al mismo tiempo.
+Se lo puede modelar como la suma de varios vibratos:
+
+\[
+y[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} x\!\left[n + d_k \sin\!\left( \frac{2\pi f_{m_k} n}{f_s} \right)\right]
+\]
+
+Es un sistema \textbf{no lineal} debido a la interpolación variable,
+\textbf{invariante en el tiempo} (si los parámetros son constantes) y \textbf{tiene memoria} debido al retardo de cada instrumento.
+
+En el espectro se observa un \textit{ensanchamiento} alrededor de la frecuencia fundamental
+y una estructura densa debido a la suma de fuentes sonoras.
+
+Cada efecto puede interpretarse como un sistema que transforma una señal de entrada aplicando operaciones de retardo, modulación o no linealidad. Los efectos que se caracterizaron como lineales e invariantes en el tiempo (delay y trembolo) modifican el espectro de manera predecible. Mientras que los no lineales introducen componentes que afectan la estructura armónica que se tenía en la señal original
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=\linewidth]{plot/chorus_frec.png}
+ \caption{Efecto chorus de la señal de prueba}
+ \label{chorus_frec}
+\end{figure}
+
+En la figura \ref{chorus_frec} se puede observar el espectro en frecuencia de la señal de prueba de la figura \ref{tremolo}, pero con el efecto chorus aplicado.
+
+\iffalse
+% commentado
+
+\hypertarget{Gráfico-temporal-y-espectrograma-de-una-melodía-musical}{%
+\subsubsection{Gráfico temporal y espectrograma de una melodía musical}\label{Gráfico-temporal-y-espectrograma-de-una-melodía-musical}}
+
+\fi
diff --git a/tp/tercera_parte.tex b/tp/tercera_parte.tex
@@ -0,0 +1,122 @@
+\pagebreak
+
+\hypertarget{caso-practico}{%
+\section{Caso práctico: Identificador de canción}\label{dominio-de-frecuencia}}
+
+En esta parte del trabajo se verá un caso practico de todas las herramientas analizadas en
+secciones previas. El objetivo es implementar una herramienta que analice un sonido
+musical, particularmente una canción en formato digital, e identifique la
+canción basándose en una lista de canciones analizadas previamente.
+
+\hypertarget{reduccion-de-frecuencia}{%
+\subsection{Reducción de frecuencia}\label{reduccion-de-frecuencia}}
+
+El pre-procesamiento de la señal de audio en formato digital consiste en pasarla a
+canal mono (en caso de que esté en estéreo) y luego sub-muestrearlo, debido a que la
+información útil para la extracción de características se encuentra en bajas
+frecuencias. En general, el audio está muestreado a 44100 Hz, pero para el
+algoritmo a utilizar basta con tenerlo muestreado a 1/8 de su frecuencia
+original, es decir $5512.5$Hz. Esto permite trabajar con menos muestras,
+aliviando la carga computacional.
+
+Para reducir la frecuencia de muestreo de la señal discreta de $44100$Hz a $5512.5$Hz se utiliza un decimador que tome muestras de la señal a intervalos regulares de 8 puntos, de esta forma la señal sub-muestreada $x_{d}$ resulta como en la ecuación \ref{eq-señal-submuestreada}.
+
+\begin{align}
+ x_{d}(n) = x(n\cdot N);\quad N\in \mathbb{Z}
+ \label{eq-señal-submuestreada}
+\end{align}
+
+El diagrama debloques del sistema a utilizar se compone de un filtro pasa-bajos y luego un muestreador o compresor de la señal en dominio temporal como se muestra en la figura \ref{fig-diagrama-de-bloques-decimador}, en la cual $x(n)$ representa la señal de entrada y $x_{d}(n)$ la señal decimada. El filtro pasa-bajos se utiliza para evitar aliasing si la señal de entrada $x_{n}$ no permite decimación en $8$ veces, es decir, tiene ancho de banda mayor a $2\pi/8$ o en frecuencia siendo $5512.5$Hz
+
+\begin{figure}[!h]
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.75\linewidth]{img/diagrama_de_bloques-decimador.png}
+ \caption{Diagrama de bloques reducción de frecuencia}
+ \label{fig-diagrama-de-bloques-decimador}
+\end{figure}
+
+Para el filtro pasa-bajos se utiliza un filtro con respuesta al impulso finita (FIR) y frecuencia de corte teórica de $2756.25$Hz la cual corresponde con la frecuencia de Nyquist, la elección de un filtro de tipo FIR, a diferencia de un filtro con respuesta al impulso infinita (IIR), es que es mas fácil la implementación y, si bien requiere un gran poder de computo a diferencia de los filtros IIR, en este caso el poder de computo no es un problema, a diferencia de sistemas embebidas, por dar un ejemplo.
+
+La forma general de un filtro FIR se muestra a continuación en la ecuación \ref{eq-forma-general-fir}, en la cual $M$ representa el grado del filtro, y por consiguiente la cantidad de coeficientes $b_k$, $y(n)$ la salida del filtro y $x(n)$ la entrada.
+
+\begin{align}
+ y(n) = \sum_{k=0}^{M} b_{k}\cdot x(n-k)
+ \label{eq-forma-general-fir}
+\end{align}
+
+Aplicando la transformada Z a la expresión de la ecuación \ref{eq-forma-general-fir} y por propiedades de la transformada resulta como se ve en la ecuación \ref{eq-transferencia-filtro-fir}, $H(z)$ es lo que se denomina la transferencia del sistema en el dominio z.
+
+\begin{align}
+ \dfrac{Y(z)}{X(z)} = H(z) = \sum_{k=0}^{M} b_{k}\cdot z^{-k}
+ \label{eq-transferencia-filtro-fir}
+\end{align}
+
+Aplicando la anti-transformada z a la expresión de de la ecuación \ref{eq-transferencia-filtro-fir} resulta en la respuesta al impulso del filtro FIR que se ve en la ecuación \ref{eq-resp-impulso-filtro-fir}. Otra forma de hallar la respuesta al impulso era tomando $x(n) = \delta(n)$ en la ecuación \ref{eq-forma-general-fir}.
+
+\begin{align}
+ h(n) = \left\{
+ \begin{array}{rl}
+ b_{n}\;,\; & \mbox{si} \;\; 0 \leq n \leq M \\
+ 0 \;,\; & \mbox{en otro caso}
+ \end{array}
+ \right.
+ \label{eq-resp-impulso-filtro-fir}
+\end{align}
+
+Para hallar los coeficientes $b_{n}$ se utiliza el método de ventana, en el cual se iguala la respuesta al impulso del filtro FIR con la multiplicación de la respuesta al impulso de un filtro ideal con una ventana con forma arbitraria, como se muestra en \ref{eq-ventaneo}.
+
+\begin{align}
+ h(n) = h_{ideal}(n) \cdot w(n)
+ \label{eq-ventaneo}
+\end{align}
+
+Siendo en este caso $h_{ideal}(n)$ la respuesta al impulso del pasa bajos ideal, el cual sabiendo que es un rectángulo en frecuencia, resulta una sinc en el dominio temporal, esto se muestra en la ecuación \ref{eq-imp-pasabajo-ideal}. La multiplicación por una ventana de la ecuación \ref{eq-ventaneo} justamente se hace porque los filtros ideales tienen respuesta al impulso infinita, como es el caso de la función $sinc$.
+
+\begin{align}
+ h_{ideal}(n) = \dfrac{sin\left(\omega_{c}\cdot n\right)}{\pi\cdot n} = \omega_{c} \cdot sinc\left(\dfrac{\omega_{c}}{\pi} \cdot n\right)
+ \label{eq-imp-pasabajo-ideal}
+\end{align}
+
+Para la ventana se utiliza la ventana de Hamming, ya que es muy simple la implementación, la formula general es común con otras ventanas (como Hanning) y se muestra a continuación en la ecuación \ref{eq-ventana-formula-general-hamming}, en particular para la ventana de Hamming los coeficientes $a_{0}$ y $a_{1}$ toman los valores aproximados $0.54$ y $0.46$ respectivamente\footnotemark[1].
+
+\footnotetext[1]{Ventana (función) \citep{wiki123}}
+
+\begin{align}
+ w(n) = a_{0}-a_{1}\cdot cos\left(\dfrac{2\pi n}{N - 1}\right);\;\;
+ w_{Hamming}(n) = 0.54-0.46\cdot cos\left(\dfrac{2\pi n}{N - 1}\right)
+ \label{eq-ventana-formula-general-hamming}
+\end{align}
+
+Teniendo la expresión de la ventana $w(n)$ y la respuesta al impulso del filtro ideal $h_{ideal}(n)$ se obtiene la respuesta al impulso del filtro FIR $h(n)$ de la ecuación \ref{eq-ventaneo}, en este caso tomando 700 coeficientes, es decir, se tiene un filtro de grado 700. La respuesta al impulso se muestra graficada en la figura \ref{fig-respuesta-al-impulso-fir} en la cual se ve claramente la forma de la función sinc.
+
+\begin{figure}[!h]
+ \centering
+ \includegraphics[width=\linewidth]{plot/respuesta_al_impulso_filtro_fir.png}
+ \caption{Respuesta al impulso filtro pasa-bajos FIR de grado $700$}
+ \label{fig-respuesta-al-impulso-fir}
+\end{figure}
+
+La respuesta en frecuencia del filtro se obtiene tomando $z=j\omega$ en la función de transferencia del sistema $H(z)$ mencionada previamente en la ecuación \ref{fig-respuesta-en-freq-fir}. En la figura \ref{fig-respuesta-en-freq-fir} se grafica la respuesta en frecuencia del filtro pasa-bajos elegido, la magnitud se muestra en color azul y la fase en color rojo. Se nota que a partir de la frecuencia de corte ($2627.1$ Hz, correspondiente al punto de $-3$dB) se atenúan drásticamente las señales y en particular para las frecuencias mayores a la de Nyquist ($2756.2$ Hz) ya se puede decir prácticamente que se atenúan por completo ya que se tiene una ganancia de $-60dB$, esto es $0.001$ veces, lo cual era el objetivo para evitar aliasing al decimar. Además se observa la fase lineal hasta la frecuencia de corte, esta es una de las principales características de los filtros FIR por sobre los IIR, que es que no distorsionan la fase.
+
+\begin{figure}[!h]
+ \centering
+ \includegraphics[width=\linewidth]{plot/respuesta_en_frecuencia_pasa-bajos_fir.png}
+ \caption{Respuesta en frecuencia filtro pasa-bajos FIR de grado $700$}
+ \label{fig-respuesta-en-freq-fir}
+\end{figure}
+
+Los ceros $z_{i}$ y polos $p_{i}$ se definen como aquellos puntos del plano complejo en donde la función de transferencia del sistema $H(jw)$ se anula, en el caso de los ceros y diverge a infinito, en el caso de los polos. La particularidad de los filtros FIR es que no tienen polos distintos de cero, esto sale de analizar la ecuación \ref{eq-transferencia-filtro-fir}, se tiene una sumatoria de coeficientes no nulos constantes multiplicados por la variable $z^{-1}$, la única forma de que la transferencia tienda a infinito es que la variable z tienda a $0$ de manera de que $z^{-1}$ diverja.
+
+%ve factorizando la expresión de la ecuación \ref{eq-transferencia-filtro-fir} como se muestra en la ecuación \ref{eq-transferencia-filtro-fir-factorizada}.
+
+%\begin{align}
+% H(z) = h(0)\sum_{k=0}^{M} b_{k}\cdot z^{-k}
+% \label{eq-transferencia-filtro-fir-factorizada}
+%\end{align}
+
+\begin{figure}[!h]
+ \centering
+ \includegraphics[width=\linewidth]{plot/polos_y_ceros_pasa-bajos_fir.png}
+ \caption{Polos y ceros filtro pasa-bajos FIR de grado $700$}
+ \label{fig-respuesta-en-freq-fir}
+\end{figure}
+\ No newline at end of file
