1 # Clase 19-04-24 2 3 \tableofcontents 4 5 ## Curvas 6 7 Las curvas pueden no verse y definir la geometría de la escena 8 9 ### Puntos de Control 10 11 Un conjunto de vertices con una determinada 12 13 ### Interpolación vs. Aproximación 14 15 En el primero, la curva pasa por los puntos de control, mientras que en la 16 aproximación, la curva no pasa por ningún punto de control, salvo quizás los 17 extremos 18 19 ### Métodos de aproximación 20 21 #### Curva B-Spline 22 23 [Curva B-Spline](https://en.wikipedia.org/wiki/B-spline) 24 25 #### Curva de Lagrange 26 27 ### Invariancia Afín 28 29 ### Parametrización de Curvas 30 31 ### Método de Casteljau 32 33 Algoritmo de interpolación de puntos de control 34 35 ### Curvas de Bézier 36 37 La curva final es igual a la obtenida por el método de Casteljau, pero se 38 utiliza un método distinto para obtenerla, el algoritmo utilizado en la curva de 39 Bézier es recursivo 40 41 > De control global, es decir, todos los puntos de control afectan a todos los 42 > demás 43 44 Se define una curva de Bézier de grado $n$ de la siguiente manera 45 46 $$C(u) = \sum^{n}_{i=0} p_{i} B^{n}_{i}(u)$$ 47 48 Hay que tener en cuenta que el grado $n$ es la cantidad de puntos de control 49 menos uno 50 51 Existe una forma matricial para halla de las curvas de Bézier 52 53 > Para definir una curva cerrada se usan las mismas coordenadas para el punto 54 > inicial y final y ademas para que sea suave el segundo punto y el penúltimo 55 > deben tener la misma dirección 56 57 > Polinomios de Berstein 58 > 59 > $$B^{n}_{i}\left(u\right)$$ 60 61 #### Propiedades 62 63 * Comienzan y terminan en los puntos extremos, es decir, interpola dichos puntos 64 * Comienza en el primer punto con la dirección del segundo 65 * La curva de Bézier siempre queda definida dentro del casco convexo del 66 polígono de control 67 * La velocidad inicial de la curva, depende de la longitud del segundo punto 68 69 #### Concatenación de Curvas de Bézier 70 71 Se pueden obtener formas complejas concatenando Curvas de Bézier, para esto se 72 usa el ultimo punto de la primer curva como el primero de la siguiente 73 74 ### Curvas de Catmull-Rom 75 76 Son curvas de interpolación similares a las de Bézier, solo que utilizan cuatro 77 puntos de control como mínimo y luego la curva se dibuja con el segundo y tercer 78 punto 79 80 ### Trabajo Práctico 81 82 * Arboles -> Grupo dentro de Geometrías 83 * Animar el nivel del agua 84 * Height Maps o Elevation Map 85 * [World Machine](https://www.world-machine.com/) Sirve para crear Elevation Maps
