Clase 19-04-24

\tableofcontents

Curvas

Las curvas pueden no verse y definir la geometría de la escena

Puntos de Control

Un conjunto de vertices con una determinada

Interpolación vs. Aproximación

En el primero, la curva pasa por los puntos de control, mientras que en la aproximación, la curva no pasa por ningún punto de control, salvo quizás los extremos

Métodos de aproximación

Curva B-Spline

Curva de Lagrange

Invariancia Afín

Parametrización de Curvas

Método de Casteljau

Algoritmo de interpolación de puntos de control

Curvas de Bézier

La curva final es igual a la obtenida por el método de Casteljau, pero se utiliza un método distinto para obtenerla, el algoritmo utilizado en la curva de Bézier es recursivo

De control global, es decir, todos los puntos de control afectan a todos los demás

Se define una curva de Bézier de grado $n$ de la siguiente manera

$$C(u) = \sum^{n}{i=0} p{i} B^{n}_{i}(u)$$

Hay que tener en cuenta que el grado $n$ es la cantidad de puntos de control menos uno

Existe una forma matricial para halla de las curvas de Bézier

Para definir una curva cerrada se usan las mismas coordenadas para el punto inicial y final y ademas para que sea suave el segundo punto y el penúltimo deben tener la misma dirección

Polinomios de Berstein

$$B^{n}_{i}\left(u\right)$$

Propiedades

Comienzan y terminan en los puntos extremos, es decir, interpola dichos puntos
Comienza en el primer punto con la dirección del segundo
La curva de Bézier siempre queda definida dentro del casco convexo del polígono de control
La velocidad inicial de la curva, depende de la longitud del segundo punto

Concatenación de Curvas de Bézier

Se pueden obtener formas complejas concatenando Curvas de Bézier, para esto se usa el ultimo punto de la primer curva como el primero de la siguiente

Curvas de Catmull-Rom

Son curvas de interpolación similares a las de Bézier, solo que utilizan cuatro puntos de control como mínimo y luego la curva se dibuja con el segundo y tercer punto

Trabajo Práctico

Arboles -> Grupo dentro de Geometrías
Animar el nivel del agua
Height Maps o Elevation Map
World Machine Sirve para crear Elevation Maps

   1 # Clase 19-04-24 
   2 
   3 \tableofcontents
   4 
   5 ## Curvas
   6 
   7 Las curvas pueden no verse y definir la geometría de la escena
   8 
   9 ### Puntos de Control
  10 
  11 Un conjunto de vertices con una determinada
  12 
  13 ### Interpolación vs. Aproximación
  14 
  15 En el primero, la curva pasa por los puntos de control, mientras que en la
  16 aproximación, la curva no pasa por ningún punto de control, salvo quizás los
  17 extremos 
  18 
  19 ### Métodos de aproximación
  20 
  21 #### Curva B-Spline
  22 
  23 [Curva B-Spline](https://en.wikipedia.org/wiki/B-spline)
  24 
  25 #### Curva de Lagrange
  26 
  27 ### Invariancia Afín
  28 
  29 ### Parametrización de Curvas
  30 
  31 ### Método de Casteljau
  32 
  33 Algoritmo de interpolación de puntos de control
  34 
  35 ### Curvas de Bézier
  36 
  37 La curva final es igual a la obtenida por el método de Casteljau, pero se
  38 utiliza un método distinto para obtenerla, el algoritmo utilizado en la curva de
  39 Bézier es recursivo
  40 
  41 > De control global, es decir, todos los puntos de control afectan a todos los
  42 > demás
  43 
  44 Se define una curva de Bézier de grado $n$ de la siguiente manera
  45 
  46 $$C(u) = \sum^{n}_{i=0} p_{i} B^{n}_{i}(u)$$
  47 
  48 Hay que tener en cuenta que el grado $n$ es la cantidad de puntos de control
  49 menos uno
  50 
  51 Existe una forma matricial para halla de las curvas de Bézier
  52 
  53 > Para definir una curva cerrada se usan las mismas coordenadas para el punto
  54 > inicial y final y ademas para que sea suave el segundo punto y el penúltimo
  55 > deben tener la misma dirección
  56 
  57 > Polinomios de Berstein
  58 > 
  59 > $$B^{n}_{i}\left(u\right)$$
  60 
  61 #### Propiedades
  62 
  63 * Comienzan y terminan en los puntos extremos, es decir, interpola dichos puntos
  64 * Comienza en el primer punto con la dirección del segundo 
  65 * La curva de Bézier siempre queda definida dentro del casco convexo del
  66   polígono de control
  67 * La velocidad inicial de la curva, depende de la longitud del segundo punto
  68 
  69 #### Concatenación de Curvas de Bézier
  70 
  71 Se pueden obtener formas complejas concatenando Curvas de Bézier, para esto se
  72 usa el ultimo punto de la primer curva como el primero de la siguiente
  73 
  74 ### Curvas de Catmull-Rom
  75 
  76 Son curvas de interpolación similares a las de Bézier, solo que utilizan cuatro
  77 puntos de control como mínimo y luego la curva se dibuja con el segundo y tercer
  78 punto
  79 
  80 ### Trabajo Práctico
  81 
  82 * Arboles -> Grupo dentro de Geometrías
  83 * Animar el nivel del agua
  84 * Height Maps o Elevation Map
  85 * [World Machine](https://www.world-machine.com/) Sirve para crear Elevation Maps

repos/TA159